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M5.4. Oscillations forcées d'un véhicule sur une route ondulée.
Enoncé.
Un véhicule automobile est sommairement modélisé par une masse m placée en Met reposant sur une
roue de centre O, par l'intermédiaire d'un ressort de raideur kmis en parallèle sur un amortisseur de
coefficient de frottement h. En toutes circonstances, l'axe OM reste vertical. On se propose d'examiner le
comportement du véhicule lorsqu'il a la vitesse vsur une route dont le profil impose au centre Ode la
roue une élongation zO(t) = acos (2 x/ ) par rapport à sa position d'équilibre. On repère le mouvement de
la masse par son élongation z(t) par rapport à sa position d'équilibre quand le véhicule est au repos. On
rappelle qu'un amortisseur placé entre Oet Mexerce sur Mune force de frottement fluide proportionnelle
à la vitesse relative de Mpar rapport à O:
( )
r M O
f h z z
.
1. Etablir l'équation différentielle en z(t) du mouvement de la masse, lorsque le véhicule se déplace à
vitesse constante v.
2. Déterminer l'amplitude du mouvement d'oscillation vertical du véhicule en régime permanent.
A quelle allure convient-il de rouler pour que cette amplitude soit aussi faible que possible ?
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M5.4. Oscillations forcées d'un véhicule sur une route ondulée.
Corrigé.
1. Equation différentielle en z(t).
Dans le référentiel terrestre posé galiléen on applique la seconde relation de Newton à la masse m:
ma f P T
(1) où :
z
m o
f h z z u
  force de frottement fluide
z
o
T k l l u
tension du ressort avec llongueur du ressort à une date tet losa
longueur à vide
z
P mg mgu
poids de la masse m
Comme la vitesse du véhicule est constante on peut écrire que
x
v
t
et donner ainsi une nouvelle
expression à l’élongation :
2
cos
o
v
z t a t
(2)
On projette l’équation (1) suivant
z
u
:
z m o o
ma h z z k l l mg
(3)
Lorsque la masse m est à l’équilibre la relation (3) s’écrit :
0éq o
k l l mg
    (4) avec
éq
l
longueur du ressort à l’équilibre.
De (4) on tire que :
éq o
mg k l l
   (5)
En tenant compte du résultat (5), la relation (3) devient :
z m o éq
ma h z z k l l
  (6)
D’autre part :
2 2
sin
o
v v
z a t
(7)
éq m o éq m o
l z t l z t l l z t z t
(8)
Il vient ainsi en explicitant (7) et (8) dans (6) :
2 2 2
sin cos
m m m
v v v
mz hz ha t kz ka t
cos sin
m m m
mz hz kz ka t ha t
  (9) avec
2
v
2. Amplitude du mouvement.
On applique la méthode de la représentation complexe :
cos exp
m M m M
z z t z z j t
avec exp
M M
z z j
En introduisant cette expression de l’élongation dans l’équation (9) et en simplifiant par exp
j t
on
obtient :
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2exp
M M M
m z j hz kz ka ha j
avec
2
car sin cos
2
t t
2
exp
M
ka ha j
z
k m j h
L’amplitude du mouvement a pour expression :
1
2
2 2 2
2
2 2 2
M M
k h
z z a
k m h
(10)
On peut remarquer que :
0
M
z a
,
0
correspondant à une vitesse nulle de la voiture ;
0
M
z
Pour ce type de système il existe une pulsation de résonance
r
qui correspond à une certaine vitesse
r
v
.
Il faut donc rouler à une vitesse supérieure à celle de résonance pour que l’amplitude des oscillations soit
faible mais au risque d’une perte d’adhérence du véhicule.
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