z - Le lycée Pierre

TSI 1 - Lycée Pierre-Paul Riquet
Mécanique - Chapitre 6 : Changement de référentiel
Ce qu’il faut retenir…
Soient R’
''' ,,;' zyx eeeO 
et R
zyx eeeO  ,,;
en mouvement l’un par rapport à l’autre.
Vecteur rotation instantanée de R’ par rapport à R :
RR /'
'
/'
'x
RR
R
xe
dt
ed 
,
'
/'
'y
RR
R
ye
dt
ed 
,
'
/'
'z
RR
R
ze
dt
ed 
RR /'
est selon l’axe de rotation et sa norme est égale à la vitesse angulaire de rotation de R’ par rapport
à R.
Exemple : R’ associé à une base cylindrique (
zr eee  ,,
) et R à une base cartésienne :
z
RR e /'
eee
dt
ed rz
R
r 
rz
R
eee
dt
ed  
0
zz
R
zee
dt
ed
Cas particuliers :
Translation :
0
/'  RR
les vecteur de R’ sont constants dans R,
Rotation uniforme autour d’un axe fixe de R :
Cte
RR  /'
Dérivation d’un vecteur :
U
dt
Ud
dt
Ud RR
RR
/'
'
Composition des vitesses :
Expression générale :
era
RR
RRR
vvv
ntentraînemedvitesserelativevitesseabsoluevitesse
MOOvMvMv
'
')'()()( /'
'
Cas particuliers :
Translation :
R
eOvv )'(
, indépendante de la position de M
Rotation autour d’un axe fixe de R :
HMMOv RRRR
e /'/' '
H projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation.
Composition des accélérations :
Expression générale :
cera
R
RRRRRR
RR
RRR
aaaa
Coriolisdententraînemedrelativeabsolue
onaccélérationaccélérationaccélérationaccélérati
MvMOMO
dt
d
OaMaMa
'
)(2'')'()()( '
/'/'/'
/'
'
Cas particuliers :
Translation :
R
eOaa )'(
, indépendante de la position de M et
0
c
a

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Rotation uniforme autour d’un axe fixe de R et O' fixe dans R :
HMaRRe 2/'
Mécanique en référentiel non galiléen :
Soient R, un référentiel galiléen, et R’, un référentiel non galiléen.
RFD dans un référentiel non galiléen :
icie
RFFFMam  '
)(
eie amF 
, force d’inertie d’entraînement
cic amF 
, force d’inertie de Coriolis
Les forces d'inertie sont des forces apparentes car elles ne résultent pas d'une interaction physique. Leurs
effets sont pourtant bien réels. Elles agissent sur les masses lorsqu'elles sont observées à partir d'un
référentiel non galiléen, c’est-à-dire d'un point de vue en mouvement (non en TRU).
Cas particuliers :
Translation :
0)'(  icRie FetOamF
Rotation uniforme autour d’un axe fixe de R et O' fixe dans R :
HMmFie 2
, force centrifuge.
TEC dans un référentiel non galiléen :
)()(
'ie R
cFWFWE 
TMC dans un référentiel non galiléen :
ic
o
ie
oo
R
OFMFMFM
dt
Ld '''
'
'
Caractère galiléen approché de certains référentiels :
Référentiel de Copernic :
Il a pour origine le centre de masse du système solaire (quasiment confondu avec celui du Soleil) ; les
directions sont définies à partir de trois étoiles suffisamment éloignées pour être considérées fixes.
Pour le système solaire, le référentiel de Copernic est celui pour lequel la relation fondamentale de la
dynamique est expérimentalement le mieux vérifié. Excellente approximation.
Référentiel de Kepler (ou héliocentrique) :
Il a pour origine le centre de masse du Soleil, ses directions sont parallèles à celles du référentiel de
Copernic. Excellente approximation également.
Référentiel géocentrique :
Il a pour origine le centre de masse de la Terre; ses directions sont parallèles à celles du référentiel de
Copernic.
Le référentiel géocentrique est en translation quasi circulaire par rapport au référentiel de Copernic, le
référentiel géocentrique n'est donc pas "galiléen".
Il constitue cependant une bonne approximation si on néglige le terme différentiel de marée, la seule
force de gravitation à considérer est alors celle exercée par la Terre.
Le référentiel terrestre RT :
Il est lié à la Terre.
La Terre a un mouvement de révolution quasi circulaire autour du Soleil et un mouvement de rotation
autour de l’axe N-S. Il n'est donc pas "galiléen".
Poids d’un corps de masse m : force opposée à celle qui le maintient en équilibre dans le référentiel
terrestre.
Si on néglige le terme différentiel de marée :
)( 2HMMGmpoids TT
Avec :
TM
TM
uetTMroùu
r
GM
m
F
MG rr
T
MTngravitatio
T 
2
,
,
champ de gravitation crée en M par T.
Champ de pesanteur terrestre, si on néglige le terme différentiel de marée :
HMMGg TT 2
H projeté orthogaonal de M sur l'axe de rotation de la Terre sur elle même.
On appelle verticale du lieu la direction du champ de pesanteur, elle est quasiment confondue avec
celle du champ de gravitation.
Il constitue cependant une bonne approximation si on tient compte de l’accélération
d’entraînement dans le poids
gm
et que l’on néglige le terme de Coriolis (v(M)RT < 700 m.s-1) :

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T
TR
T
poidslequeautre
RMvmgmFMam / /)(2)( 