Introduction aux Probabilités

Introduction aux Probabilités
UNIVERSITY FERHAT ABBAS SÉTIF
EL-BACHIR YALLAOUI
© Draft date 24 août 2012

Table des matières
Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
1 Analyse Combinatoire 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Problèmes de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Partitions Ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Diagrammes en Arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Axiomes de probabilités 13
2.1 expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Ensemble Fondamental et Evénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Axiomes des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Probabilité sur un ensemble infini (dénombrable) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Probabilités conditionnelles-Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Variables aléatoires discrètes 28
3.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Moments d ’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.8 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Variables aléatoires continues 46
4.1 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Moments d’une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
ii

TABLE DES MATIÈRES iii
4.5 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Approximation par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Annexe A. Théorèmes Limites 64
A1 : Loi Faible des Grands Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A2 : Loi Faible des Grands Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A3 : Théorème Cental Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Annexe B. Résumé des Formules 67
Annexe C. Table de la loi normale centrée réduite 72
Introduction aux Probabilités El-Bachir Yallaoui–UFAS

Preface
La théorie des probabilités a commencé au XVIIe siècle en France, lorsque les deux grands
mathématiciens, Blaise Pascal et Pierre de Fermat, correspondaient à propos de deux pro-
problèmes de jeux de hasard. Des problèmes comme ceux Pascal et Fermat résolu continué
d’influencer ces premiers chercheurs que Huygens, Bernoulli, et DeMoivre en étaétablissant
une théorie mathématique des probabilités.
Mais, malgré cette longue et passionnante histoire, c’est seulement vers les années 1920 et
1930 que l’on introduisit le calcul des probabilités sous sa forme axiomatique. Le calcul des
probabilités a pris une importance considérable, de nos jours sa connaissance, ainsi la sta-
tistique, est devenue fondamentale dans presque toutes les disciplines, qu’il s’agisse de la
physique, de la chimie, de la biologie, de la médecine, de la psychologie, de la sociologie, des
sciences politiques, de l’éducation, de l’économie, des affaires, de la recherche opération-
nelle et de tous les domaines de la technique.
Ce polycopié constitue un résumé du cours d’initiation en probabilités et nécessite seule-
ment la connaissance de l’algèbre élémentaire. Il a pour but de donner une introduction
dans ce domain important aux étudiants de mathématiques à l’université Ferhat Abbas à
Sétif. Cet ouvrage est louin d’être un livre complet, Il ne saurait se substituer à un exposé
complet et commenté et encore moins à la pratique d’exercices d’application. Il peut néan-
moins servir de référence ou d’aide-mémoire en ce qui concerne les notions et outils de base
de ces disciplines. J’éspère qu’il aideras l’étudiant à avoir une bonne idée du sujet ainsi que
lui gagner du temps precieux d’écrire des notes durant le cours.
Ces notes de cours sont évidemment une version préliminaire et nous serions reconnaissant
à tout lecteur de nous faire part des fautes qu’il y aura détectées.
El-Bachir Yallaoui, Sétif 2012
iv

1
Analyse Combinatoire
SECTION 1.1
Introduction
Compter des objets et faire des additions, voilà bien les deux activités les plus élémentaires
à la base des mathématiques. Et pourtant à y regarder de plus près, ce n’est pas si facile. Déjà
pour un ensemble fini, la méthode qui consiste à regarder ses éléments l’un après l’autre et
à les compter (donc à les numéroter) n’est applicable que pour de « petits » ensembles. Le
plus souvent on s’en sort en faisant une représentation de l’ensemble à dénombrer à l’aide
d’un autre ensemble plus familier.
Dans ce chapitre, on développe quelques techniques permettant de déterminer le nombre
de résultats possibles d’une expérience particulière, ou encore le nombre d’éléments d’un
ensemble particulier. De telles techniques reçoivent souvent le nom d’analyse combina-
toire. Beaucoup de problèmes dans la théorie des probabilités exigent que nous comptons
le nombre de façons qu’un événement particulier peut se produire.
Pour cela, nous étudions les sujets de permutations et de combinaisons.
Avant de discuter les permutations, il est utile d’introduire un général de comptage tech-
nique qui nous permettra de résoudre une variété de problèmes de comptage, y compris le
problème de comptage du nombre de permutations possibles de nobjets.
SECTION 1.2
Problèmes de dénombrement
Considérons une expérience qui se déroule en plusieurs étapes e1,e2,...,epet est telle que
le nombre de nkrésultats à l’étape eksont indépendanta des résultats des autres étapes.
Nous voulons compter le nombre de façons que toute l’expérience peuvent être effectuées.
Considérons l’exemple suivat.
Exemple 1.1. Vous mangez dans un restaurant et le serveur vous informe que vous avez
(a) 2 choix pour les entrées : la soupe ou de jus,
1