Table des Matières - Editions Ellipses

Table des matières
1 THÉORIE DES NOMBRES 5
1.1 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nombrespremiers ................................. 10
1.3 PGCDetPPCM .................................. 19
1.3.1 pgcd..................................... 19
1.3.2 ppcm .................................... 20
1.4 Pairetimpair.................................... 30
1.5 Congruence ..................................... 33
1.6 Théorèmedesresteschinois............................ 46
1.7 Systèmedenumération .............................. 52
1.8 Puissancesd’entiers ................................ 57
1.9 Partieentière.Partiefractionnaire ........................ 72
1.9.1 Partie entière et points à coordonnées entières . . . . . . . . . . . . . . 81
1.9.2 QuelquesidentitésdutypeRamanujan.................. 86
1.10Fonctionsmultiplicatives.............................. 88
1.11Fonctionindicatriced’Euler............................ 91
1.12FormuledeLegendre................................ 96
1.13ThéorèmesdeFermat,EuleretWilson......................100
1.13.1ThéorèmedeFermat............................100
1.13.2Théorèmed’Euler .............................108
1.13.3ThéorèmedeWilson............................117
1.14Racinesprimitivesmodulolespremiers......................120
1.15Nombrespremiersenprogressionarithmétique .................123
1.16 Étude des fonctions f:N−→ N.........................127
1.17LemmedeMihaiManea(oulemmeLTE) ....................132
1

2TABLE DES MATIÈRES
1.18ThéorèmedeZsigmondy..............................139
1.19Résidusquadratiques.SymboledeLegendre...................142
1.20NombresdeFermat.................................154
1.21NombresdeMersenne ...............................157
1.22Nombresparfaits.Nombrestriangulaires.....................158
1.23Coefficientsbinomiaux...............................162
1.24ThéorèmedeLucas.................................164
1.25Développementadditif...............................167
1.26 Quelques méthodes en théorie des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
1.26.1Plusgrandetpluspetitélément .....................172
1.26.2Principedestiroirs.............................175
1.26.3Raisonnementparrécurrence .......................177
1.26.4Principed’inclusion-exclusion.......................183
1.26.5 «VietaJumping».............................186
1.26.6Polynômescyclotomiques .........................190
1.27Exercices ......................................193
2 ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES 227
2.1 Méthodededécomposition ............................227
2.2 Utilisation des inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
2.3 Méthode de la représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
2.4 Utilisation de la congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
2.5 Raisonnementparrécurrence ...........................242
2.6 Méthode de descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
2.7 Méthodesettechniquesdiverses..........................249
2.8 Équationsdiophantiennessanssolutionsentières ................253
2.9 Équations diophantiennes avec une infinité de solutions . . . . . . . . . . . . 256
2.10Équationsdiophantienneslinéaires ........................258
2.11Équationsdiophantiennesquadratiques .....................261
2.11.1 Équation de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2.11.2ÉquationsdePell..............................265
2.11.3 Autres équations diophantiennes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . 274
2.12Diverseséquationsdiophantiennes ........................279
2.12.1Équationscubiques.............................279
2.12.2 Équations diophantiennes polynômiales de degré ≥4..........281
2.12.3Équationsdiophantiennesexponentielles.................284
2.13 Diviseurs premiers de la forme 4m+3 ......................289
2.14ÉquationsdiophantiennesdutypeEuler.....................291

TABLE DES MATIÈRES 3
2.15 Méthodes avancées de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
2.15.1 L’anneau Z[i]desentiersdeGauss ....................297
2.15.2 L’anneau des entiers de Q[√d] ......................301
2.15.3 Diviseurs de a2+b2avec aet bdesentiers ...............305
2.15.4 Diviseurs de a2+2b2avec aet bdesentiers...............307
2.15.5 Diviseurs de a2−2b2avec aet bdesentiers...............308
2.16Exercices ......................................309
3 COMBINATOIRE 321
3.1 Principes de bases et formules de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . 321
3.1.1 Deuxprincipesbasiquesdedénombrement................321
3.1.2 Permutation et combinaison sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . 322
3.1.3 Permutation circulaire d’éléments distincts . . . . . . . . . . . . . . . 323
3.1.4 Quelquesidentitéscombinatoires .....................324
3.1.5 Nombre de solutions d’une équation de premier degré . . . . . . . . . 330
3.1.6 Raisonnementparrécurrence .......................332
3.1.7 SuitedeFibonaccietnombresdeCatalan................338
3.1.8 Principed’inclusion-exclusion.......................340
3.1.9 Exercices ..................................345
3.2 Suitesrécurrentes..................................349
3.2.1 Équationcaractéristique..........................350
3.2.2 Méthodedesubstitution..........................352
3.3 Principedestiroirsetprincipedelavaleurmoyenne ..............356
3.3.1 Principedestiroirs.............................356
3.3.2 Principedelavaleurmoyenne.......................366
3.4 Invariants ......................................368
3.4.1 Définitionetpremiersexemples......................368
3.4.2 Coloriage ..................................372
3.4.3 Théoriedesjeux ..............................374
3.5 Fonctions ......................................376
3.5.1 Lesfonctionsencombinatoire.......................376
3.5.2 Compterdedeuxfaçons! .........................382
3.5.3 Mettreenpaire...............................390
3.6 Fonctionsgénératrices ...............................394
3.7 Classificationetméthodedesétapesfractionnaires ...............399
3.7.1 Classification ................................399
3.7.2 Méthodedesétapesfractionnaires ....................402
3.7.3 Exercices ..................................404

4TABLE DES MATIÈRES
3.8 Relationsderécurrence ..............................408
3.9 Méthoded’évaluation ...............................420
3.10Raisonnementparl’absurde.Principeextrême..................423
3.10.1Raisonnementparl’absurde........................423
3.10.2Principeextrême..............................428
3.11Méthoded’ajustementlocal............................430
3.11.1Exercices ..................................434
3.12Méthodesconstructives ..............................437
3.12.1Exercices ..................................442
3.13Problèmesd’existence.Inégalitésencombinatoire................446
3.14Maximumetminimumencombinatoire .....................453
3.14.1Exercices ..................................459
3.15Racinesdel’unité..................................463
3.16Exercices ......................................467
4 THÉORIE DES GRAPHES 505
4.1 Définitiond’ungraphe...............................505
4.2 Degréd’unsommet.................................512
4.3 ThéorèmedeTurán ................................519
4.4 Arbres........................................527
4.5 Problèmed’Euler..................................532
4.6 Problèmed’Hamilton................................535
4.7 Graphesplanaires..................................543
4.8 ThéoriedeRamsey.................................552
4.9 Couplages......................................570
4.10Exercices ......................................572
5 POLYNÔMES 579
5.1 Définitions.Généralités ..............................579
5.2 Polynômesetarithmétique ............................586
5.3 Racinesetcoefficients.FormulesdeViète ....................591
5.4 Dérivéed’unpolynôme...............................600
5.5 Polynômesirréductibles ..............................602
5.6 Polynômes d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
5.7 Exercices ......................................612
....................................
..........................................6
6
4
Inde
x
39
1
Bibliographie