Spé. Math. Mathématiques D.M. 1 2016 / 2017 Divisibilité et

Lycée des Métiers
Lycée DHUODA
Spé. Math.
Mathématiques
D.M. 1
2016 / 2017
Divisibilité et congruences
Exercice 1. Critères de divisibilité. Le but de l’exercice est de donner des critères de divisibilité (relativement) simples pour
vérifier si un nombre est divisible par 2, 3, 4, etc. jusqu’à 11.
On rappelle que le nombre qui s’écrit en base 10 : abcde f est en fait le nombre :
a×105+b×104+c×103+d×102+e×10+f,
et, plus généralement, si a0,a1, ..., ansont tous des nombres entiers entre 0 et 9, le nombre qui s’écrit N=anan−1...a1a0en
base 10 est en fait le nombre :
N=10nan+10n−1an−1+ · · · + 10a1+a0.
Dans la suite de l’exercice, sauf mention explicite du contraire, N,a0,a1, . .., ansont définis comme ci-dessus.
1. Critère de divisibilité par 2 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 2
juste en regardant son chiffre des unités.
2. Critère de divisibilité par 3 :
(a) Montrer que pour tout entier k, on a 10k≡1 (mod. 3).
(b) Montrer que N≡a0+a1+ · · · + an(mod. 3).
(c) En déduire un critère de divisibilité par 3.
3. Critère de divisibilité par 4 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 4
juste en regardant ses deux derniers chiffres.
4. Critère de divisibilité par 5 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 5
juste en regardant son chiffre des unités.
5. Critère de divisibilité par 6 : on admettra qu’un nombre est divisible par 6 ssi il est divisible par 2 et par 3, ce qui règle
ce cas.
6. Critère de divisibilité par 7 : on suppose ici que uest le chiffre des unités de N, et dle nombre obtenu en supprimant
ce chiffre des unités. Par exemple, si N=2456, on aura d=245 et u=6.
Montrer alors que Nest divisible par 7 ssi d−2ul’est.
7. Critère de divisibilité par 8 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 8
juste en regardant ses trois derniers chiffres.
8. Critère de divisibilité par 9 : énoncer et démontrer un critère permettant de vérifier qu’un nombre est divisible par 9
en adaptant le crtère de divisibilité par 3.
9. Critère de divisibilité par 10 : faut pas pousser non plus.
10. Critère de divisibilité par 11 : démontrer le critère suivant :
•On écrit la somme des chiffres de Nde rang pair (unités, centaines, dizaines de milliers) pour former le nombre A,
puis la somme des chiffres de rang impair (dizaines, milliers, centaines de milliers) pour former le nombre B. Alors
Nest divisible par 11 ssi A−Bl’est.
•Exemple : N=162789. On a ici A=6+7+9=22 et B=1+2+8=11. A−B=11 est divisible par 11, donc Naussi.
Remarque.
•Les critères de divisibilité par 2, 4, 8 se généralisent en critères de divisibilité par 2p, mais il faut alors regarder les pderniers chiffres
(et ce n’est pas bien pratique).
•La méthode du critère de divisibilité par 7 permet de donner des critères similaires pour la divisibilité par 13 (en considérant d+4u),
par 17 (d−5u), par 19 (d+2u), etc.
•La méthode du critère de divisibilité par 11 se généralise en critères de divisibilité par 101, 1001, etc. (mais ce n’est pas bien utile)
Exercice 2. Applications des critères précédents. Utiliser les critères précédents pour trouver des diviseurs des nombres :
A=9961 B=16302 C=44444
Exercice 3. Tiré des Olympiades Mathématiques. Soit A=44444444,Ble nombre égal à la somme des chiffres de A,Cle
nombre égal à la somme des chiffres de Bet Dle nombre égal à la somme des chiffres de C.
Combien vaut D?
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