NOUS TRAVAILLONS DANS L`ENSEMBLE DES NOMBRES

NOUS TRAVAILLONS DANS L’ENSEMBLE DES NOMBRES NATURELS
DM : UNE APPLICATION DES CONGRUENCES : LES CRITERES DE DIVISIBILITE
Un critère de divisibilité est un moyen simple de reconnaitre si un nombre est divisible par un
nombre donné.
Rappeler d’abord les critères de divisibilité par 3, 9, 4 et 5
L’objectif de ce DM est de démontrer la validité de ces critères.
Rappel :
A est un entier naturel dont l’écriture décimale (en base 10) est composé de n+ 1 chiffres : Soit a
(indice) 0, le le chiffre des unités, a(indice)1 le chiffre des dizaines, a(indice)2 le chiffre des centaines
et ainsi de suite.
On a donc : A= 10^n*a(n)+…+10^2*a(2)+10a(1)+a(0)
I- Divisibilité par 4
1) Montrer que 10^k congru 0 modulo 4 pour tout k naturel supérieur ou égal à 2
2) En déduire que A congru 10*a(1) + a(0) modulo 4
3) Retrouver alors le critère de divisibilité par 4
4) Sans calculatrice donner en justifiant les restes de la divisions par 4 des nombres suivants :
320 435, 129 020, 21 378
II- Divisibilité par 5
Reprendre la même méthode que dans le I- en étudiant des congruences modulo 5
III- Divisibilité par 3 ou 9
(Astuce) On pourra étudier les restes de la division euclidienne de 10^k par 3 ou 9
IV- Divisibilité par 11
Déterminer un critère de divisibilité par 11