Chapitre Trigonométrie 2 I. Rappels : cosinus d’un angle aigu Activité à l’ordinateur Synthèse : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un des 2 angles aigus est le nombre égal à : longueur du coté adjacent . longueur de l'hypoténuse A cos C BC AC cos A AB AC C B Remarque : le cosinus d’un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1. Cela permet, dans un triangle rectangle, de calculer des longueurs (voir ex1) ou des mesures d’angles (voir ex2) Exercice modèle 1 Calculer la longueur AC. Arrondir au mm. A Dans le triangle ABC rectangle en B : 43° 5 cm C B Exercice modèle 2 Calculer la mesure de l’angle . Arrondir au degré. A Dans le triangle ABC rectangle en B : 8,2 cm 5 cm B C Sur la calculatrice, on tape Arccos (5 : 8,2) = II. Sinus et tangente d’un angle aigu Activité (avec l’ordinateur) : Soient [Ax) et [Ay) deux demi-droites. B et B’ sont deux points de [Ax) ; C et C’ deux points de [Ay) tels que (BC) et (B’C’) sont perpendiculaires à [Ax) C’ y C x A B B’ Une conjecture : Mesurer, puis calculer les rapports BC B'C' et AC AC' Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux. Mesurer, puis calculer les rapports BC B'C' et AB AB' Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux. La preuve : Les droites (Ax) et (Ay) sont sécantes en A o B et B’ sont deux points de (Ax) o C et C’ deux points de (Ay) o (CB) // (C’B’) car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (Ax) Donc d’après le théorème de Thales : AB AC BC AB' AC' B'C' D’une part : AC BC AC' B'C' Produits en croix ACB’C’=BCAC’ BC AC' AC B'C' BC AC' AC B'C'= D’autre part : Je divise les 2 membres par AC Je divise les 2 membres par AC’ AB BC AB' B'C' Produits en croix ABB’C’=BCAB’ BC AB' AB B'C' BC AB' AB B'C'= Je divise les 2 membres par AC Je divise les 2 membres par AC’ Synthèse : Soient des triangles rectangles ayant le même angle aigu A . Alors les rapports coté opposé coté opposé et ne dépendent pas de ces triangles hypoténuse coté adjacent rectangles. On les appelle respectivement le SINUS et la TANGENTE de l’angle A . En résumé : coté opposé BC = hypoténuse AC coté opposé BC tan A = = coté adjacent AB C sin A = A B Remarques : o Le sinus d’un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1 o La tangente d’un angle aigu est un nombre positif (pas forcément < 1) Application : 1) Calculer AC (arrondir au mm) 2) Calculer CD (arrondir au mm) III. Relations entre sinus, cosinus et tangente Montrons que si est un angle aigu, on a tan On a : sin cos A BC sin AC AB cos AC BC tan AB Donc : BC sin BC AC BC AC tan cos AB AC AB AB AC tan Retenons : C B sin cos Applications : 1. est la mesure d’un angle aigu. On donne cos = 0,6 et sin = 0,8. Calcule tan. tan= sin 0,8 4 cos 0, 6 3 2. Calcule sin sachant que tan tan sin cos 4 3 cos 3 et 5. 4 sin 3 3 5 sin 0,8 Montrons que sin cos 1 pour tout angle aigu 2 sin sin BC AC cos AB AC 2 2 2 A 2 BC AB cos AC AC BC2 AC2 B AC2 2 AC (th de Pythagore) AC 2 1 Retenons : 2 sin 2 cos 1 2 C Applications : 2 3 a) étant la mesure d’ un angle aigu avec cos= , calculer sin puis tan sans chercher à calculer . sin 2 cos 1 2 2 2 2 cos 1 3 4 2 sin 1 9 5 2 sin 9 5 sin 9 Calcul de tan : 5 sin 5 tan 9 2 cos 2 3 5 5 b) étant la mesure d’ un angle aigu avec sin= , calculer cos puis tan sans chercher à calculer . On trouve cos=0,6 et tan= 4 3 c) Démontrer la relation 1 tan 2 1 cos2 sin 2 cos2 sin 2 1 sin 1 tan 2 1 1 2 2 cos cos cos2 cos 2 d) Développer cos sin cos sin 2 2 cos2 2 cos sin sin2 1 2 cos sin