M2.8. Parabole de sûreté. 1. Choix de l`angle de tir. On

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M2.8. Parabole de sûreté.
1. Choix de l’angle de tir.
om
On étudie le mouvement du projectile, assimilé à un point, dans le référentiel terrestre supposé ici galiléen.
On admet aussi que ce système est uniquement soumis à son poids.
La seconde loi de Newton permet d’écrire dans ces conditions :


 
ma  mg  a  g
a  0
 x
a a y  0

az   g
b.c
La projection de cette équation suivant les différents vecteurs de la base cartésiennes et les intégrations
successives (en tenant compte des conditions initiales) permettent d’écrire :

x  0
 vx  0

 
v v y  vo cos 
OM  y  vo t cos  (1)


1
vz   gt  vo sin 
 z   gt 2  vot sin 

2
(2)
(1) permet décrire que : t 
we
L’équation de la trajectoire s’obtient en éliminant le temps des équations :
y
. En injectant ce résultat dans (2), on obtient :
vo cos 
ola
1
y2
z g 2
 y tan 
2 vo cos 2 
Si le projectile atteint le point M, les coordonnées  yM , zM  de ce point vérifient :
1
y2
zM   g 2 M 2  yM tan 
2 vo cos 
trajectoire :
 cos 2   1  tan 2    1  u 2  . En substituant ces expressions dans l’équation de la
1
1
kh
Soit u  tan 
1 yM2
zM  g 2 1  u 2   yM u  0
2 vo

0

w.
 1 y2
1 yM2 2
g 2 u  yM u   g M2  zM
2 vo
 2 vo
Cette équation a pour discriminant :
ww

1 y2  1 y2
  yM2  4 g M2  g M2  zM 
2 vo  2 vo

Si :
  0 il n'y a pas de solution réelle, le point M n'est pas accessible ;
  0 le problème a une solution ;
  0 le point M peut être atteint de deux manières : tir "tendu" ou tir en "cloche".
Le point M est atteint si   0 :

0


g 2 y4  v2
zM   yM2  4 M  o 2
vo  2 gyM

 vo2 gyM2 
zM  
 2 
 2 g 2vo 
ola
we
b.c
On obtient ainsi ce que l’on désigne par « parabole de sûreté » :
om
1 y2  1 y2
  yM2  4 g M2  g M2  zM
2 vo  2 vo
g 2 y2
y2
yM2  4 M  2 g M2 zM  0
vo
vo
ww
w.
kh
Les points accessibles du plan (Oyz) sont situés dans la zone hachurée, ceux qui se trouvent au dessus ne
peuvent être atteints par le projectile pour un angle donné et une vitesse initiale donnée.