1 modélisation avec lois usuelles

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE PROBABILISÉ FINI
1 MODÉLISATION AVEC LOIS USUELLES
1Une urne contient nboules noires et bblanches.
Un joueur tire kboules dans cette urne successivement
avec remise. S’il tire une boule blanche, il gagne gpoints,
et sinon il en perd 1. Quelle valeur de gfaut-il choisir
pour que le jeu soit d’espérance nulle ?
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2On tire au hasard un entier Xentre 1 et n, puis
de nouveau au hasard un entier Yentre 1 et X. Déter-
miner la loi et l’espérance de Y.
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3Un industriel reçoit d’un fournisseur un lot de
nproduits de numéros de série 1,2,.. . , n. Il contrôle
leur bon fonctionnement en les passant en revue les uns
après les autres au hasard et sans remise. On note Dle
numéro de série du dernier produit contrôlé. Détermi-
ner la loi, l’espérance et la variance de D.
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4On choisit une permutation σau hasard dans
Snet on note Lla longueur du cycle dans lequel 1 ap-
paraît quand on décompose σen produit de cycles dis-
joints. Montrer que Lsuit la loi uniforme sur ¹1, nº.
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5On lance nfois une pièce, puis de nouveau n
fois.
1) Avec quelle probabilité pna-t-on obtenu les deux
fois le même nombre de FACES ?
3) Déterminer un équivalent simple de pnlorsque
ntend vers +∞.
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61) Soit Xune variable aléatoire définie sur un es-
pace probabilisé fini et À VALEURS DANS N. On
note nla plus grande valeur de X. Montrer l’éga-
lité : E(X) =
n−1
X
k=0
P(X>k).
2) On lance nfois un dé équilibré à 6 faces et pour
tout i∈¹1, nº, on note Xile numéro de la face
obtenue au ième lancer.
On pose en outre : Mn=max ¦X1,...,Xn©.
a) Calculer P(Mn¶k)pour tout k∈¹1, 6º.
b) En déduire l’espérance de Mn.
c) Que vaut lim
n→+∞E(Mn)? À partir de quelle va-
leur de nest-il vrai que E(Mn)¾5 ?
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7Dans une usine de conditionnement de cerises
griottes, un lot de ncerises défile sur un tapis roulant et
un détecteur mesure le diamètre de chacune. Les cerises
sont réputées « naines » en-dessous d’un certain seuil et
un compteur enregistre au fur et à mesure le nombre
de cerises naines observées. Au départ, le compteur af-
fiche « 00 », et il cesse d’être incrémenté lorsqu’il atteint
« 99 ».
La proportion théorique de cerises naines dans la popu-
lation totale des cerises griottes est notée pet on sup-
pose que p∈]0, 1[. On note en outre Nnle nombre de
cerises naines observées à l’issue du contrôle des nce-
rises et Cnle nombre affiché finalement par le compteur.
1) Déterminer la loi de Nnet exprimer Cnen fonc-
tion de Nn.
2) Montrer l’égalité :
E(Cn) = 99 −
98
X
k=0
(99 −k)n
kpk(1−p)n−k.
3) Calculer lim
n→+∞E(Cn). Le résultat obtenu est-il na-
turel ?
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8On dispose d’un dé à 6 faces et d’une pièce de
monnaie. Après avoir effectué nlancers de dé, on lance
la pièce autant de fois qu’on a obtenu « 6 » avec le dé.
On note Sle nombre de « 6 » obtenus avec le dé et Fle
nombre de « faces » obtenues avec la pièce.
1) Déterminer la loi de S.
2) a) Déterminer la loi conditionnelle de Fsachant
S=spour tout s∈¹0, nº.
b) Vérifier que pour tous k,s∈¹0, nºavec k¶s:
s
kn
s=n
kn−k
s−k.
c) En déduire que : F,→ B n,1
12.
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9On choisit une permutation de ¹1, nºau hasard
et on note Nle nombre de ses points fixes. On note en
outre Fil’événement « La permutation choisie admet i
pour point fixe » pour tout i∈¹1, nº.
1) Calculer P(Fi)pour tout i∈¹1, nºet P(Fi∩Fj)
pour tous i,j∈¹1, nºavec i<j.
2) Exprimer Nen fonction des événéments F1,...,Fn,
puis en déduire l’espérance de N.
3) a) Calculer cov(Fi,Fj)pour tous i,j∈¹1, nº
avec i<j.
b) En déduire la variance de N.
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10 Une urne contient initialement une boule
noire et une blanche et on répète l’expérience aléatoire
suivante — on tire une boule, on la remet dans l’urne
et on ajoute aussitôt une boule supplémentaire de la
même couleur. Ce modèle d’urne est connu sous le nom
d’urne de Pólya.
Pour tout k∈N, on note Nkle nombre de boules blanches
dans l’urne après ktirages. Montrer que pour tout k∈N,
Nksuit la loi uniforme U¹1, k+1º.
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Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE PROBABILISÉ FINI
2 MODÉLISATION SANS LOIS USUELLES
11 On tire une boule dans une urne contenant,
pour tout k∈¹1, nº, exactement kboules indiscernables
portant le numéro « k». On note Nle numéro de la
boule tirée.
1) Déterminer la loi et l’espérance de N.
2) Calculer la probabilité de l’événement « Nest
pair ». Quelle limite quand ntend vers +∞?
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12 Deux joueurs lancent chacun nfois un dé équi-
libré à 6 faces. Ils lancent à chaque coup leurs dés en
même temps. Avec quelle probabilité obtiennent-ils cha-
cun leur premier « 6 » en même temps ?
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13 On tire simultanément kboules d’une urne en
contenant nnumérotées de 1 à net on note Nle plus
grand numéro tiré.
1) Déterminer la loi de N, puis montrer que :
E(N) = k×(n−k)!
n!
n
X
i=k
i!
(i−k)!.
2) On note Qle polynôme
n
X
i=k
(X+1)i.
a) Exprimer E(N)en fonction de Q(k)(0).
b) En déduire l’égalité : E(N) = (n+1)k
k+1.
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14 Un joueur dispose de nfléchettes pour écla-
ter un ballon. Sa probabilité de réussite à chaque tir est
notée p— avec p∈]0, 1[. On note Nle nombre de flé-
chettes utilisées à l’issue de la partie, que le ballon ait
éclaté ou non et sachant que le joueur arrête de lancer
ses fléchettes dès que le ballon éclate.
1) Déterminer la loi de N.
2) Pour tout k∈¹1, nº, si le ballon a éclaté, avec
quelle probabilité a-t-il éclaté avec la kème flé-
chette ?
3) Calculer l’espérance de N. Quelle limite lorsque
ntend vers +∞?
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15 On passe en revue dans un ordre quelconque
une liste de nsymboles dont exactement deux « ℵ». On
note A1le rang de la première apparition d’un tel « ℵ»
et A2celui de la deuxième apparition.
1) Déterminer la loi et l’espérance de A1.
2) a) Déterminer la loi conditionnelle de A2sachant
A1=ipour tout i∈¹1, n−1º.
b) En déduire la loi et l’espérance de A2.
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16 On tire nentiers au hasard dans ¹1,2nº, d’abord si-
multanément et on note Sle plus petit entier tiré, puis
successivement avec remise et on note Ale plus petit
entier tiré.
1)
a) Calculer P(S>k)pour tout k∈¹0, nº.
b) En déduire la loi de S.
2)
a) Calculer P(A>k)pour tout k∈¹0, 2n−1º.
b) En déduire la loi de A.
3) On note dans cette question Snet An
les variables Set Acar on va faire tendre nvers
+∞. Déterminer :
lim
n→+∞P(Sn=k)et lim n→+∞P(An=k)
pour tout k∈N∗, puis discuter ces résultats.
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17 On dispose de deux urnes. La première contient
initialement 1 boule blanche et 1 noire, et la seconde 2
boules blanches et 1 noire. On prélève simultanément
une boule dans chacune des deux urnes et on les change
aussitôt d’urne. Cette expérience est répétée un nombre
indéfini de fois.
On pose X0=1 et pour tout k∈N∗, on note Xkle
nombre de boules blanches dans la première urne à l’is-
sue du kème échange.
1) Pour tout k∈N, déterminer la loi de Xk+1en
fonction de la loi de Xk.
2) On pose : M=1
6
0 1 0
6 3 4
0 2 2
et pour tout
k∈N:Ck=
P(Xk=0)
P(Xk=1)
P(Xk=2)
.
a) Montrer que pour tout k∈N:Ck+1=M Ck.
b) Déterminer pour tout x∈¹0, 2º, après avoir
diagonalisé M, la limite lim
k→+∞P(Xk=x).
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18 Soit M= (Ri j )1¶i,j¶nune matrice aléatoire
dont les coefficients sont des variables aléatoires indé-
pendantes de loi uniforme sur ¦−1,1©.
On pose : D=det(M). Calculer l’espérance et la
variance de D.
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3 MANIPULATION FORMELLE
DE VARIABLES ALÉATOIRES
19 Soient (Ω,P)un espace probabilisé fini et A,B∈ P (Ω)
tels que : P(A) = 1
2,P(B) = 1 3et P(A∩B) = 1 4.
Déterminer la loi, l’espérance et l’écart-type de la va-
riable aléatoire A+2B.
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20 Soient p∈[0,1]. Retrouver, par une technique
polynomiale, les valeurs de l’espérance et de la variance
de la loi binomiale B(n,p).
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2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE PROBABILISÉ FINI
21 1) Soit Uune variable aléatoire définie sur un es-
pace probabilisé fini, de loi uniforme U¹1, nº.
Calculer la variance de U.
2) Soit Uune variable aléatoire définie sur un es-
pace probabilisé fini, de loi uniforme U¹m,nº
avec m,n∈Zet m¶n. Calculer la variance de
Uen étudiant la variable aléatoire U−m+1.
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22 Soit (X,Y)une variable aléatoire définie sur un
espace probabilisé fini et de loi uniforme U¹0, nº2.
1) Déterminer les lois de X,Yet X+Y.
2) Les variables aléatoires Xet Ysont-elles indé-
pendantes ?
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23 Soient Uet Vdeux variables aléatoires définies
sur un même espace probabilisé fini, indépendantes et
de même loi uniforme U¹1, nº. On pose :
I=min ¦U,V©et S=max ¦U,V©.
1) a) Déterminer la loi de I.
b) En déduire l’espérance de I.
2) Les variables aléatoires Iet Ssont-elles indépen-
dantes ?
3) Calculer l’espérance de Ssans déterminer sa loi.
4) Déterminer la loi du couple (I,S).
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24 Soient X,Yet Ztrois variables aléatoires défi-
nies sur un même espace probabilisé fini, indépendantes
et de loi uniforme U¹1, nº.
1) Déterminer la loi de X+Y.
2) Calculer P(X+Y=Z).
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25 Soient p∈]0,1[et X1,...,Xndes variables
aléatoires sur un même espace probabilisé, indépendantes
et de mêmes lois définies pour tout k∈¹1, nºpar :
P(Xk=1) = pet P(Xk=−1) = 1−p.
On pose pour tout k∈¹1, nº:Πk=
k
Y
i=1
Xiet :
uk=P(Πk=1)et vk=P(Πk=−1).
1) a) Montrer que pour tout k∈¹1, n−1º:
uk+1=puk+(1−p)vket vk+1= (1−p)uk+pvk.
b) Déterminer, grâce à uk+vket uk−vk, une
expression explicite de uket vken fonction de
kpour tout k∈¹1, nº. Interpréter le résultat
pour de grandes valeurs de k.
2) a) Montrer que si p=1
2, les variables aléatoires
Π1,...,Πnsont indépendantes.
b) Montrer que si Π1et Π2sont indépendantes,
alors p=1
2.
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26 Soient Xet Ydeux variables aléatoires défi-
nies sur un même espace probabilisé fini, indépendantes
et à valeurs dans ¹1, nº. Est-il possible que la somme
X+Ysuive la loi uniforme U¹2,2nº?
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4 INÉGALITÉS PROBABILISTES
27 Soit Xune variable aléatoire centrée. Montrer l’in-
égalité : E|X|¶pV(X).
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28 Soient a,b∈Ravec a¶bet Xune variable aléa-
toire à valeurs dans [a,b].
1) a) Montrer que :
b−E(X)E(X)−a=V(X)+E(b−X)(X−a).
b) En déduire l’inégalité de Bathia-Davis :
V(X)¶b−E(X)E(X)−a.
2) a) Montrer que :
E(X)−a+b
22
+b−E(X)E(X)−a=(b−a)2
4.
b) En déduire l’inégalité de Popoviciu :
V(X)¶(b−a)2
4.
3) Calculer la variance de (b−a)X+adans le cas où
Xsuit la loi de Bernoulli B1
2. Qu’en déduit-
on ?
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29 Soit Xune variable aléatoire centrée à valeurs
dans [−1,1]. On note σson écart-type.
1) Montrer que pour tous t¾0 et α¾0 :
P(X¾α)¶e−αtEetX .
2) a) Déterminer le minimum sur [−1, 1]de la fonc-
tion u7−→ 1+u+u2e−u.
b) En déduire que pour tout t∈[0, 1]:
EetX ¶1+σ2t2.
3) En déduire que pour tout λ∈[0,2σ]:
P(X¾λσ)¶e−λ2
4.
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30 Soient Xune variable aléatoire réelle et a>0.
3

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI VARIABLES ALÉATOIRES SUR UN ESPACE PROBABILISÉ FINI
1) Montrer que pour tout t¾0 :
PX−E(X)¾a¶t2+V(X)
(t+a)2.
2) En déduire l’inégalité :
PX−E(X)¾a¶V(X)
V(X) + a2.
3) Montrer enfin l’inégalité de Cantelli :
PX−E(X)¾a¶2 V(X)
V(X) + a2.
Comparer cette inégalité avec l’inégalité de Bienaymé-
Tchebychev.
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5LOI HYPERGÉOMÉTRIQUE
31 On s’intéresse à un jeu dans lequel, sur un total de n
numéros, gsont choisis à l’avance comme gagnants par
le meneur du jeu et connus de lui seul.
On suppose que : 1 ¶g¶n
3.
Dans la première phase du jeu, le joueur tire au hasard
gnuméros, après quoi le meneur dévoile gnuméros
perdants parmi les n−gque le joueur n’a pas tirés. Dans
la deuxième phase du jeu, le joueur a le choix entre
deux stratégies :
—Stratégie A : Il garde les gnuméros qu’il a tirés.
—Stratégie B : Il échange les gnuméros qu’il a
tirés contre gnouveaux numéros tirés au hasard
parmi les n−2gnuméros qui n’ont été ni tirés
ni dévoilés pendant la première phase.
1) On note G1le nombre de numéros gagnants ob-
tenus à l’issue de la première phase. Déterminer
la loi et l’espérance de G1.
2) On étudie spécifiquement dans cette question la
stratégie B. On note G2le nombre de numéros
gagnants obtenus parmi les gnuméros tirés pen-
dant la deuxième phase.
a) Déterminer la loi conditionnelle de G2sachant
G1=kpour tout k∈¹0, gº.
b) En déduire pour tout k∈¹0, gºl’espérance
conditionnelle de G2sachant G1=k, no-
tée E{G1=k}(G2)— i.e. l’espérance de G2pour
la probabilité conditionnelle P{G1=k}.
c) Montrer l’égalité :
E(G2) =
g
X
k=0
E{G1=k}(G2)P(G1=k).
d) En déduire que : E(G2) = g2(n−g)
n(n−2g).
3) Des stratégies Aet B, laquelle est préférable si
l’on veut le plus possible de numéros gagnants ?
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