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Mécanique
Chapitre 7
PTSI
Introduction
La vitesse et l’accélération d’un point dépendent du référentiel d’étude. Un changement de
référentiel s’accompagne donc d’une modification de ces grandeurs.
Nous allons établir dans ce chapitre les lois de composition des vitesses et des accélérations
qui donnent la relation (vectorielle) entre les expressions des vecteurs vitesse et accélération
dans deux référentiels différents que l’on notera R1 et R2.
Nous considérerons alors le mouvement d’un point M dans un référentiel R2 non galiléen en
se limitant aux cas suivants :
R2 est en translation rectiligne accélérée par rapport à R1 supposé galiléen,
R2 est en rotation uniforme autour d’un axe fixe de R1 supposé galiléen.
La RFD, le TEC et le TMC, valables jusqu’à présent uniquement en référentiel galiléen,
seront modifiés pour être valables dans un référentiel non galiléen en introduisant les « forces
d’inertie ».
I. Changement de référentiel : aspect cinématique
Position du problème
Soient R1 et R2, deux référentiels en mouvement quelconque l’un par rapport à l’autre. Les
rôles de R1 et R2 peuvent être inversés mais par commodité, on les distinguera comme suit :
R1 est appelé référentiel absolu, la vitesse v (M )/ R1 et l’accélération a (M )/ R1 de M par
rapport à ce référentiel seront alors qualifiées d’absolues ;
R2 est appelé référentiel relatif, la vitesse v (M )/ R2 et l’accélération a (M )/ R2 de M par
rapport à ce référentiel seront alors qualifiées de relatives.
Décomposition d’un mouvement quelconque :
Le mouvement quelconque de R2 par rapport à R1 est analogue à celui d’un solide lié à R2
décrit par rapport à R1 : en SI le mouvement d’un tel solide est caractérisé, à chaque instant,
par son vecteur rotation et la vitesse de l’un de ses points (éléments qui définissent le torseur
cinématique d’entraînement).
On admettra donc qu’un mouvement quelconque de R2 par rapport à R1 peut toujours être
décomposé quelque soit l’instant t en :
un mouvement de translation de R2 par rapport à R1 caractérisé par la vitesse de O2 (centre
dO1O2
dt
du repère lié R2) à par rapport à R1 : v (O2 )/ R1 =
et
R1
un mouvement de rotation de R2 par rapport à R1 caractérisé par un vecteur rotation
instantanée de R2 par rapport à R1 : Ω R2 / R1 .
Remarque sur la notion de translation :
Au sens de la mécanique, R2 est en translation par rapport à R1 si tout vecteur constant dans R2
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reste également constant dans R1. Exemples : le référentiel géocentrique par rapport au
référentiel héliocentrique, une nacelle d’une grande roue par rapport au sol.
Dérivation d’un vecteur par rapport au temps
La dérivée par rapport au temps d’un vecteur dépend du référentiel dans lequel s’effectue
cette dérivation. La relation entre les dérivées dans les référentiels R1 et R2 d’un vecteur
quelconque U est donnée par la formule suivante (dite de Varignon) :
dU
dt
dU
dt
=
R1
+ Ω R2 / R1 ∧ U
R2
En appliquant cette formule au vecteur O1M = O1O2 + O2 M on obtient les loi de composition
qui suivent. Par la suite Ω R2 / R1 sera noté Ω .
Loi de composition des vitesses
Cas général :
v(M )/ R1 = v(M )/ R2 + v(O2 )/ R1 + Ω R2 / R1 ∧ O2 M
soit en notant v r = v(M )/ R2 et v e = v(O2 )/ R1 + Ω R2 / R1 ∧ O2 M :
va = vr + ve
Cas d’une translation :
v e = v(O2 )/ R soit v(M )/ R1 = v r + v(O2 )/ R1 .
1
Cas d’une TRU1 :
v e = v(O2 )/ R1 = cte = V soit v(M )/ R1 = v r + V .
Cas d’une rotation uniforme :
v e = Ω R2 / R1 ∧ O2 M soit v(M )/ R1 = v r + Ω R2 / R1 ∧ O2 M .
Loi de composition des accélérations
Cas général :
(
)
a (M )/ R1 = a (M )/ R2 + a (O2 )/ R1 + Ω ∧ Ω ∧ O2 M +
(
dΩ
dt
)
soit en notant a r = a(M )/ R2 , a e = a(O2 )/ R1 + Ω ∧ Ω ∧ O2 M +
a c = 2Ω ∧ v(M )/ R2 = 2Ω ∧ v r :
aa = ar + ae + ac
Cas d’une translation :
a e = a (O2 )/ R1 et a c = 0 soit a (M )/ R1 = a r + a (O2 )/ R1 .
1
TRU = translation rectiligne uniforme.
2
∧ O2 M + 2Ω ∧ v(M )/ R2
R1
dΩ
dt
∧ O2 M et
R1
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Cas d’une TRU :
a e = a (O2 )/ R1 = 0 et a c = 0 soit a(M )/ R1 = a r = a(M )/ R2 : l’accélération est la même dans les
deux référentiels.
Cas d’une rotation uniforme :
(
(
)
)
a e = Ω ∧ Ω ∧ O2 M soit a(M )/ R1 =a r +Ω ∧ Ω ∧ O2 M + 2Ω ∧ v r .
Expression usuelle de l’accélération d’entraînement :
Très souvent les problèmes en PTSI se ramènent au cas d’une rotation autour d’un axe fixe
Oz. En notant H le projeté de M sur cet axe, on obtient (après calculs) :
a e = −Ω 2 HM (terme d’accélération centripète)
H
En coordonnées sphériques : a e (M ) = −Ω 2 r e r .
II. Lois de la dynamique en référentiel non galiléen
Relation fondamentale de la dynamique - forces d’inertie
Soit un point M(m) soumis à des forces de résultante F =
f ext,mat dans un référentiel R1
galiléen. Dans R1 la RFD s’écrit ma(M )/ R1 = ma a = F . On cherche la RFD dans R2 a priori
non galiléen, c'
est-à-dire à quoi est égale ma(M )/ R2 = ma r .
(
)
En utilisant la loi de composition des accélérations ma a = m a r + a e + a c = F on obtient :
On pose alors f i ,e
ma r = F − ma e − ma c .
= −ma e force d’inertie d’entraînement et f i ,c = −ma c force d’inertie de
Coriolis (ou complémentaire). On en déduit la RFD pour un référentiel quelconque non
galiléen :
Soit R un référentiel non galiléen en mouvement par rapport à un référentiel galiléen Rg , la
relation fondamentale de la dynamique reste valable dans R à condition d’inclure des forces
d’inertie qui traduisent le caractère non galiléen de R :
ma(M )/ R = ma r = F + f i ,e + f i ,c .
Remarques :
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F est la résultante des forces matérielles c’est-à-dire autres que les forces d’inertie pour
lesquelles il n’est pas possible d’identifier un système acteur de ces forces.
f i ,e = −ma e est aussi appelée force centrifuge.
f i ,c = −ma c = −2mΩ ∧ v r s’annule si R est en translation par rapport à Rg ou si M est à
l’équilibre (relatif) dans R ( v r = 0 ).
Si R est en TRU par rapport à Rg alors a a = a r et f i ,e = f i ,c = 0 . La RFD s’écrit alors de
la même manière dans les deux référentiels : ma (M )/ R = ma (M )/ Rg = F . La RFD a la même
expression dans les deux référentiels. Ainsi les phénomènes observés seront strictement
identiques. C’est le principe de relativité galiléenne. R est alors un référentiel galiléen.
Théorème du moment cinétique
Soit R un référentiel non galiléen en mouvement par rapport à un référentiel galiléen Rg , le
TMC reste valable dans R à condition d’inclure les moments des forces d’inertie qui
traduisent le caractère non galiléen de R :
dLA
dt
= m AM ∧ a (M )/ R = m AM ∧ a r =
(
)
( )
( )
M A f ext,mat + M A f i ,e + M A f i ,c .
R
Énergie en référentiel non galiléen
Rappel :
Le travail élémentaire d’une force dépend du vecteur vitesse donc du
référentiel δW = f .dr = f .v( M ) R dt . Dans le cas de la force d’inertie de Coriolis, on a
( )
δW f i ,c = f i ,c .v r = −2mΩ ∧ v r ⋅ v r = 0 . Par conséquent, cette force « ne travaille pas ».
TEC en référentiel non galiléen :
Soit R un référentiel non galiléen en mouvement par rapport à un référentiel galiléen Rg , le
TEC reste valable dans R à condition d’inclure le travail de la force d’inertie d’entraînement :
∆Ec = W f ext,mat + W f i ,e .
(
) ( )
Cas usuel où la force d’inertie dérive d’une énergie potentielle :
Dans le cas où l’accélération d’entraînement s’écrit a e (M ) = −Ω 2 r e r , on a f i ,e = mΩ 2 r e r et
( )
1
mΩ 2 r 2 . Dans ce cas particulier, la force d’inertie
2
1
dérive d’une énergie potentielle E p f i ,e = − mΩ 2 r 2 (ne pas retenir ce résultat).
2
δW f i ,e = mΩ 2 r e r .dr = mΩ 2 rdr = d
( )
III. Caractère galiléen approché de quelques référentiels usuels
Les référentiels usuels
Référentiel de Copernic ( référentiel de Kepler) :
Le référentiel de Copernic est considéré comme le référentiel galiléen de base. Il est constitué
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du centre de gravité C du système solaire (quasiment confondu avec le centre du Soleil) ainsi
que de 3 étoiles lointaines considérées comme fixe. Son repère a donc pour centre C et pour
axes Cx, Cy, Cz dirigés vers les 3 étoiles lointaines.
Référentiel géocentrique :
Le mouvement des satellites autour de la Terre est étudié dans le référentiel géocentrique en
translation elliptique (quasi circulaire) par rapport au référentiel de Copernic.
Il est constitué du centre O de la Terre ainsi que des 3 étoiles lointaines du référentiel de
Copernic. Son repère a donc pour centre O et pour axes Ox, Oy, Oz parallèles respectivement à
Cx, Cy, Cz.
Référentiel terrestre (ou référentiel du laboratoire) :
Le solide de référence est ici la Terre. Ce référentiel n’est pas considéré comme galiléen.
Définition pratique des référentiels galiléens
Le référentiel de Copernic étant considéré comme un référentiel galiléen, il existe donc une
infinité de référentiels galiléens, tous animés, par rapport au référentiel de Copernic, d’un
mouvement de translation rectiligne uniforme.
En pratique, pour des expériences ne nécessitant pas une grande précision ou ne s’étendant
pas sur une longue durée, le référentiel terrestre sera souvent considéré comme galiléen.
Définition du poids d’un corps
Le poids d’un corps est défini comme la somme de la force d’attraction gravitationnelle et de
la force d’inertie d’entraînement due à la rotation de la Terre sur elle-même.
Pour un objet M de masse m immobile dans le référentiel terrestre et situé à une altitude z, on
a f ie = mω2 HM et f
grav
= −G
MT
mM T
2
er .
e . On obtient alors P = m ω HM − G
2 r
(RT + z )2
(RT + z )
z
ω
er
M
H
f grav
λ
équateur
5
P
f ie