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MATRICES
Quelques repères historiques
(Voir le magazine « Tangente », HS N° 44, janvier 2012)
Les carrés « latins », ancêtres des Sudoku, sont connus depuis longtemps (on en trouve
dans une légende chinoise qui date de plus de 2000 ans)
Les tableaux de nombres apparaissent au début de notre ère en Chine où ils sont
matérialisés par des baguettes, que l'on manipule pour résoudre des systèmes d'équations à
deux ou trois inconnues. Une étude plus théorique de ces tableaux de nombres attendra la fin
du 17éme siècle, toujours pour la présentation et la résolution de systèmes d'équations.
Le mot « matrice » pour désigner ces tableaux de nombres n'apparaît que vers 1850 dans
les travaux des britanniques Sylvester et Cayley qui développent une première théorie en les
considérant comme de véritables objets mathématiques, un peu comme des nombres, et plus
seulement une commodité d'écriture.
Quelques utilisations actuelles des matrices
Les matrices sont actuellement très utilisées
–en économie (tableaux d'échanges industriels),
–en Sciences Physiques (en particulier en électronique),
–en Sciences de la Vie (modèles proies-prédateurs),
–en Mathématiques (surtout en algèbre, géométrie et probabilités),
–dans le monde des assurances et de la finance (actuariat),
–dans le traitement d'images (matrice de convolution...)
–...

I – MATRICES
1 – Vocabulaire et notations :
Soient m et n deux entiers naturels non nuls, une matrice de dimension (ou taille) mxn est un tableau de m
lignes et n colonnes.
La matrice
a11 a12 ... a1n
sera notée :
(
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn
)
abrégé en
(
aij
)
i=1..m; j=1..n
ou encore A
a21 a22 ... a2n
... ... ... ..
am1 am2 ... amn
Les nombres
aij
sont les coefficients de la matrice, le nombre
aij
est situé à l'intersection de la ième ligne et de la
jème colonne.
Égalité de deux matrices :
Deux matrices sont égales si et seulement si elles ont la même dimension et ont les mêmes coefficients aux mêmes places.
2 – Cas particuliers :
Soit A une matrice de dimension mxn,
- si m = n, A est une matrice carrée d'ordre n,
- si m = 1, A est une matrice ligne,
- si n = 1, A est une matrice colonne.
La matrice carrée d'ordre n ne comportant que des 0 est la matrice nulle d'ordre n , elle sera notée On.
La matrice carrée d'ordre n ne comportant que des 1 sur sa diagonale principale et des 0 partout ailleurs est la
matrice identité d'ordre n, elle sera notée In.
Exemples :
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
est …
(
1−1 0 4
)
est...
(
0
1
−1
)
est ...
II – OPÉRATIONS DANS L'ENSEMBLE DES MATRICES
1 – Addition
La somme de deux matrices
A=
(
aij
)
i=1..m ; j=1..n
et
B=
(
bij
)
i=1..m; j =1..n
de même dimension mxn est la matrice C de dimension mxn définie par
C=
(
cij
)
i=1..m; j=1..n
avec pour tout i entre 1 et m et tout j entre 1 et n,
cij=aij +bij
Exemple :
(
1−2 4
−1 0 7
0 1 5
)
+
(
1−1 0
−1 6 1
0 1 −1
)
=

Propriétés :
–Pour toutes matrices A et B de même dimension, A + B = B + A
(on dit que l'addition des matrices est commutative)
–Pour toutes matrices A, B et C de même dimension et (A + B) + C = A + (B + C) qui sera plus
simplement notée A + B + C. (on dit que l'addition des matrices est associative)
2 – Opposé et différence
La matrice opposée de la matrice
A=
(
aij
)
i=1..m ; j=1..n
est la matrice notée
−A=
(
−aij
)
i=1..m ; j =1..n
On a par définition
A+(−A)=Omn
où
Omn
est la matrice nulle de dimension mxn.
Ceci permet de définir la différence de deux matrices :
Pour toutes matrices A et B de même dimension,
A−B=A+(−B)
3 – Produit par un nombre réel
Soit A une matrice de dimension mxn et k un nombre réel quelconque,
la matrice k.A est la matrice
(
bij
)
i=1..m ; j=1..n
définie par :
pour tout i entre 1 et m et tout j entre 1 et n,
bij=k.aij
Exemple : si
A=
(
1−2 4
−1 0 7
0 1 5
)
et
B=
(
0 3 4
−12 1 5
0 2 3
)
alors
3A=¿
−2B=¿
3A−2B=¿
4 – Produit de deux matrices
a) Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne
Soit
A=
(
aij
)
i=1..n ; j =1..n
une matrice carrée de taille n et
B=
(
bi
)
i=1..n
une matrice colonne à n lignes,
le produit
A×B
est la matrice colonne à n lignes :
C=
(
ci
)
i=1..n
où pour tout i entre 1 et n,
ci=ai1×b1+ai2×b2+...+ai n ×bn
exemple :
(
10 5 15
8 5 10
0 1 5
)
×
(
3
2
1,5
)
=

b) Cas général
Soient
A=
(
aij
)
i=1..m ; j=1..n
une matrice de taille mxn et
B=
(
bij
)
i=1..n ; j=1..p
une matrice de taille nxp,
le produit
C=A×B
est la matrice de taille mxp telle que,
pour tout i entre 1 et m et tout j entre 1 et p, le coefficient
cij
est le produit de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B .
exemple :
R=
(
2 5 7 5
8 5 3 2
10−2 2
)
,
S=
(
2 5
5 3
)
et
T=
(
3 1
2 3
1 2
4 2
)
Remarque :
S×T≠T×S
la multiplication des matrices n'est pas commutative.
III – MULTIPLICATION DANS L'ENSEMBLE DES MATRICES CARRÉES D'ORDRE N
1 – Définition
C'est un cas particulier du produit défini au paragraphe précédent :
Soient
A=
(
aij
)
i=1..n ; j =1..n
et
B=
(
bij
)
i=1..n ; j=1..n
deux matrices carrées de même ordre n,
le produit
A×B
est la matrice carrée d'ordre n dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A
par les colonnes de la matrice B :
C=
(
cij
)
i=1..n ; j=1..n
où pour tous i et j entre 1 et n,
cij=ai1×b1j +ai2×b2j+...+ai n ×bnj
exemple :
(
1 2 3
4 5 6
7 8 9
)
×
(
1−1 1
−2 2 −2
3−3 3
)
=

2 – Propriétés (admises)
a) La multiplication des matrices est associative : pour toutes matrices carrées
A , B
et
C
de même ordre n,
A×(B×C)=( A×B)×C
. Ce produit sera noté
A×B×C
b) La multiplication des matrices est distributive par rapport à l'addition : pour toutes matrices
carrées
A , B
et
C
de même ordre n,
A×(B+C)= A×B+A×C
et
(A+B)×C=A×C+B×C
c) Pour toutes matrices carrées
A
et
B
de même ordre n et tout nombre réel k,
A×(kB)=(kA)×B
, ce produit sera noté plus simplement
kAB
.
d) Soit
In
la matrice identité d'ordre n, pour toute matrice carrée
A
d'ordre n,
A×In=In×A=A
on dit que la matrice
In
est l'élément neutre de la multiplication des matrices carrées.
3 – Quelques mises en garde
a) La multiplication n'est pas commutative : en général
A×B≠B×A
exemple :
b) Il existe des matrices non nulles
A
et
B
telles que
A×B=0
exemple :
Conséquence : une égalité du type
A×B=A×C
ne permet pas de conclure
B=C
IV – MATRICE INVERSE D'UNE MATRICES CARRÉES
1 – Matrice inversible
Soit
A=
(
aij
)
i=1.. n ; j =1. .n
une matrice carrée d'ordre n, on dit que
A
est inversible si et seulement si il existe
une matrice
B
carrée d'ordre n, telle que
A×B=B×A=In
.
La matrice
B
est alors unique et appelée matrice inverse de
A
, on la note
A−1
.
Par définition, lorsque la matrice inverse de
A
existe, on a
A×A−1=A−1×A=In
.
Exemples : vérifier les résultats suivants :
la matrice
A=
(
6 5
5 4
)
est inversible et
A−1=
(
−4 5
5−6
)
la matrice
B=
(
1 2
2 4
)
n'est pas inversible