Table des matières

Cours PCSI 2013-2014
Les polynômes
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Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Structures algébriques.......................................................................................................................3
1- Polynôme à une indéterminée.....................................................................................................3
a- Définition................................................................................................................................3
b- Degré d'un polynôme..............................................................................................................4
2- Opérations sur les polynômes......................................................................................................5
a- L'addition................................................................................................................................5
b- La multiplication.....................................................................................................................6
c- Propriétés de l'addition et de la multiplication........................................................................7
d- Composée de deux polynômes...............................................................................................8
3- Structure d'espace vectoriel.........................................................................................................9
4- Fonction polynomiale associée à un polynôme.........................................................................10
II- Arithmétique dans K[X]................................................................................................................11
1- Divisibilité.................................................................................................................................11
2- Division euclidienne..................................................................................................................13
III- Dérivation dans K[X]...................................................................................................................17
1- Définition...................................................................................................................................17
2- Propriétés...................................................................................................................................17
a- Linéarité de la dérivation......................................................................................................17
b- Dérivée d'un produit.............................................................................................................18
c- Dérivée d'une composée.......................................................................................................18
3- Formule de Taylor......................................................................................................................18
IV- Racines d'un polynôme.................................................................................................................20
1- Définitions et caractérisation par la divisibilité.........................................................................20
2- Ordre de multiplicité..................................................................................................................22
a- Définition et caractérisation par la divisibilité......................................................................22
b- Caractérisation par les dérivées successives.........................................................................24
3- Polynômes scindés.....................................................................................................................25
V- Décomposition d'un polynôme......................................................................................................26
1- Polynômes irréductibles............................................................................................................26
2- Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles.........................................26
a- Dans C[X].............................................................................................................................26
b- Dans R[X].............................................................................................................................27
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Les polynômes
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Introduction
« Les polynômes sont des fonctions algébriques dans le sens où elle ne sont constituées que d'un
nombre fini d'opérations de base : addition, soustraction, multiplication et division. Les fonctions
trigonométriques, logarithmes, exponentielles sont transcendantes dans le sens où le nombre
d'opérations de base pour les fabriquer est infini : on peut les développer en séries entières.
Les autres types de fonctions algébriques : rationnelles et irrationnelles correspondent à des
opérations sur les polynômes : quotients, puissances et racines diverses. »
D'après « Promenades mathématiques », Frédérique Laroche, édition Ellipses.
Du grec :
« poly » : beaucoup
« nôme » : deux sens possibles : nom ou loi.
Inconnue X remonte à Renée Descartes au 17 ième siècle.
Diophante d'Alexandrie (200-284) est le premier a nommé l'inconnue. (« arithmos »)
Al Khwarizmi (783-850), mathématicien perse désigne l'inconnue par « Shay » : la chose en arabe.
Vers 1590 :
François Viète (1540-1603) écrit les premiers calculs avec des lettres. Avant lui, pas de généralités.
Les espagnols transcrive « xay ».
Et Descartes (1596-1650) garde la première lettre du mot.
En mathématiques :
Développement limité : approximation locale d'une fonction par une fonction polynomiale.
Développement en série : écriture d'une fonction comme un polynôme de « degré infini ».
Dérivée : approximation d'une fonction par un polynôme de degré 1.
Informatique ; télécommunication : codes polynomiaux pour contrôler la fiabilité des
transmissions. Un message est transformé en un polynôme. Et la fiabilité est contrôler par le reste
d'une division euclidienne qui doit être nul.
En physique : Le résolution de l'équation de Laplace, que l'on rencontre aussi bien en mécanique
qu'en électricité, repose ainsi sur des polynômes orthogonaux, les polynômes de Legendre.
D'autres familles de polynômes pour résoudre des équations différentielles.
Polynômes d'Hermite pour la résolution de l'équation de Schrödinger avec un potentiel harmonique.
1
2 2
(oscillations de faible amplitude autour d'une position d'équilibre). V ( x)= m ω x
2
.
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I- Structures algébriques
Dans tout le cours, K désigne le corps ℝ ou ℂ .
1- Polynôme à une indéterminée
a- Définition
On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans K , toute suite d'éléments de
, nulle à partir d'un certain rang (suite presque nulle d'éléments de K ).
K
Remarques :
–
un polynôme est une suite (a k )(k ∈ℕ) telle que ∃n∈ℕ , ∀ k >n , a k =0 .
Les nombres a 0 ,a 1 ,a 2 , ..a n sont les coefficients du polynôme. a i est le coefficient d'indice
i.
–
Le polynôme nul est le polynôme qui a tous ses coefficients nuls.
–
Le polynôme (0,1,0,0,.......) est noté
–
Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.
En particulier un polynôme est le polynôme nul si et seulement si tous ses coefficients sont
nuls.
–
(*) L'ensemble des suites presque nulles d'éléments de K se note :
X . C'est l'indéterminée.
K (ℕ)
Exemples : (1,1,1,0,0,0,0,.......,0,.......) ou (2,3,0,0,5,0,0,...,0,......).
Notation : l'ensemble des polynôme à coefficients dans
Remarque :
En informatique, un polynôme est donné par une liste.
Attention à l'ordre des coefficients !!!
Pour :
P=5X2
X +3 , on aura :
P=[3, 1,5]
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K se note
K [X ] .
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b- Degré d'un polynôme
Définition
Soit P un polynôme non nul. L'ensemble {k ∈ℕ∣ a k≠0} admet un plus grand élément qui est le
degré de P noté deg (P) .
Par convention, si P est le polynôme nul alors : deg (P)= ∞ .
Remarque :
Avec la convention deg (0)= ∞ , la formule deg ( A×B)=deg (A)+deg (B) reste vraie dans tous
les cas.
A
=deg( A) deg( B), B≠0 .
On peut ainsi définir le degré d'une fraction rationnelle par : deg
B
Cette formule est toujours vraie même si A=0.
( )
Remarques :
–
Les polynômes constants non nuls ont un degré nul.
Attention : deg (P)=0 si et seulement si P est un polynôme constant non nul.
–
En particulier, si n=deg (P) , a n est le coefficient dominant.
Un polynôme unitaire (ou normalisé) est polynôme de coefficient dominant égal à 1.
On verra que le produit de deux polynôme unitaire est unitaire.
Remarque : (*)
Soit P un polynôme non nul. L'ensemble {k ∈ℕ∣ a k≠0} admet un plus petit élément qui est la
valuation de P notée val(P).
Si P est nul par convention : val (P)=+∞ .
Si
P n'est pas le polynôme nul, on a : val (P)≤deg ( P) .
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2- Opérations sur les polynômes.
On a 2 Lois de composition internes.
a- L'addition.
Définition
Soient A=(a k )(k ∈ℕ) et B=(b k )(k ∈ℕ) , on définit la somme des polynômes
C= A+B=( a k +b k )(k ∈ℕ)
A
et
Démonstration :
On note : n=deg (A) et m =deg (B) .
C= A+B=( a k +b k )(k ∈ℕ) est bien une suite presque nulle.
En effet : k >Max (n , m) ⇒a k=0 et b k =0 ⇒a k +b k=0 .
C est bien une suite presque nulle.
On a démontré la propriété suivante.
Propriété :
deg ( A+B)≤Max (deg (A) , deg( B))
deg ( A+B)=Max (deg (A) , deg( B)) si
A et
B sont de degrés différents :
Démonstration : si n>m par exemple , alors :
c n=a n≠0 ⇒ deg (C )≥n et comme deg (C )≤n , alors deg (C )=n .
Propriétés :
L'addition est commutative A+B=B+A .
Elle est associative, ( A+B)+C= A+( B+C )
Elle possède un élément neutre, le polynôme nul
Tout élément admet un symétrique pour l'addition.
(K [X ], +) Est un groupe abélien (groupe commutatif).
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B , par .
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b- La multiplication
Définition
Soient A=(a k )(k∈ ℕ) et
(
A× B=
B=(b k )(k ∈ℕ) , on définit le produit des polynômes
k
∑ ai ×b k
i=0
i
)
=
(k ∈ℕ)
∑
i + j =k
A et
B , par :
ai b j .
Démonstration :
k
c k=∑ a i×b k
i
i=0
Soit k tel que : k >deg (A)+deg( B)
a i≠0⇒ i≤deg( A)⇒ i≥ deg( A)⇒ k i≥k deg (A)⇒ k i>deg ( B)⇒ b k i=0
Donc : k >deg (A)+deg(B)⇒c k =0 .
(c k )(k ∈ℕ) est bien une suite presque nulle.
On a montré de plus que : deg ( A×B)≤deg ( A)+deg (B)
Propriété : deg (A× B)=deg ( A)+deg (B)
Démonstration : Montrons que c n+ m ≠0 . Avec : n=deg ( A) et m=deg (B)
n+m
c n+m = ∑ a i×b n+m
i
i=0
bn +m i≠0 ⇒ n+m i≤m⇒ n ≤i et a i≠0⇒ i≤n . On en déduit que tous les termes de la somme
sont nuls sauf pour i=n . Et :
c n+ m =a n ×bm ≠0 et donc deg ( A×B)≥deg (A)+deg (B) .
On a aussi démontré que :
Propriété
Le coefficient dominant du produit est le produit des coefficients dominants.
En particulier le produit de deux polynômes unitaires est unitaire.
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Conventions:
On note : X=( 0,1,0 , .....,0)
k
X×B=(0, b0 , b1 , b 2 , .....) c k=b k
1 . Car : c k=∑ a i ×b k
i
, avec a 1=¿ 1 et tous les
i=0
autres coefficients a i sont nuls.
k
X =(0,0, ..... ,0,1 ,0 ,.......) (1 à la kième place).
Et un polynôme se note : P=a 0+a1 X+a 2 X 2+..... a n Xn .
Remarque : multiplier par un polynôme constant, revient à multiplier tous les coefficients par la
constante.
c- Propriétés de l'addition et de la multiplication.
Définition (*):
Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition internes + et × qui vérifient.
– ( A , + ) est un groupe abélien.
–
–
–
× est associative.
× possède un élément neutre. ((1,0,0,0,.....) Polynôme constant égal à 1.)
× est distributive par rapport à +.
Propriété
K [ X ] , muni des deux lois de composition interne est un anneau commutatif (*).
On a :
( K [ X ] ,+) est un groupe commutatif.
A×( B×C)=A×( B×C)
A× B=B× A
1×P= P×1=P où 1=(1,0,0 , ....)
A×( B+C)=A× B+ A×C
( A+B)×C= A×C+B×C .
Remarque(*) : Ce n'est pas un corps. Les seuls polynômes inversibles pour la multiplication sont
les polynômes constants non nuls.
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Démonstration :
Seul l'associativité pose problème : Si D=( A×B)×C .
La relation d k =
∑
a i b j cl donne le résultat.
i+ j+l= k
(i ,j, l)∈ ℕ3
Remarque : on calcule dans K[X], comme dans ℤ :
0×P=P×0=0
Binôme de Newton.
Propriété :
∀(A, B)∈(K [X])2 : A×B=0⇒ A=0 ou B=0
C'est un anneau intègre (*).
Démonstration : on utilise la contraposée à savoir : Si A et B sont deux polynômes à
coefficients dans K tels que : A≠0 et B≠0 alors A×B≠0 .
On utilise la propriété du degré : deg ( A× B)=deg ( A)+deg ( B)≥0 ⇒ A×B≠0
Méthode : dans les exercices sur les polynômes on peut utiliser les coefficients mais aussi les
propriétés du degré.
Remarque : l'anneau des matrices carrées n'est pas intègre.
Corollaire : Soit
P un polynôme non nul. ∀( A, B)∈(K [X])2 :P×A=P×B⇒ A=B
Remarques : on peut simplifier par tout élément non nul. Tout élément non nul est régulier.
d- Composée de deux polynômes.
Définition :
n
Soit
P=∑ a k X k un élément de
K [ X ] et Q∈K [ X ] .
k=0
n
On pose :
P ∘Q=∑ a k Qk
k =0
Exemples :
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3- Structure d'espace vectoriel
Rappel :
Définition :
Soient K un corps et E un ensemble.
E est muni d'une loi de composition interne + et d'une loi de composition externe . K ×E → E .
On dit que le triplet (E,+,.) est un espace vectoriel si :
– (E,+) est un groupe abélien
– (1) associative : x+( y+z )=(x+ y)+z
– (2) élément neutre : 0 E . ∀ x∈ E , x+0 E =0 E +x= x
– (3) tout élément admet un symétrique : ∀ x∈E ,∃ x '∈E tel que : x+x '= x '+ x=0 E
x '= x
(4) commutative : ∀( x , y )∈E 2 : x+ y= y+ x
– Si la loi externe . vérifie les 4 propriétés suivantes :
2
2
∀(λ , µ)∈K et ∀( u , v )∈E :
(1) λ⋅(u+v )=λ⋅u+λ⋅v (distributivité scalaire)
(2) (λ+µ ). u=λ . u+µ . u (distributivité vectorielle)
(3) (λ⋅µ)⋅u=λ⋅(µ⋅u) (associativité)
(4) 1⋅u=u (axiome de l'identité)
Loi de composition externe.
Multiplication par un scalaire.
λ×A=(λ×a k )(k ∈ℕ)
Remarque : λ×A=(λ ,0 ,0 ,0 , ....,0 , ....)×A
k
c k=∑ λ i×a k i=λ0 ×a k =λ×a k
i=0
Propriété
K [ X ] , muni de l'addition et de la multiplication par un élément de K est un K espace vectoriel.
Définition
On note K n [X] l'ensemble des polynômes de degré inférieurs à n .
Propriété
K n [X] est un sous-espace vectoriel de
K [X ] .
Il est non vide et est stable par combinaison linéaire.
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4- Fonction polynomiale associée à un polynôme.
Définition
n
Soit P=∑ a k X un polynôme de
k
K [X ] .
k =0
On lui associe la fonction polynomiale
P̃ définie sur
K à valeurs dans
K qui à tout
n
α∈ K associe : P̃ (α)=∑ a k αk .
k=0
Remarques : dans la pratique, on utilise la même notation pour le polynôme et sa fonction.
Exemple : on a : a 0=P ( 0) .
Remarques : lorsque K =ℝ ou ℂ , les fonctions polynomiales sont égales si et seulement si
les coefficients sont égaux.
̃
̃
On a : (α P+βQ)=α
P+β
Q̃
̃ P̃ Q
̃
PQ=
̃
aP=a
P̃
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̃
̃
P ∘Q=
P̃ ∘ Q
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II- Arithmétique dans K[X]
1- Divisibilité
Définition
Soient A et B deux polynômes de K [ X ] .
On dit que B divise A ou que A est un multiple de B s' il existe un polynôme C de
que :
K [ X ] tel
A= B×C
On note : B∣A .
Exemples :
–
–
–
–
–
–
k
n
2
3
X divise X et plus généralement X ∣X ⇔ k≤n .
2
2
B=( X 1) divise A=( X 1) ( X +1)
X n 1=(X 1)×(1+X+...+X n 1) et donc X 1∣X n 1 .
Le polynôme nul ne divise que lui même.
Tout polynôme divise le polynôme nul.
Les polynômes constants non nuls divisent tout polynôme.
Propriété :
Si A n'est pas le polynôme nul, alors :
B∣A ⇒ deg (B)≤deg ( A)
Démonstration : ∃C ≠0 tel que : A= B×C ⇒ deg ( A)=deg ( B)+deg (C ) .
A≠0⇒ C≠0 ⇒ deg (C )≥0 ⇒ deg ( A)≥deg ( B)
Propriété :
∀(P , Q)∈ K [ X ]2 , D∣A et D∣B ⇒ D∣PA+QB
Démonstration : A= ED et B= FD⇒ PA+QB=PED+QFD=( PE+QF ) D⇒ D∣PE+QF
Remarque :
C'est une relation réflexive ( A∣A) et transitive Si C∣B et B∣A alors : C∣A .
Elle n'est pas antisymétrique.
2X 2 divise X2 et réciproquement, pourtant ces deux polynômes sont différents.
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Définition (*)
Les unités d'un anneau A sont les éléments inversibles de l'anneau pour la multiplication.
L'ensemble des unités de A est noté UA ou U( A) . C'est un groupe pour la multiplication.
Propriété(*): Les unités de K [ X ] sont les polynômes constants non nuls.
Démonstration :
Soient A et B tels que : A×B=1 . On a deg ( A)+deg (B)=0 .
Donc : deg ( A)=deg (B)=0 . Et A et B sont des polynôme constants non nuls.
Définition(*) : Dans un anneau A , deux éléments a et b sont dits associés si :
∃c∈U A , a=cb
Cas particuliers : Dans ℤ , a et b sont associés si et seulement si : ∣a∣=∣b∣
Définition
Deux polynômes
A et
B sont dis associés, s'il existe un scalaire λ ∈K ∗ tel que : A=λ B .
Exemple : X+1 et 2X+2 sont associés.
C'est une relation d'équivalence (réflexive,symétrique et transitive)
Remarque : Si
A et
B sont associées, alors la famille ( A , B) est liée dans K [ X ] .
Propriété : Deux polynômes associés ont même degré.
Démonstration : deg (A)=deg ( B)+deg (λ) et λ≠0 ⇒ deg (λ)=0 ⇒ deg ( A)=deg ( B)
Théorème
Les deux propriétés suivants sont équivalentes :
A divise B et B divise A
–
A et B sont associées.
–
Démonstration.
Pour les deux propriétés, si l'un des polynômes est nul, alors l'autre est nul, et les deux propriétés
sont vérifiées.
Soient A et B sont deux polynômes non nuls.
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A∣B⇒ B=AC et B∣A ⇒ A=DB ⇒ B=CDB⇒ CD=1car B≠0 .
⇒ deg (C )+deg ( D)=0 ⇒ deg (C )=deg ( D)=0 .
Et C et
D sont des polynômes constants non nuls. Et les polynômes A et B sont associés.
La réciproque est immédiate.
Si les polynômes sont associés, alors on a :
Et
B∣A et de même
B=
1
A et
λ
A=λ B avec λ≠0 .
A∣B .
Conséquence : La divisibilité est une relation d'ordre sur les polynômes unitaires, car deux
polynômes unitaires sont associée si et seulement si ils sont égaux.
2- Division euclidienne
Théorème
A et
Soient
B deux polynômes de
K [ X ] avec B ≠0 .
Il existe un unique couple (Q , R)∈K [ X ]2 tel que :
A= BQ+R avec : deg ( R )<deg ( B))
Démonstration :
Unicité
On suppose qu'il existe deux couples (Q1 , R1 ) et (Q2 , R2)
précédentes.
Montrons que : Q1=Q 2 et
vérifiant les deux conditions
R1=R 2 .
A= BQ 1+R1 et A=BQ 2+ R2 ⇒ BQ 1+R1= BQ 2+R 2 ⇒ B(Q1 Q2)=R 2 R1
On a :
B∣R2 R1 . On en déduit que : Soit
R2 R1=0 ou deg (B)≤deg ( R2 R1) .
Or : deg ( R2 R1)<deg ( B) . Ce qui implique que :
On en déduit que :
BQ 1=BQ 2 ⇒Q 1=Q2 car
R2 R1=0 ⇒ R 2=R1
B≠0 .
On a prouvé l'unicité.
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Démontrons l'existence :
Si A est le polynôme nul, le résultat est évident :
On a : Q=0 et R=0 et deg (R)<deg ( B) .
Dans la suite , on suppose
Si
A=0×B+0
A non nul, et deg (A)≥0 .
B est un polynôme constant non nul alors :
B=λ≠0 et :
( Aλ )+0
A=λ×
On suppose que
A
Et : deg (0)= ∞<deg (B)=0 et Q=
λ
R=0 .
et
B est un polynôme fixé avec : deg (B)= p≥1 .
Démontrons l'existence de Q et
R par récurrence forte sur le degré de
A .
Soit la propriété : P n « Pour tout polynôme A de degré égal à n , il existe un couple
(Q , R)∈K [ X ]2 tel que : A= BQ+R avec deg (R)< p .
A de degré strictement inférieur à
Initialisation : la propriété est vraie pour tout polynôme
Dans ce cas on a :
p .
A=0×B+ A avec deg (A)<deg ( B) .
En particulier, elle est vraie pour les polynômes de degré en 0.
Hérédité : on suppose que la propriété est vraie pour les polynôme de degrés inférieurs ou égaux à
n 1 . Montrons qu'elle est vraie pour les polynômes de degré n .
On suppose : n≥p (sinon le résultat est immédiat d'après ce qui précède).
p
k
Soit : B= ∑ b k X avec bp ≠0 .
k=0
Le polynôme
an n
X
bp
p
B a même degré que celui de
On considère le polynôme
inférieur à celui de
A1 défini par : A1= A
A et même coefficient dominant.
an n
X
bp
p
B qui a un degré strictement
A .
On a : deg ( A1)≤n 1 et on applique l'hypothèse de récurrence forte au polynôme
A1 .
∃(Q 1 , R 1)∈(K [ X ])2 tels que : A1= BQ 1+R1 avec : deg ( R1)<deg ( B) . On a :
A1= BQ 1+R1 ⇒ A
an n
X
bp
p
(
B=BQ 1+R1 ⇒ A=B Q1+
14/27
an n
X
bp
p
)
+R1 Et : deg (R 1)<deg (B)
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On pose : Q=Q 1+
Les polynômes
an n
X
bp
p
et
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A=QB+R avec deg ( R)<deg ( B)
R= R1 et on a :
Exemples :
A= X 5+4X 4+2X3+ X 2 X
R=6X 2 5X 13
1 ;
A=2X4 +5X3 X 2+2X+1 ;
A= X 3+ X +1 ;
A= X
3
1
;
B=2X2 3X+1 ; Q= X 2+4X+5
B=X +1 ; Q= X 2 X + 2 ;
B=X
A=3X2 X +3 ;
B=X 3 2X+3 ; Q= X 2+4X+4 ;
1 ; Q= X 2+ X +1 ;
B=2X+1 ; Q=
3
X
2
et
R=13X 4 .
R= 1 .
R=0
5
;
4
R=
17
4
Remarque : le degré joue le rôle de la valeur absolue dans ℤ .
Division euclidienne dans ℤ (*)
Soient (a ,b)∈ℤ×ℤ∗ . Il existe un unique couple (q , r )∈ℤ2
tel que :
a=bq+r et 0≤r ≤∣b∣ .
Propriété :
Soient A et B des polynômes de K [ X ] avec B≠0 .
B∣A si et seulement si le reste la division euclidienne de A par
Démonstration :
Si le reste est nul, alors B∣A .
Si B∣A , on a : A=Q B⇒ A=QB+0 avec deg (0)<deg ( B) .
D'après l'unicité du reste de la division euclidienne, on a : R=0 .
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B est nul.
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Applications :
Lien entre racines et factorisation.
Arithmétique dans K[X] : PGCD, algorithme d'Euclide.
Calcul d'intégrales :
π
4
I=∫ tan 4 ( x) dx
t =tan( x )⇒ dt=( 1+tan 2 ( x )) dx ⇒ dt=(1+t 2 ) dx ⇒ dx=
0
1
I =∫
0
t4
dt
1+t 2
A= X 4 ;
B=X 2+1 ; Q= X 2 1 ,
R=1
Le résultat est correct car : t 4=t 4 1=( t 2 +1)(t 2 1)+1
1
1
0
0
I =∫ (t 2 1) dt+∫
I=
1
dt
2
1+t
1
1+arctan (1)
3
I=π
4
2
3
16/27
dt
2
1+t
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III- Dérivation dans K[X]
1- Définition
n
Soit P=∑ a k X un polynôme de
k
K [X ] .
k =0
On définit le polynôme dérivée de P, noté
n
P '=∑ ka k X
k =1
P ' par :
n 1
k 1
ou encore P '=∑ a k +1 ( k+1) X .
k
k =0
Propriétés :
Si deg (P)≥1 , alors deg (P ')=deg ( P) 1
P est un polynôme constant si et seulement si
P ' =0 .
Remarques :
Cette notion coïncide avec la notion de fonction dérivée introduite en analyse.
Exemples :
2- Propriétés
a- Linéarité de la dérivation.
Propriété :
2
∀(P , Q)∈(K [ X ]) ,( P+Q )'= P '+Q '
∀α ∈K , et P ∈K [ X ] ,(α P) '=α P '
Les deux propriétés précédentes sont équivalentes à :
∀(α ,β)∈K 2 et ∀(P ,Q )∈(K [ X ])2 :(α P+β Q)' =α P ' +β Q '
Remarque : en algèbre linéaire, on verra que la fonction qui à P associe P ' est un
endomorphisme de K [ X ] , c'est-à-dire une application linéaire de K [ X ] dans lui même.
Elle est surjective, et non injective.
Sa restriction à
K n [ X ] , n'est ni injective, ni surjective.
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b- Dérivée d'un produit.
Propriété :
∀(P , Q)∈(K [ X ])2 ,( PQ)' =P ' Q+PQ '
Remarque : on peut la démontrer de façon formelle, ou utiliser l'équivalence entre l'égalité des
fonctions polynomiales et l'égalité des polynômes.
c- Dérivée d'une composée.
( P ∘Q)' =( P ' ∘Q)×Q'
3- Formule de Taylor.
Dérivée kième.
Soit
P ∈ K [ X ] , on définie la dérivée kième de
P , ,notée
P(k ) par :
P(0) =P et ∀ k ∈ℕ : P k+1=( P(k ))'
n 1
P '=∑ a k +1 ( k+1)X k ;
k =0
n 2
P ' '=∑ a k +2 ( k+2)(k +1) X k
k=0
n i
n i
P =∑ a k+i ( k +i )(k +i 1)...(k +1) X =∑ a k+i
(i)
k
k=0
(i)
P ( 0)=a i i!⇒ a i=
k=0
(k +i)! k
X
k!
P (i ) (0)
i!
P(n )=a n×n!
Et : i≥ n+1 ⇒ P (i )=0
Propriété
∀(α ,β)∈K 2 ,∀(P ,Q)∈(K [ X ])2 :(α P+β Q )(k )=α P (k) +β Q (k)
Remarque : la composée d'une application linéaire est linéaire.
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Propriété : formule de Leibniz.
n
()
∀( P , Q)∈(K [ X ]) :(PQ ) =∑ n P(k ) Q(n
k=0 k
(k)
2
k)
Théorème : formule de Taylor
Soit
P ∈ K [ X ] de degré inférieur ou égal à n et a ∈K . Alors :
(k )
n
P (a)
(X
k!
P=∑
k=0
k
a)
n
Démonstration : Soit
P=∑ a k X k On a : a k =
k =0
n
Et :
P=∑
k=0
P(k )(0)
k!
(k )
P (0) k
X
k!
Le théorème est vrai pour a=0 .
En posant : Q( X )=P ( X +a) et en appliquant la relation précédente au polynôme Q , on
obtient :
Avec : Q(k) ( X )=P(k ) ( X +a) et Q(k) ( 0)=P(k ) (a)
n
Q(k) ( 0) k n P(k )( a) k
P(k ) (a) k
Q( X )=∑
X =∑
X ⇒ P ( X +a)=∑
X
k!
k!
k!
k=0
k =0
k=0
n
n
P ( X )=Q ( X
a)⇒ P ( X )=∑
k=0
P (k) ( a)
(X
k!
a)k
Application algèbre linéaire.
Trouver les coordonnées d'un polynôme
P dans la base (( X
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a)k )0≤k ≤n
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IV- Racines d'un polynôme.
1- Définitions et caractérisation par la divisibilité.
Définition : α∈K , est racine de P , si P (α)=0 .
Caractérisation par la divisibilité.
Théorème : (Descartes)
Soient P∈ K[ X]et α∈K , alors α est racine de
P si et seulement si X α divise
P .
Démonstration : application de la division euclidienne.
B=X α est un polynôme non nul.
On effectue la division euclidienne de
P par
B . Et on a :
P=Q×B+R avecdeg (R )<deg (B) Or deg (B)=1⇒ deg (R )=0 ou deg( R)= ∞
Donc
R est une constante. Et P (α)=A(α)×B(α)+λ=λ . Et : P=Q×(X α)+P(α)
X α divise
P si et seulement si le reste de la division euclidienne est nul, soit P (α)=0
Remarques : La relation P=Q×(X α)+P(α) est vraie dans tous les cas.
Si on a un polynôme de degré 3 et qu'on connaît une de ses racines, on se ramène à une équation de
degré 2 pour déterminer les 2 autres racines.
Théorème
Si α1 , α2 ,.... , α p sont des racines distinctes de
P .
P alors : ( X α 1)( X α2 )....( X α p) divise
Démonstration :
Récurrence sur le nombre de racines distinctes.
Initialisation : vraie au rang 1. Théorème précédent.
On suppose que la proposition est vraie pour p , montrons qu'elle est vrai pour p+1 racines
distinctes.
On applique la proposition au rang p : P (X)=(X α 1)(X α2 )....(X α p) Q(X)
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Or : P (α p+1)=0⇒ Q(α p+1)=0 et donc X α p+1 divise Q et Q( X)=(X α p+1)S( X) . Et
donc :
P (X)=( X α 1)(X α2 )....(X α p)( X α p+1)S(X) d'où le résultat.
Théorème : (corollaire)
Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines distinctes.
Démonstration : s'il admettait n+1 racines distinctes, il serait divisible par le polynôme
( X α 1)(X α2 )....(X α p)( X α p+1) qui est de degré n+1.
Conséquence importante : la contraposée du résultat précédent est souvent utilisée pour montrer
qu'une fonction polynomiale est nulle. Si une fonction polynomiale de degré n a n+1 racines (ou
plus) alors elle est nulle. Pour que deux polynômes de degré inférieur ou égal à n soient égaux, il
suffit qu'ils prennent les mêmes valeurs pour n+1 éléments de K.
En particulier il suffit qu'un polynôme soit nul sur un intervalle, pour être le polynôme nul.
Caractère défini pour les produits scalaires sur des espaces de polynômes définis avec des
intégrales.
Deux polynômes de degré n sont égaux si et seulement si ils prennent les mêmes valeurs en n+1
points distincts.
Application : la fonction exponentielle sur ℂ n'est pas un polynôme.
Supposons qu'elle soit un polynôme alors on considère : f (z )=e z 1 qui est un polynôme.
Et ( αk =e 2i π k )k ∈ℕ sont une infinités de racines de f , ce qui est une contradiction.
Théorème :
Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs fonctions polynomiales associées sont égales.
Démonstration : si les polynômes sont égaux alors leur fonction polynomiale associée sont égales.
Si les fonctions polynomiales sont égales, alors A-B a une infinité de racines et est donc le
polynôme nul.
Remarque (*): ce résultat vrai sur ℝ ou ℂ ne l'est plus sur un corps fini.
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2- Ordre de multiplicité.
a- Définition et caractérisation par la divisibilité.
Définition
Soit P un polynôme non nul de K [ X ] et α une racine de P .
L'ordre de multiplicité de α est le plus grand entier m tel que ( X α)m divise
P .
Remarque : on considère A={m ∈ℕ,(X α)m∣P} .
A est une partie de ℕ non vide car 1∈A . A est majorée car (X α)deg (P)+1 ne peut
diviser P .
Car : Q∣P et P≠0 ⇒deg (Q)≤deg (P)
Définition :
Si m =1 , α est une racine simple. Si m=2 , α est une racine double.
Théorème
α est une racine d'ordre m de P si et seulement si :
P (X)=(X α)m B( X) avec B(α)≠0 et m≥1 .
Démonstration :
Supposons α est racine d'ordre m alors : (X α)m divise
Donc
P .
P s'écrit P=(X α)m B .
Si B(α) était nul, alors
pas d'ordre m.
Donc B(α)≠0 .
B s'écrirait B=( X α)C et ( X α)m+1 diviserait P, et α ne serait
Réciproquement si : P (X )=(X α) m B(X) avec B(α)≠0 , alors (X α)m divise
P .
Si (X α)m+1 divise P, alors (X α)m+1 D=(X α)m B⇒(X α)D=B⇒ B(α)=0 . Contradiction.
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Théorème
Si α1 ,...... α p des racines de P d'ordre de multiplicités respectifs m1 , … , m p alors :
P (X)=(X α 1)m ( X α2 )m ....( X α p )m Q( X)
1
2
p
Démonstration :
On fait une récurrence sur le nombre de racine.
Vraie pour
p=1 . C'est le théorème précédent.
On suppose le théorème vraie pour p racines, montrons qu'il est vrai pour p+1 racines.
On applique la propriété au rang p et :
m
m
m
P (X)=(X α 1) ( X α2 ) ....( X α p ) Q( X) P (α p+1)=0⇒ Q(α p+1)=0 .
1
2
p
Soit m l'ordre de multiplicité de α p+1 pour Q, le polynôme Q s'écrit : Q(X)=(X α p+1)m B(X)
avec B(α p+1≠0)
( X α p+1)m∣P ⇒ m≤m p+1 .
Si m<m p +1 , en divisant par ( X
α p+1)m , on montre que
B( α p+1)=0 .
Et d'après le résultat précédent, on a le résultat.
Théorème
Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines comptées avec leur ordre de multiplicité.
Corollaire du théorème précédent.
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b- Caractérisation par les dérivées successives.
Théorème
Soient P∈ K[ X] et α∈K .
α est racine d'ordre m si et seulement si : P (a)=P '(a )=....=P m 1 ( a)=0 et P m (a )≠0
Démonstration :
D'après la formule de Taylor, on a :
m 1
P ( X )= ∑
k=1
n
P ( X )= ∑
k=m
(k)
α)k + ∑
P (k) (α)
(X
k!
α)k + ∑
(∑
n
P ( X )=( X
n
P (α)
(X
k!
m
α)
k=m
k=m
m 1
k=1
P (k) ( α)
(X
k!
(k )
P (α)
(X
k!
α)k
P(k ) (α)
(X
k!
α)k
)∑
m 1
α)
k m
+
k=1
P (k) ( α)
(X
k!
P (k) ( α)
(X
k!
n
P ( X )=( X
α) Q( X )+ R( X ) avec : Q( X )= ∑
m
k=m
m 1
R( X )=∑
k=1
α)k
α) k
m
et
(k )
P (α)
(X
k!
α)k . On a : deg (R)<deg ( X
R est le reste de la division euclidienne du polynôme
α)m .
P par le polynôme ( X α)m .
( X α)m divise le polynôme P si et seulement si : R=0 , c'est-à-dire si tous les
coefficients de R sont nuls, soit : ∀ k : 0≤k≤m 1 : P(k )( α)=0 et dans ce cas :
P ( X )=( X
α)m Q( X )
n
On a : Q( X )= ∑
k=m
Q(α )=
(k)
P (α)
(X
k!
α) k m=
P
(m)
n
(k )
(α)
P (α)
+ ∑
(X
m!
k!
k=m 1
α)k
m
et :
P(m) (α )
≠0 .
m!
Et α est bien une racine de
P d'ordre m.
Corollaire
α est une racine simple de
P si et seulement si
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P (α)=0 et
P ' ( α)≠0 .
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Théorème
α est racine d'ordre m de P si et seulement si α est racine de
racine de P ' d'ordre d'ordre m 1 .
Attention !!!!: une racine de P ' n'est pas forcément une racine de
P et α est une
P.
3- Polynômes scindés
Définition : Un polynôme est scindé si c'est un produit de polynôme de degré 1.
Expression de la somme et du produit des racines d'un polynôme en fonction de ses coefficients.
P ( x )=a ( X
x 1)( X
n
n
On a : ( 1)
∏ x i=
i=1
x 2)...( X
a0
et
a
n
∑ xi =
i=1
xn)
an
a
1
Cas particulier des polynômes du seconde degré.
x 1+ x 2=
c
a
;
x 1 x 2=
b
.
a
Calcul de deux nombres connaissant leur somme et leur produit.
On résout :
x 2 Sx+P=0
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V- Décomposition d'un polynôme.
1- Polynômes irréductibles
Définition
Soit P∈ K[ X] . P est irréductible s'il vérifie :
– deg (P)≥1
– Les seuls diviseurs de P sont les polynômes constants non nuls (les polynômes
inversibles de K[X] pour la multiplication) , et les polynômes associés à P .
En particulier :
–
–
–
–
Un polynôme de degré 1 est irréductible.
Un polynôme irréductible a une racine si et seulement si il est de degré 1.
Un polynôme de degré 2 ou 3, qui n'a pas de racines est irréductible.
Mais un polynôme peut ne pas avoir de racine et ne pas être irréductible.
Dans ℝ[ X] , (1+X 2 )2 n' a pas de racines et n'est pas irréductible.
Remarque : les polynômes irréductibles sur
K [ X ] sont l'analogie des nombres premiers sur ℤ .
2- Décomposition d'un polynôme en produit de facteurs irréductibles.
a- Dans C[X]
Théorème de d'Alembert (admis).
Tout polynôme non constant de ℂ[X] , admet au moins une racine dans ℂ .
Remarque : le théorème n'a rien d'évident. En passant de ℝ à ℂ , le polynôme X 2+1
admet des racines. Mais il n'était pas évident que tous les polynômes non constants auraient des
racines dans ℂ .
Théorème
Dans ℂ[X ] , les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1.
Théorème
Dans ℂ[X ] , tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1, est le produit de polynôme de degré 1.
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Application : Décomposition dans ℂ[X] de X n 1
b- Dans R[X].
Théorème
Soit A∈ℝ [X] . Si α ∈ℂ est racine de
multiplicité.
̄ est racine de
A alors α
A avec le même ordre de
Démonstration :
n
n
n
n
k
Soit : P (X)= ∑ a k X ⇒ P(α)= ∑ a k α ⇒ P (α)=∑ a k α =0⇒ ∑ a k ᾱ =0 ⇒ α
̄ racine de P .
k
k=0
k
k=0
k
k=0
k =0
Pour l'ordre de multiplicité, on utilise la caractérisation avec les polynômes dérivés.
Théorème : Tout polynôme à coefficients réels s'écrit comme produit de polynôme de degré 1 ou 2.
Démonstration : on utilise la décomposition dans ℂ[X] .
On sépare les racines réelles, et les racines non réelles qu'on regroupe avec leurs conjuguées. Et :
(X z)(X ̄z )=X 2 2 ℜ(z)X+∣z∣2
Théorème
Les polynômes irréductibles de ℝ[ X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2
sans racines réelles (discriminant strictement négatif).
Corollaire du théorème précédent.
Méthode : pour écrire un polynôme réel sous forme de produits de polynômes irréductibles, on le
décompose dans ℂ puis on regroupe les racines complexes avec leur conjuguées.
Exemple : décomposition dans
R[ X ] de :
X 4+1 .
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