Trigonométrie 2

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on
n
no
o
om
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mé
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ét
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i
ie
e
e
I. Rappels : cosinus d’un angle aigu
Activité à l’ordinateur
Cela permet, dans un triangle rectangle, de calculer des longueurs (voir ex1) ou
des mesures d’angles (voir ex2)
Exercice modèle 1
Exercice modèle 2
Chapitre
2
2
2
Synthèse : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un des 2 angles aigus est le
nombre égal à :
longueur du coté adjacent
longueur de l'hypoténuse
.
Remarque : le cosinus d’un angle aigu est donc un nombre compris entre 0 et 1.
B
C
A
cos
BC
CAC
cos
AB
AAC
B
C
A
5 cm
43°
Calculer la longueur AC. Arrondir au mm.
Dans le triangle ABC rectangle en B :
B
C
A
5 cm
Calculer la mesure de l’angle 
. Arrondir au degré.
Dans le triangle ABC rectangle en B :
8,2 cm

II. Sinus et tangente d’un angle aigu
Activité (avec l’ordinateur) :
Soient [Ax) et [Ay) deux demi-droites. B et B’ sont deux points de [Ax) ;
C et C’ deux points de [Ay) tels que (BC) et (B’C’) sont perpendiculaires à [Ax)
 Une conjecture :
Mesurer, puis calculer les rapports
BC
AC
et
B'C'
AC'
Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.
Mesurer, puis calculer les rapports
BC
AB
et
B'C'
AB'
Conjecture : il semble que ces rapports sont égaux.
 La preuve :
Les droites (Ax) et (Ay) sont sécantes en A
o B et B’ sont deux points de (Ax)
o C et C’ deux points de (Ay)
o (CB) // (C’B’) car elles sont toutes les deux perpendiculaires à (Ax)
Donc d’après le théorème de Thales :
AB AC BC
AB' AC' B'C'
D’une part :
AC BC
AC' B'C'
ACB’C’=BCAC’
BC AC'
B'C'= AC
B'C' BC
AC' AC
D’autre part :
x
y
A
B
B’
C
C’
Produits en croix
Je divise les 2 membres par AC
Je divise les 2 membres par AC’
Sur la calculatrice, on tape Arccos (5 : 8,2) =

AB BC
AB' B'C'
ABB’C’=BCAB’
BC AB'
B'C'= AB
B'C' BC
AB' AB
Synthèse :
Soient des triangles rectangles ayant le même angle aigu
A
. Alors les
rapports
coté opposé
hypoténuse
et
coté opposé
coté adjacent
ne dépendent pas de ces triangles
rectangles.
On les appelle respectivement le SINUS et la TANGENTE de l’angle
A
.
En résumé :
sin
A
=
coté opposé
hypoténuse
=
BC
AC
tan
A
=
coté opposé
coté adjacent
=
BC
AB
Remarques :
o Le sinus d’un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1
o La tangente d’un angle aigu est un nombre positif (pas forcément < 1)
Application :
III. Relations entre sinus, cosinus et tangente
Produits en croix
Je divise les 2 membres par AC
Je divise les 2 membres par AC’
A
C
B
1) Calculer AC (arrondir au
mm)
2) Calculer CD (arrondir au
mm)

 Montrons que si  est un angle aigu, on a
sin
tan cos
On a :
BC
sin AC
AB
cos AC
BC
tan AB
Donc :
BC
sin BC AC BC
AC tan
AB
cos AC AB AB
AC
Retenons :
Applications :
1.  est la mesure d’un angle aigu. On donne cos = 0,6 et sin = 0,8.
Calcule tan.
tan=
sin 0,8 4
cos 0,6 3
2. Calcule sin sachant que
4
tan 3
et
3
cos 5
.
sin
tan cos
4 sin
3
35
sin 0,8
 Montrons que
22
sin cos 1
pour tout angle  aigu
BC
sin AC
AB
cos AC
22
22
22
2
BC AB
sin cos AC AC
BC AC
AC
2
2
AC
AC
1
(th de Pythagore)
Retenons :
A
B
C
A
B
C
22
sin cos 1
sin
tan cos

Applications :
a) étant la mesure d’ un angle aigu avec cos =
2
3
, calculer sin puis
tan sans chercher à calculer .
22
sin cos 1
22
2cos 1
3
24
sin 1 9
25
sin 9
5
sin 9
Calcul de tan :
5
sin 5
9
tan 2
cos 2
3
b)
étant la mesure d’ un angle aigu avec sin =
5
5
, calculer cos puis
tan sans chercher à calculer .
On trouve cos =0,6 et tan =
4
3
c) Démontrer la relation
22
1
1 tan cos
22 2 2
2222
sin sin cos sin 1
1 tan 1 1
cos cos cos cos
d) Développer
2
cos sin
222
cos sin cos 2cos sin sin 1 2cos sin