z - Le lycée Pierre

TSI 1 - Lycée Pierre-Paul Riquet
Mécanique - Chapitre 6 : Changement de référentiel
Ce qu’il faut retenir…
Soient R’
O' ; e
x'
 
  
, e y ' , e z '  et R O; e x , e y , e z  en mouvement l’un par rapport à l’autre.
Vecteur rotation instantanée de R’ par rapport à R :  R '/ R
 d ex' 

   R '/ R  e x ' ,
 dt 

R
 d e y' 

   R '/ R  e ,
y'
 dt 

R
 d ez ' 

   R '/ R  e z '
 dt 

R
Composition des vitesses :
Expression générale :

va
v(O' ) R   R '/ R  O' M
vitesse d ' entraîneme nt

vr
ve
Cas particuliers :
  
Exemple : R’ associé à une base cylindrique ( er , e , e z ) et R à une base cartésienne :

 R '/ R   e z
 d er

 dt


vitesse absolue vitesse relative
 R '/ R est selon l’axe de rotation et sa norme est égale à la vitesse angulaire de rotation de R’ par rapport
à R.
 v( M ) R '
v( M ) R
Translation :
ve  v(O' ) R , indépendante de la position de M
Rotation autour d’un axe fixe de R :



   e z  er   e

R
 d e

 dt




   e z  e    er

R
ve   R '/ R  O' M   R '/ R  HM
H projeté orthogonal de M sur l’axe de rotation.
Composition des accélérations :
 d ez

 dt



   ez  ez  0

R
Expression générale :
a( M ) R
Cas particuliers :
Translation :
 R '/ R  0 les vecteur de R’ sont constants dans R,
Rotation uniforme autour d’un axe fixe de R :
Dérivation d’un vecteur :
 R '/ R  Cte
 dU 



   dU    R '/ R  U
 dt 



 R  dt  R '

accélérati on
absolue
aa
a( M ) R '

accélérati on
relative

ar

a(O' ) R 

d R ' / R
 O' M   R ' / R   R ' / R  O' M
dt
accélérati on
d ' entraîneme nt

ae
Cas particuliers :
Translation :
a e  a(O' ) R , indépendante de la position de M et ac  0


2 R ' / R  v( M ) R '
accélérati on
de Coriolis

ac
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Rotation uniforme autour d’un axe fixe de R et O' fixe dans R :
Il a pour origine le centre de masse du Soleil, ses directions sont parallèles à celles du référentiel de
Copernic. Excellente approximation également.
ae    R2 '/ R HM
Référentiel géocentrique :
Mécanique en référentiel non galiléen :
Il a pour origine le centre de masse de la Terre; ses directions sont parallèles à celles du référentiel de
Copernic.
Soient R, un référentiel galiléen, et R’, un référentiel non galiléen.
ma(M ) R '   F  Fie  Fic
RFD dans un référentiel non galiléen :
Le référentiel géocentrique est en translation quasi circulaire par rapport au référentiel de Copernic, le
référentiel géocentrique n'est donc pas "galiléen".
Fie  mae , force d’inertie d’entraînement
Fic  mac
Il constitue cependant une bonne approximation si on néglige le terme différentiel de marée, la seule
force de gravitation à considérer est alors celle exercée par la Terre.
, force d’inertie de Coriolis
Le référentiel terrestre RT :
Les forces d'inertie sont des forces apparentes car elles ne résultent pas d'une interaction physique. Leurs
effets sont pourtant bien réels. Elles agissent sur les masses lorsqu'elles sont observées à partir d'un
Il est lié à la Terre.
référentiel non galiléen, c’est-à-dire d'un point de vue en mouvement (non en TRU).
La Terre a un mouvement de révolution quasi circulaire autour du Soleil et un mouvement de rotation
autour de l’axe N-S. Il n'est donc pas "galiléen".
Cas particuliers :
Translation :
Fie  ma(O' ) R
Fic  0
et
Rotation uniforme autour d’un axe fixe de R et O' fixe dans R :
Poids d’un corps de masse m : force opposée à celle qui le maintient en équilibre dans le référentiel
terrestre.
Fie  m 2 HM , force centrifuge.
Si on néglige le terme différentiel de marée :
TEC dans un référentiel non galiléen :
Ec R'  W ( F )  W ( Fie )
TMC dans un référentiel non galiléen :

 
 
 d L O' 

   M o ' F  M o ' Fie  M o ' Fic
 dt 

 R'

Avec : GT
M  
Fgravitation,T M
m


poids  m(GT M   T2 HM )
GM T
ur
r2
où r  TM
Caractère galiléen approché de certains référentiels :
champ de gravitation crée en M par T.
Référentiel de Copernic :
Champ de pesanteur terrestre, si on néglige le terme différentiel de marée :
et u r 
TM
,
TM
 
g  GT M    T2 HM
Il a pour origine le centre de masse du système solaire (quasiment confondu avec celui du Soleil) ; les
H projeté orthogaonal de M sur l'axe de rotation de la Terre sur elle même.
directions sont définies à partir de trois étoiles suffisamment éloignées pour être considérées fixes.
Pour le système solaire, le référentiel de Copernic est celui pour lequel la relation fondamentale de la On appelle verticale du lieu la direction du champ de pesanteur, elle est quasiment confondue avec
celle du champ de gravitation.
dynamique est expérimentalement le mieux vérifié. Excellente approximation.
Référentiel de Kepler (ou héliocentrique) :
Il constitue cependant une bonne approximation si on tient compte de l’accélération
d’entraînement dans le poids
m g et que l’on néglige le terme de Coriolis (v(M)RT < 700 m.s-1) :
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ma(M ) / RT   Fautre que le poids  m g  2m T  v(M ) / RT