TS Suites BAC

TS SUITES Type BAC
1(Antille -Guyanne 2015)
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables : ket psont des entiers naturels
uest un réel
Entrée : Demander la valeur de p
Traitement : Affecter à ula valeur 5
Pour kvariant de 1 à p
Affecter à ula valeur 0,5u+ 0,5(k−1) −1,5
Fin pour
Sortie : Afficher u
Faire fonctionner cet algorithme pour p= 2 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
Quel nombre obtient-on en sortie ?
Partie B
Soit (un)la suite définie par son premier terme u0= 5 et, pour tout entier naturel npar
un+1 = 0,5un+ 0,5n−1,5.
1. Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de unpour nvariant de 1
àp.
2. A l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p= 4, on obtient les résultats suivants :
n1 2 3 4
un1−0,5−0,75 −0,375
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (un)est décroissante ? Justifier.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel nsupérieur ou égal à 3, un+1 > un.
Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite (un)?
4. Soit (vn)la suite définie pour tout entier naturel npar vn= 0,1un−0,1n+ 0,5.
Démontrer que la suite (vn)est géométrique de raison 0,5 et exprimer alors vnen fonction de n.
5. En déduire que, pour tout entier naturel n,un= 10 ×0,5n+n−5.
6. Déterminer alors la limite de la suite (un).
2(Polynésie 2014)
On considère la suite (un)définie par
u0= 0 et pour tout entier naturel n,un+1 =un+ 2n+ 2.
1. Calculer u1et u2.
2. On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1 Algorithme 2
Variables : nest un entier naturel Variables : nest un entier naturel
uest un réel uest un réel
Entrée : Saisir la valeur de nEntrée : Saisir la valeur de n
Traitement : uprend la valeur 0 Traitement : uprend la valeur 0
Pour iallant de 1 à n: Pour iallant de 0 à n−1 :
uprend la valeur u+ 2i+ 2 uprend la valeur u+ 2i+ 2
Fin Pour Fin Pour
Sortie : Afficher uSortie : Afficher u

De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de un, la valeur de l’entier naturel nétant
entrée par l’utilisateur ?
3. A l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où nfigure en abscisse et un
en ordonnée.
n un
0 0
1 2
2 6
3 12
4 20
5 30
6 42
7 56
8 72
9 90
10 110
11 132
12 156 0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
+++++++++++++
a. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (un)?
Démontrer cette conjecture.
b. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a,b et ctels que,
pour tout entier naturel n,un=an2+bn +c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a,b et cà l’aide des informations fournies.
4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (vn)par : vn=un+1 −un.
a. Exprimer vnen fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (vn)?
b. On définit, pour tout entier naturel n, Sn=
n
X
k=0
vk=v0+v1+···+vn.
Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn= (n+ 1)(n+ 2).
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn=un+1 −u0, puis exprimer unen fonction de n.
3(Asie 2013)
Partie A
On considère la suite (un)définie par : u0= 2 et, pour tout entier nature n:
un+1 =1 + 3un
3 + un
.
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un>1.
2. a. Etablir que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 −un=(1−un)(1 + un)
3 + un
.
b. Déterminer le sens de variation de la suite (un).
En déduire que la suite (un)converge.
Partie B
On considère la suite (un)définie par : u0= 2 et, pour tout entier nature n:
un+1 =1 + 0,5un
0,5 + un
.
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1. On considère l’algorithme suivant :
Entrée : Soit un entier naturel non nul n
Initialisation : Affecter à ula valeur 2
Traitement : Pour iallant de 1 à n
Affecter à ula valeur 1 + 0,5u
0,5 + u
Afficher u
Fin pour
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n= 3. Les valeurs de u
seront arrondies au millième.
i123
u
2. Pour n= 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
i4 5 6 7 8 9 10 11 12
u1,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0,99997 1,00001 0,999996 1,000001
Conjecturer le comportement de la suite (un)à l’infini.
3. On considère la suite (vn)définie, pour tout entier naturel n, par : vn=un−1
un+ 1.
a. Démontrer que la suite (vn)est géométrique de raison −1
3.
b. Calculer v0puis écrire vnen fonction de n.
4. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : vn,1.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un=1 + vn
1−vn
.
c. Déterminer la limite de la suite (un).
4⋆(Métropole 2013)
Soit la suite (un)définie sur Npar :
u0= 2 et pour tout entier naturel n,un+1 =2
3un+1 3n+ 1.
1. a. Calculer u1,u2,u3et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2près.
b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n,un6n+ 3.
b. Démontrer que pour tout entier naturel n,un+1 −un=1
3(n+ 3 −un).
c. En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par (vn)la suite définie sur Npar vn=un−n.
a. Démontrer que la suite (vn)est une suite géométrique de raison 2
3.
b. En déduire que pour tout entier naturel n,un= 2 2
3n
+n.
c. Déterminer la limite de la suite (un).
4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose :
Sn=
n
X
k=0
uk=u0+u1+...+unet Tn=Sn
n2.
a. Exprimer Snen fonction de n.
b. Déterminer la limite de la suite (Tn).