Courbes elliptiques, représentations galoisiennes et l`équation x + y

Courbes elliptiques, repr´esentations
galoisiennes et l’´equation x2+y3=z5
par
Steve Thiboutot
Novembre 1996
D´epartement de Math´ematiques et Statistiques
Universit´e McGill, Montr´eal
Canada
M´emoire pr´esent´e `a la Facult´e des ´ Etudes Sup´erieures de l’Universit´e McGill pour
l’obtention du grade de maˆıtre `es sciences (M.Sc.)
c
Steve Thiboutot, 1996
i

Remerciements
Ce m´emoire n’aurait jamais vu le jour sans les id´ees de mon directeur de recherche,
M. Henri Darmon. Ses nombreux conseils et explications, ainsi que son sup-
port m’ont ´et´e indispensables et j’aimerais le remercier sinc`erement. Les travaux
ant´erieurs de M. Frits Beukers ont ´et´e essentiels et je le remecie grandement pour
m’avoir calcul´e les polynˆomes qu’on retrouve dans l’appendice A. Je tiens aussi `a
exprimer ma reconnaissance envers M. Karl Rubin pour m’avoir donn´e une copie
du fichier contenant les polynˆomes de l’appendice B. Le support financier du Con-
seil de recherches en sciences naturelles et en g´enie du Canada m’a permis de me
concentrer sur mon projet et je les remercie grandement.
Merci enfin `a ma conjointe, Julie, pour qui j’exprime toute ma gratitude et, de
fa¸con g´en´erale, `a tous mes parents et amis, dont le support m’a ´et´e essentiel au
cours de l’´elaboration de ce travail.
ii

R´esum´e
L’´equation diophantienne
x2+y3=z5(1)
admet un nombre infini de solutions enti`eres avec pgcd(x, y, z) = 1. Appelons
(F, G, H) une famille param´etr´ee de solutions de (1) si F,Get Hsont des polynˆomes
homog`enes non nuls appartenant `a Q[s, t] satisfaisant pgcd(F, G, H) = 1 et
F(s, t)2+G(s, t)3=H(s, t)5pour tout s,tappartenant `a Z. Les solutions enti`eres
de (1) s’´ecrivent comme une union disjointe de familles param´etr´ees de solutions.
Un th´eor`eme de Beukers nous dit que ce nombre Nde familles param´etr´ees de so-
lutions est fini. Cependant, seul quelques familles param´etr´ees de solutions de (1)
sont connues. En ´etablissant un lien entre les repr´esentations galoisiennes mod 5
provenant de certaines courbes elliptiques et les familles param´etr´ees de solutions
de (1), on construit de nouvelles familles param´etr´ees de solutions et on indique
une m´ethode pour ´etablir une borne sup´erieure pour N.
iii

Abstract
The diophantine equation
x2+y3=z5(1)
has an infinite number of integer solutions with gcd(x, y, z) = 1. Call (F, G, H)
aparametrised solutions of (1) if F,G, and Hare non-trivial homogeneous poly-
nomials in Q[s, t] with gcd(F, G, H) = 1 and F(s, t)2+G(s, t)3=H(s, t)5for
all s,t∈Z. The integer solutions of (1) may be written as a disjoint union of
parametrised solutions. A theorem of Beukers states that the number Nof such
parametrised solutions is finite. However, only few parametrised solutions of (1) are
known. Establishing a link between the mod 5 Galois representations coming from
some elliptic curves and the parametrised solutions of (1), we find new parametrised
solutions and indicate a way to find a bound for N.
iv

Tables des mati`eres
Remerciements ii
R´esum´e iii
Abstract iv
1 Introduction 2
2 Pr´eliminaires 4
2.1 Courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Formes modulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 La Conjecture de Shimura-Taniyama . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Repr´esentations galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Th´eor`eme de Ribet et Dernier Th´eor`eme de Fermat . . . . . . . . . 30
3 L’´equation x2+y3=z533
3.1 Les travaux de Beukers sur l’´equation x2+y3=z5. . . . . . . . . 33
3.2 Lien entre familles param´etr´ees de solutions de x2+y3=z5et
repr´esentations galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Construction de familles param´etr´ees de solutions . . . . . . . . . . 41
3.4 Liste des familles param´etr´ees de solutions . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Borne sup´erieure pour le nombre de familles param´etr´ees de solutions 51
Appendice A 60
v