Table des matières

Cours PCSI 2013-2014 Les polynômes Lycée Baimbridge
Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Structures algébriques.......................................................................................................................3
1- Polynôme à une indéterminée.....................................................................................................3
a- Définition................................................................................................................................3
b- Degré d'un polynôme..............................................................................................................4
2- Opérations sur les polynômes......................................................................................................5
a- L'addition................................................................................................................................5
b- La multiplication.....................................................................................................................6
c- Propriétés de l'addition et de la multiplication........................................................................7
d- Composée de deux polynômes...............................................................................................8
3- Structure d'espace vectoriel.........................................................................................................9
4- Fonction polynomiale associée à un polynôme.........................................................................10
II- Arithmétique dans K[X]................................................................................................................11
1- Divisibilité.................................................................................................................................11
2- Division euclidienne..................................................................................................................13
III- Dérivation dans K[X]...................................................................................................................17
1- Définition...................................................................................................................................17
2- Propriétés...................................................................................................................................17
a- Linéarité de la dérivation......................................................................................................17
b- Dérivée d'un produit.............................................................................................................18
c- Dérivée d'une composée.......................................................................................................18
3- Formule de Taylor......................................................................................................................18
IV- Racines d'un polynôme.................................................................................................................20
1- Définitions et caractérisation par la divisibilité.........................................................................20
2- Ordre de multiplicité..................................................................................................................22
a- Définition et caractérisation par la divisibilité......................................................................22
b- Caractérisation par les dérivées successives.........................................................................24
3- Polynômes scindés.....................................................................................................................25
V- Décomposition d'un polynôme......................................................................................................26
1- Polynômes irréductibles............................................................................................................26
2- Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles.........................................26
a- Dans C[X].............................................................................................................................26
b- Dans R[X].............................................................................................................................27
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Introduction
« Les polynômes sont des fonctions algébriques dans le sens où elle ne sont constituées que d'un
nombre fini d'opérations de base : addition, soustraction, multiplication et division. Les fonctions
trigonométriques, logarithmes, exponentielles sont transcendantes dans le sens où le nombre
d'opérations de base pour les fabriquer est infini : on peut les développer en séries entières.
Les autres types de fonctions algébriques : rationnelles et irrationnelles correspondent à des
opérations sur les polynômes : quotients, puissances et racines diverses. »
D'après « Promenades mathématiques », Frédérique Laroche, édition Ellipses.
Du grec :
« poly » : beaucoup
« nôme » : deux sens possibles : nom ou loi.
Inconnue X remonte à Renée Descartes au 17
ième
siècle.
Diophante d'Alexandrie (200-284) est le premier a nommé l'inconnue. (« arithmos »)
Al Khwarizmi (783-850), mathématicien perse désigne l'inconnue par « Shay » : la chose en arabe.
Vers 1590 :
François Viète (1540-1603) écrit les premiers calculs avec des lettres. Avant lui, pas de généralités.
Les espagnols transcrive « xay ».
Et Descartes (1596-1650) garde la première lettre du mot.
En mathématiques :
Développement limité : approximation locale d'une fonction par une fonction polynomiale.
Développement en série : écriture d'une fonction comme un polynôme de « degré infini ».
Dérivée : approximation d'une fonction par un polynôme de degré 1.
Informatique ; télécommunication : codes polynomiaux pour contrôler la fiabilité des
transmissions. Un message est transformé en un polynôme. Et la fiabilité est contrôler par le reste
d'une division euclidienne qui doit être nul.
En physique : Le résolution de l'équation de Laplace, que l'on rencontre aussi bien en mécanique
qu'en électricité, repose ainsi sur des polynômes orthogonaux, les polynômes de Legendre.
D'autres familles de polynômes pour résoudre des équations différentielles.
Polynômes d'Hermite pour la résolution de l'équation de Schrödinger avec un potentiel harmonique.
(oscillations de faible amplitude autour d'une position d'équilibre).
V(x)=
1
2mω
2
x
2
.
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I- Structures algébriques
Dans tout le cours,
K
désigne le corps
ℝ
ou
ℂ
.
1- Polynôme à une indéterminée
a- Définition
On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans
K
, toute suite d'éléments de
K
, nulle à partir d'un certain rang (suite presque nulle d'éléments de
K
).
Remarques :
–un polynôme est une suite (
a
k
)
(k∈ℕ)
telle que ∃
n
∈ℕ
,
∀
k
>
n
,
a
k
=
0
.
Les nombres
a
0
,
a
1
,
a
2
,
..
a
n
sont les coefficients du polynôme.
a
i
est le coefficient d'indice
i.
–Le polynôme nul est le polynôme qui a tous ses coefficients nuls.
–Le polynôme (0,1,0,0,.......) est noté
X
. C'est l'indéterminée.
–Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.
En particulier un polynôme est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont
nuls.
–(*) L'ensemble des suites presque nulles d'éléments de K se note : K
(ℕ)
Exemples : (1,1,1,0,0,0,0,.......,0,.......) ou (2,3,0,0,5,0,0,...,0,......).
Notation : l'ensemble des polynôme à coefficients dans
K
se note
K
[
X
].
Remarque :
En informatique, un polynôme est donné par une liste.
Attention à l'ordre des coefficients !!!
Pour : P=5X
2
X+3, on aura :
P
=[
3,
1,5
]
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b- Degré d'un polynôme
Définition
Soit
P
un polynôme non nul. L'ensemble
{
k
∈ℕ∣
a
k
≠
0
}
admet un plus grand élément qui est le
degré de
P
noté
deg
(
P
).
Par convention, si
P
est le polynôme nul alors :
deg
(
P
)=∞ .
Remarque :
Avec la convention
deg
(
0
)=∞ , la formule
deg
(
A
×
B
)=
deg
(
A
)+
deg
(
B
) reste vraie dans tous
les cas.
On peut ainsi définir le degré d'une fraction rationnelle par : deg
(
A
B
)
=deg(A)deg(B),B≠0.
Cette formule est toujours vraie même si A=0.
Remarques :
–Les polynômes constants non nuls ont un degré nul.
Attention :
deg
(
P
)=
0
si et seulement si P est un polynôme constant non nul.
–En particulier, si
n
=
deg
(
P
),
a
n
est le coefficient dominant.
Un polynôme unitaire (ou normalisé) est polynôme de coefficient dominant égal à 1.
On verra que le produit de deux polynôme unitaire est unitaire.
Remarque : (*)
Soit
P
un polynôme non nul. L'ensemble {
k
∈ℕ∣
a
k
≠
0
} admet un plus petit élément qui est la
valuation de P notée val(P).
Si
P
est nul par convention :
val
(
P
)=+∞ .
Si
P
n'est pas le polynôme nul, on a :
val
(
P
)≤
deg
(
P
).
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2- Opérations sur les polynômes.
On a 2 Lois de composition internes.
a- L'addition.
Définition
Soient
A
=(
a
k
)
(k∈ℕ)
et
B
=(
b
k
)
(k∈ℕ)
, on définit la somme des polynômes
A
et
B
, par .
C
=
A
+
B
=(
a
k
+
b
k
)
(k∈ℕ)
Démonstration :
On note :
n
=
deg
(
A
) et
m
=
deg
(
B
).
C
=
A
+
B
=(
a
k
+
b
k
)
(k∈ℕ)
est bien une suite presque nulle.
En effet :
k
>
Max
(
n
,
m
)⇒
a
k
=
0
et
b
k
=
0
⇒
a
k
+
b
k
=
0
.
C est bien une suite presque nulle.
On a démontré la propriété suivante.
Propriété :
deg
(
A
+
B
)≤
Max
(
deg
(
A
)
,
deg
(
B
))
deg
(
A
+
B
)=
Max
(
deg
(
A
)
,
deg
(
B
)) si
A
et
B
sont de degrés différents :
Démonstration : si
n
>
m
par exemple , alors :
c
n
=
a
n
≠
0
⇒
deg
(
C
)≥
n
et
comme
deg
(
C
)≤
n
,
alors
deg
(
C
)=
n
.
Propriétés :
L'addition est commutative
A
+
B
=
B
+
A
.
Elle est associative, (
A
+
B
)+
C
=
A
+(
B
+
C
)
Elle possède un élément neutre, le polynôme nul
Tout élément admet un symétrique pour l'addition.
(
K
[
X
]
,
+) Est un groupe abélien (groupe commutatif).
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