Partitions d`entiers, q-séries et lemme de Bailey.

Partitions et q-séries Lemme de Bailey-chaine de Bailey Quelques applications diophantiennes
Partitions d’entiers, q-séries et lemme de Bailey.
Frédéric Jouhet
Institut Camille Jordan
Université Lyon 1
Journées de combinatoire de Bordeaux
Labri, mercredi 4 février 2009

Partitions et q-séries Lemme de Bailey-chaine de Bailey Quelques applications diophantiennes
Partitions d’entiers
Partition de n∈N∗de longueur l: suite d’entiers
λ= (λ1≥λ2≥ · · · ≥ λl>0)
tels que
λ1+λ2+···+λl=n.
Les parts de λsont : λ1, λ2,...,λl.
Fonction génératrice :
n≥0
p(n)qn=
i≥1
1
1−qi·
Identité combinatoire :
i≥1
(1+qi) =
i≥1
1−q2i
1−qi=
i≥1
1
1−q2i−1
nombre de partitions de nen parts impaires =nombre de partitions de nen
parts distinctes

Partitions et q-séries Lemme de Bailey-chaine de Bailey Quelques applications diophantiennes
Partitions d’entiers
Partition de n∈N∗de longueur l: suite d’entiers
λ= (λ1≥λ2≥ · · · ≥ λl>0)
tels que
λ1+λ2+···+λl=n.
Les parts de λsont : λ1, λ2,...,λl.
Fonction génératrice :
n≥0
p(n)qn=
i≥1
1
1−qi·
Identité combinatoire :
i≥1
(1+qi) =
i≥1
1−q2i
1−qi=
i≥1
1
1−q2i−1
nombre de partitions de nen parts impaires =nombre de partitions de nen
parts distinctes

Partitions et q-séries Lemme de Bailey-chaine de Bailey Quelques applications diophantiennes
Partitions d’entiers
Partition de n∈N∗de longueur l: suite d’entiers
λ= (λ1≥λ2≥ · · · ≥ λl>0)
tels que
λ1+λ2+···+λl=n.
Les parts de λsont : λ1, λ2,...,λl.
Fonction génératrice :
n≥0
p(n)qn=
i≥1
1
1−qi·
Identité combinatoire :
i≥1
(1+qi) =
i≥1
1−q2i
1−qi=
i≥1
1
1−q2i−1
nombre de partitions de nen parts impaires =nombre de partitions de nen
parts distinctes

Partitions et q-séries Lemme de Bailey-chaine de Bailey Quelques applications diophantiennes
Identités de Rogers-Ramanujan
∞
n=0
qn2
(1−q)(1−q2)...(1−qn)=
∞
n=1
n≡±1(mod 5)
1
1−qn
∞
n=0
qn2+n
(1−q)(1−q2)...(1−qn)=
∞
n=1
n≡±2(mod 5)
1
1−qn
Interprétations combinatoires :
- nombre de partitions de ntelles que λi−λi+1≥2=nombre de partitions de
nen parts ≡ ±1(mod 5)
- nombre de partitions de nen parts ≥2 telles que λi−λi+1≥2=nombre de
partitions de nen parts ≡ ±2(mod 5).