Cours 1: fonctions d`une variable réelle

Faculté de Médecine Xavier Bichat – Lariboisière
Année 2005–2006
3 COURS DE MATHÉMATIQUES EN PCEM
P. ARNOUX
Cours 1: fonctions d’une variable réelle
1. Fonctions d’une variable réelle: continuité, limites
1.1. Introduction.
1.1.1. Pourquoi étudier les fonctions d’une variable réelle?
Dans la plupart des sciences, on est amené à étudier des grandeurs qui varient en fonction d’autres
grandeurs; par exemple, l’énergie en fonction de la température et de la pression: E(P, T ). Il est évidemment
intéressant d’étudier ces variations, mais pourquoi se limiter à une variable? On peut donner trois raisons:
(1) Il est naturel de commencer par le cas le plus simple.
(2) Il y a un cas particulier très important, qui est à une dimension, c’est celui d’une variable qui dépend
du temps.
(3) On verra enfin que, pour étudier des fonctions de deux variables ou plus, l’une des procédures de base
est de fixer toutes les variables sauf une, et donc de se ramener à étudier des familles paramétrées
de fonctions d’une variable réelle. En ce sens, l’étude des fonctions d’une variable réelle est un
préliminaire indispensable à l’étude des fonctions de plusieurs variables. En particulier, tous les
calculs se ramènent à des calculs sur les fonctions d’une variable.
Par ailleurs, il y a un point important: les fonctions que l’on voit classiquement (exponentielle, logarithme,
fonction gaussienne. . .) peuvent sembler compliquées; on pourrait croire que la réalité est plus simple, et que
l’analyse apporte des complications superflues. Il faut savoir que c’est le contraire: les modèles que l’on
propose sont un modèle simple d’une réalité en général plus complexe!
Par exemple, si l’on prend l’évolution d’une population de bactérie dans un milieu nutritif abondant, on
a vu en terminale qu’on peut la représenter par une fonction N (t) qui obéit, au moins au début, à l’équation
N 0 (t) = kN (t), où N représente la population. Or c’est évidemment faux: si N est le nombre de bactéries,
c’est une fonction à valeur entière, qui est donc discontinue et ne peut avoir de dérivée! Si on voulait donner
un modèle qui représente parfaitement la réalité, on aboutirait à quelque chose de très compliqué, et de
probablement inutilisable. Le modèle donné ci-dessus est très simple, et approxime très bien la réalité.
1.1.2. Quelques points d’histoire.
La notion de fonction telle que nous la connaissons s’est dégagée lentement, et la théorie s’est développée
en fait à l’envers de la façon dont on l’enseigne aujourd’hui, c’est-à-dire du particulier au général.
Jusqu’au 18ème siècle, les mathématiciens étudient des formules; à l’époque, une fonction telle que la
fonction qui vaut 1 sur l’intervalle [0, 1] et 0 ailleurs n’est pas imaginable.
Au début, il s’agit essentiellement de fonctions polynômes ou fractions rationelles; le catalogue s’enrichit
au fur et à mesure que l’on invente de nouvelles fonctions. Neper, baron écossais, invente le logarithme pour
des raisons pratiques: il s’agit de faciliter les calculs compliqués nécessaires à la navigation en transformant
les multiplications en additions. Newton, en essayant de généraliser la formule du binôme au cas négatif ou
non entier, invente le développement en série:
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 . . .
1+x
Date: October 3, 2005.
1
Il invente aussi, avec Leibniz, le calcul différerentiel et le calcul intégral, et résout les premières équations
différentielles.
Tout le 18ème siècle est occupé à résoudre des équations différentielles variées, venues en particulier de la
mécanique. C’est à cette époque que se dégagent les principaux résultats du calcul différentiel (théorème de
Rolle, accroissements finis, formule de Taylor).
C’est au début du 19ème que se dégage, avec Cauchy en particulier, la notion plus générale de fonction
continue. Ce n’est que dans la deuxième moitié du 19eme que la théorie est solidement fondée, avec une
définition précise des nombres réels, et la preuve des grands théorèmes que nous verrons aujourd’hui.
L’ordre dans lequel nous ferons ce cours: fonctions ⇒ fonction continues ⇒ fonction dérivables ⇒ séries
est donc le contraire du développement historique!
Remarquons que l’histoire ne s’arrête pas là: la fin du 19ème voit l’arrivée de fonctions continues non
dérivables (pas facile à construire: essayez!) qui jouent un rôle important aujourd’hui (mouvement brownien,
fractals) et celle des mesures; le milieu du 20ème siècle voit la création des fonctions généralisées et des
distributions (Sobolev, Schwartz). Nous nous arrêterons pour ce cours à la fin du 19ème.
1.2. Fonctions: notions de base.
Définition 1. Soit E un sous ensemble de R. Une fonction f définie sur E et à valeur dans R associe, à
tout élément x de E, un unique élément f (x) de R. L’ensemble E est appelé le domaine de définition de f .
On suppose connues les notions enseignées au lycée: domaine de définition, fonction croissante, décroissante,
monotone, paire, impaire. . .
Remarque 1. Comment définir de nouvelles fonctions?
Il y a des opérations standards qui permettent de définir de nouvelles fonctions à partir de fonction
déjà connues: la somme, le produit, le quotient (là où le dénominateur n’est pas nul) et la composition.
Classiquement, résoudre un problème portant sur une fonction, c’est déterminer la fonction inconnue comme
somme, produit, quotient et composee de fonctions classiques (polynômes, trigonométrique, exponentielle
et logarithme). S’il est vrai que ces fonctions permettent de résoudre plusieurs problèmes important (en
particulier, les équations différentielles linéaires à coefficients constants), il existe bien d’autres façons de
définir des fonctions.
Il y a d’abord les définitions algorithmiques directes: par exemple, la fonction f définie par f (x) = 1 si
x ∈ [0, 1] et f (x) = 0 sinon est bien définie.
Il existe ensuite divers outils analytiques, reposant sur des théorèmes; tout d’abord, la fonction réciproque
sur un intervalle où la fonction donnée est continue et strictement monotone, ce qui permet de contruire
plusieurs fonctions importantes: racines carrée ou n-ième, Arc sinus, Arc cosinus, Arc tangente.
Ensuite, la dérivée; mais c’est un cas très particulier: comme on connait la dérivée des fonctions usuelles,
les théorèmes de dérivation (chapitre suivant) permettent, de façon automatique, d’exprimer la dérivée d’une
fonction obtenue par somme, produit, quotient et compsition de fonctions de base à partir de la dérivée de
ces fonctions.
Une autre opération est la primitive, mais on n’a pas ici de théorème analogue au cas de la dérivée, et la
primitive d’une fonction continue, dont on montre qu’elle existe, ne peut en général pas s’exprimer à partir
d’autres fonctions. Ainsi, une fonction très connue, la fonction d’erreur, primitive de la fonctions gaussienne
2
√1 e−x /2 , est une nouvelle fonction qui ne peut s’exprimer en terme d’exponentielle et de polynômes. Ce
2π
n’est que dans certain cas, d’ailleurs importants, que l’on peut effectivement calculer une primitive; il en est
de même d’un problème analogue, la solution des équations différentielles.
1.3. Limites, continuité: définitions.
1.3.1. limites.
Définition 2. soit x0 un point de l’intervalle ]a, b[; soit f une fonction définie sur l’intervalle ]a, b[, sauf
peut-être en x0 . On dit que f admet la limite l en x0 , et on note
lim f (x) = l
x→x0
si f (x) est arbitrairement proche de l quand x est proche de x0 , ou plus précisément: pour toute précision
> 0, il existe un petit intervalle centré en x0 sur lequel f (x) est proche de l à la précision .
2
On montre que cette définition est équivalente a la suivante, qui est très classique:
Définition 3. On dit que f admet la limite l en x0 si et seulement si:
(∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈]a, b[)(0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − l| < )
Pourquoi demander que la fonction soit définie sur un voisinage de x0 , sauf peut-être en x0 ? Parce que,
dans tous les cas ou il est intéressant de calculer la limite, la fonction n’est, au départ, pas définie en x0 .
C’est ce qui se passe par exemple pour la limite connue de sin(x)/x en 0; c’est aussi ce qui se passe, comme
on le verra au chapitre suivant, pour l’une des utilisations les plus utiles des limites, qui est la définition de
la dérivée.
Il y a une proposition très importante sur les limites:
Proposition 1. Si f est positive ou nulle, alors limx→x0 f (x) ≥ 0
Autrement dit: le passage à la limite préserve les inégalites larges. Il ne préserve par contre pas les
inégalités strictes: considérez la fonction 1/x sur ]0, +∞[ et sa limite à l’infini.
1.3.2. La continuité: définitions.
Pour la plupart des fonctions que l’on considère usuellement, la restriction “f définie sauf peut-être en
x0 ” n’est pas utile, car ces fonctions sont continues, c’est-à-dire que la limite de f en x0 est f (x0 ).
Plus précisément, on a les définitions suivantes:
Définition 4. On dit que f est continue en x0 si limx→x0 f (x) = f (x0 ).
Cette définition se réécrit formellement ainsi:
Proposition 2. La fonction f est continue en x0 si et seulement si:
(∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈]a, b[)(0 < |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 | < )
Définition 5. On dit que la fonction est continue sur ]a, b[ si et seulement si elle est continue en tout point
de ]a, b[.
On donne habituellement de la continuité l’interprétation suivante: le graphe de f n’a pas de ”sauts”, ou
encore on peut tracer le graphe sans lever le crayon.
Remarque importante: en un certain sens, les fonctions continues sont les seules qui ont une signification
physique; une fonction discontinue ne peut vraiment être identifiée, puiqu’une erreur arbitrairement petite
sur la variable entraı̂ne une grande différence sur la fonction. La seule discontinuité admissible est une
discontinuité en un point, telle que la discontinuité observée dans les grandeurs physiques en fonction de la
température lors de la fusion et de l’ébullition.
1.4. Les grands théorèmes.
Les propriétés essentielles des fonctions continues sont les suivantes:
Théorème 1 (Théorème du maximum). Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée
et atteint ses bornes
Théorème 2 (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit f une fonction continue de [a, b] dans R, et m un
nombre réel, tels que f (a) < m < f (b). Alors il existe un nombre c compris entre a et b tel que f (c) = m.
Corollaire 1. L’image d’un segment par une application continue est un segment.
Théorème 3 (Théorème d’inversion locale). Soit f une fonction continue strictement monotone sur un
intervalle [a, b]. Alors f est une bijection de [a, b] sur [f (a), f (b)], et sa réciproque est une fonction continue
strictement monotone.
Exemple 1. L’une des applications les plus classiques de ce théorème est l’existence et la continuité de
la racine n-ième sur [0, +∞[, si n est pair, et sur tout R si n est impair, en utilisant la continnuité et la
monotonie de la fonction x 7→ xn .
ATTENTION! Ces théorèmes peuvent avoir l’air presque “évidents”; ils sont en fait difficiles à prouver
(et d’autant plus difficiles qu’ils ont l’air évidents); Ce n’est qu’au 19ème siècle que l’on est arrivé à des
énoncés et des preuves corrects. Ce cours est trop bref et de niveau trop faible pour que l’on puisse donner
des preuves, que l’on trouvera dans n’importe quel livre d’analyse.
3
2. Calcul différentiel
2.1. Vitesse, taux d’accroissements, densité. . .
Il existe d’innombrables situations où l’on a besoin de quantifier la façon dont une quantité varie en
fonction d’une autre: calcul de vitesse, de taux de variation, de pente, coefficient calorifique, . . .
Dans ces situations, on peut calculer deux objet différents:
• un taux de variation moyen (vitesse moyenne, coût moyen,. . ., qui ne pose pas de problème de
définition: il s’agit d’un simple quotient. Par exemple, pour calculer une vitesse moyenne, il suffit
de diviser la distance parcourue par le temps écoulé.
• un taux de variation instantané (vitesse instantanée, pente de la tangente, coût marginal. . .)
Dans ce deuxième cas, ce que l’on calcule, c’est une dérivée (ou parfois une dérivée logarithmique); le
calcul de cette dérivée, et son existence même, ne sont pas évidents: c’est le cas typique où un calcul de
limite s’impose. Il s’agit en fait de remplacer une fonction par une fonction affine (droite), plus simple à
calculer, et tangente à la fonction considérée.
2.2. La dérivée: définitions.
Définition 6. On dit qu’une fonction f , définie sur un voisinage de x0 , est dérivable en x0 si la limite
(x0 )
existe. Dans ce cas, on appelle cette limite dérivée de f en x0 et on la note f 0 (x0 ), ou
limx→x0 f (x)−f
x−x0
df
encore dx (x0 ).
Remarquons que c’est un cas typique où la fonction est définie partout, sauf au point considéré; c’est en
passant à la limite qu’on peut la définir en ce point (si la fonction initiale est dérivable).
Une autre façon de dire que la fonction f est dérivable en x0 est la suivante, qui est souvent utile, et qui
constitue un premier exemple de développement limité:
Proposition 3. La fonction f est une fonction dérivable en x0 , si et seulement si il existe une fonction ,
telle que limx→x0 (x) = 0, qui vérifie: f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ).f 0 (x0 ) + (x − x0 )(x).
Remarque 2. Le graphe de la fonction affine x 7→ f (x0 ) + (x − x0 ).f 0 (x0 ) est la tangente au point considéré
au graphe de la fonction f (si cette tangente existe). Il existe une interprétation graphique de la dérivabilité
en x0 , qui se vérifie bien avec une calculatrice graphique: si f est dérivable en x0 , alors, quand on zoome
sur le graphe de f autour du point (x0 , f (x0 )), ce graphe se met a ressembler à une droite. On peut vérifier
que ce n’est pas le cas pour une fonction non dérivable en 0 typique telle que x sin(1/x) en 0. Il existe des
fonctions “naturelles” qui ont ce type de comportement en tout point, par exemple les cours de la bourse:
quelle que soit la puissance avec laquelle on zoome, le graphe reste d’apparence irrégulière.
Définition 7. On dit que f est dérivable sur un ensemble E si elle est dérivable en tout point de E; on dit
qu’elle est de classe C 1 sur E si de plus la fonction dérivée f 0 est continue sur E.
On peut bien sûr considérer la fonction dérivée f 0 et chercher si elle est dérivable; on parle alors de la
dérivée seconde de f , notée f 00 , et par récurrence, on définit quand elle existe la dérivée nième de f , notée
f (n) (à ne pas confondre avec la puissance nième de f , notée f n ). La définition suivante est souvent utile:
Définition 8. On dit que f est n fois dérivable sur un ensemble E si elle est n fois dérivable en tout point
de E; on dit qu’elle est de classe C n sur E si de plus la fonction dérivée nième de f , f (n) , est continue sur
E.
2.3. La dérivée: propriétés de base, lien avec le sens de variation.
On suppose connues les dérivées des fonctions usuelles: polynômes, exponentielle, logarithme, fonctions
trigonométriques. Les théorèmes suivants montrent qu’on peut calculer de façon mécanique la dérivée de
toute fonction construite à partir des fonctions usuelles par les procédés standard: somme, produit, quotient
et composition.
Proposition 4. Soient f et g deux fonctions dérivables en x0 . Alors, les fonctions f +g, f.g, et, si g(x0 ) 6= 0,
0
0
0 )−g (x0 )f (x0 )
.
f /g sont dérivables, de dérivée respective f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ), f 0 (x0 )g(x0 ) + g 0 (x0 )f (x0 ), f (x0 )g(xg(x
2
0)
4
Proposition 5. (Dérivation des fonctions composées, appelée Chain Rule en anglais) Soit g une fonction
dérivable en x0 , et f une fonction dérivable en g(x0 ); alors, f ◦ g est dérivable en x0 , de dérivée f 0 ◦
g(x0 ).g 0 (x0 ) = f 0 (g(x0 )).g 0 (x0 )).
Bien entendu, ces théorèmes sont complètement inutiles si l’on ne connait pas par cœur les dérivées des
fonctions de base.
On sait que le signe de la dérivée est lié au sens de croissance de la fonction; rappelons la propriété
fondamentale suivante:
Proposition 6. Si f est dérivable et croissante sur ]a, b[, alors sa dérivée est positive ou nulle. Réciproquement, si sa dérivée est strictement positive, alors f est strictement croissante sur ]a, b[.
Si f admet un extremum local en x0 , et est dérivable en ce point, sa dérivée s’annule en x0
Remarque 3. Un point où la dérivée s’annule est appelé un point singulier ; si la fonction représente le
mouvement d’un point mobile, un point singulier correspond à un temps où le mobile s’arrête. La proposition
précédente nous dit que tout extremum d’une fonction dérivable est un point singulier. La réciproque est
fausse: pour la fonction x 7→ x3 , l’origine est un point singulier qui n’est pas un extremum, puisque cette
fonction est strictement croissante sur tout R. Cette situation est cependant rare; pour qu’un point singulier
ne soit pas un extremum, il faut des conditions spéciales: si la fonction est deux fois dérivable, il faut que
la dérivée seconde s’annule aussi. En un certain sens, la plupart des points singuliers sont des extrema. On
verra que le situation est très différente pour les fonctions de 2 variables.
2.4. Les grands théorèmes du calcul différentiel.
Les trois principaux théorèmes sur les dérivées sont les suivants (le théorème de Rolle est essentiellement
un résultat technique, qui permet d’établir les deux suivants):
Théorème 4. (Théorème de Rolle) soit f une fonction continue sur un intervalle compact [a, b], dérivable
sur ]a, b[, et telle que f (a) = f (b); alors il existe un point de ]a, b[ où la dérivée s’annule.
Attention! l’hypothèse que la fonction est partout dérivable est essentielle: considérer la fonction |x| sur
[−1, 1].
Théorème 5. (Théorème des accroissements finis)(version forte) Si f est définie sur [a, b] et dérivable sur
]a, b[, alors il existe c ∈]a, b[ tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c).
Théorème 5. (Théorème des accroissements finis)(version faible) Si f est définie sur [a, b] et dérivable sur
]a, b[, et si |f 0 (x)| < M sur ]a, b[, alors f (b) − f (a) < M.(b − a).
Ces deux théorèmes ont une interprétation cinématique: le premier théorème nous dit que si une voiture
parcourt 100 km en une heure sur une route, et qu’elle a toujours une vitesse instantanée bien définie, alors
il existe un moment où elle a une vitesse instantanée de 100 Km/h; remarquons que, en cas de choc, il peut
y avoir un moment où la vitesse instantanée n’est pas définie; dans ce cas le théorème peut être en défaut
(cas du moteur qui fait 50km en 20minutes, à 150Km/h, puis 50 Km en 40 minutes, à 75 Km/h, après être
rentré dans un camion). Le second théorème nous dit que, si la vitesse est toujours strictement inférieure à
100 Km/h, la distance parcourue en une heure est strictement inférieure à 100 Km/h. Ici aussi, l’exigence
que la dérivée soit partout définie est essentielle.
Si on sait que f est n fois dérivable, on peut faire mieux: on peut approximer f par un polynôme. On
retrouve la formule de Taylor en regardant ce qu’elle donne pour un polynôme: Les dérivées successives du
monôme xn sont évidentes à calculer, et elles sont toutes nulles à l’origine, sauf la dérivée n-ième qui vaut
n
n!. Donc, un polynôme dont les dérivées en 0 sont nulles, sauf la dérivée n-ième qui vaut 1, est égal à xn! .
Plus généralement, un polynôme P qui a toutes ses dérivées nulles à partir du rang n + 1 et qui vérifie
Pn
k
P (k) (0) = ak pour k = 0, 1, . . . , n est égal à k=0 ak xk! ; cette formule s’étend à une fonction n fois dérivable
en 0 quelconque, à condition de rajouter un terme d’erreur:
Théorème 6. (Formule de Taylor-Young) Soit f définie sur un intervalle de 0, et telle que f (n) (0) existe.
Alors, il existe une fonction définie sur le même domaine que f et vérifiant limx→0 (x) = 0 telle que
n
X
xk
f (x) = f (0) +
f (k) (0)
+ xn (x)
k!
k=1
5
Il existe une formule plus précise, analogue au théorème des accroisements finis, si l’on sait que f est
(n + 1) fois dérivable sur ]a, b[:
Théorème 6. (Formule de Taylor-Lagrange, ou de Mac-Laurin) Soit f une fonction de classe C n sur [0, x],
et admettant une dérivée d’ordre n + 1 sur ]0, x[. Alors, il existe un nombre c tel que 0 < c < x et vérifiant:
f (x) = f (0) +
n
X
xk
k=1
k!
f (k) (0) +
xn+1 (n+1)
f
(c)
(n + 1)!
On a donné ces formules en 0, d’abord pour simplifier l’énoncé, et ensuite par ce que c’est en général dans
ce cas qu’on les applique. Il existe bien entendu des formules donnant le développement de Taylor d’une
fonction n fois dérivable autour d’un point a quelconque; il faut dans ce cas remplacer dans la formule xk
par (x − a)k .
On laisse le lecteur, à titre d’exercice, énoncer la formule de Taylor-Young et celle de Taylor-Lagrange en
un point a quelconque.
2.5. Développement en série entière des fonction usuelles.
Nous donnons dans le tableau ci-dessous les développements en série entière de quelques fonctions vues
1
, somme de la
en TD. Rappelons que ces séries s’organisent en 2 familles, l’une autour de la fonction 1−x
serie géométrique, l’autre autour de la fonction exponentielle.
1
Remarquons que l’on retrouve comme promis le développement donné par Newton pour la fonction 1+x
.
fonction
développement en série
P+∞
1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · = n=0 xn
P+∞
1 + 2x + 3x2 + 4x3 + · · · + (n + 1)xn + · · · = n=0 (n + 1)xn
P+∞
1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + · · · = n=0 (−1)n xn
P
2
3
n
n
+∞
ln(1 + x)
x − x2 + x3 + · · · + (−1)n+1 xn + · · · = n=1 (−1)n+1 xn
P
+∞
1
1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n x2n + · · · = n=0 (−1)n x2n
1+x2
P+∞
5
7
2n+1
3
2n+1
arctan x x − x3 + x5 − x7 + · · · + (−1)n x2n+1 + · · · = n=0 (−1)n x2n+1
P
2
3
n
n
+∞
ex
1 + x + x2 + x3! + · · · + xn! + · · · = n=0 xn!
1
1−x
1
(1−x)2
1
1+x
cosh x
sinh x
cos x
sin x
x
x2
2
x4
4!
x2n
(2n)!
x2n
n=0 (2n)!
P+∞ x2n+1
3
5
x2n+1
x + x3! + x5! + · · · + (2n+1)!
+ · · · = n=0 (2n+1)!
P+∞
2
4
x2n
x2n
1 − x2 + x4! + · · · + (−1)n (2n)!
+ · · · = n=0 (−1)n (2n)!
P
3
5
+∞
x2n+1
x2n+1
− x3! + x5! + · · · + (−1)n (2n+1)!
+ · · · = n=0 (−1)n (2n+1)!
1+
+
+ ··· +
+ ··· =
P+∞
rayon de convergence
1
1
1
1
1
1
+∞
+∞
+∞
+∞
+∞
3. Equations différentielles
3.1. Motivations et définitions.
Il existe de nombreux cas où une loi physique, biologique ou économique relie la dérivée d’une fonction à
la fonction elle-même; par exemple, la croissance démographique, le frottement visqueux. . . Une telle relation
entre une fonction et sa dérivée est appelée une équation différentielle.
Définition 9. On appelle équation différentielle (d’ordre 1) une équation de la forme y 0 = F (y, t), qui relie
la dérivée d’une fonction de la variable t et la fonction elle-même.
Remarque 4. La variable t peut représenter, par exemple, le temps, et y une quantité qui dépend du temps.
Dand de nombreux cas, l’équation différentielle ne dépend pas du temps, et peut s’écrire sous la forme plus
simple y 0 = F (y).
Définition 10. On dit que la fonction g, définie sur ]a, b[, est solution de y 0 = F (y) si g est dérivable sur
]a, b[, et vérifie pour tout x dans ]a, b[ g 0 (x) = F (g(x))
6
Il est important de savoir vérifier si une fonction donnée est solution; c’est facile, dès que l’on sait calculer
la dérivée de cette fonction. Savoir résoudre une équation différentielle est bien plus difficile, et souvent
impossible, du moins au sens que vous donnez à ce terme: exprimer les solutions d’une équation différentielle
donnée en termes de fonctions connues.
3.2. Existence et unicité: Le théorème de Cauchy-Lipschitz.
Le théorème le plus important sur les équations différentielles est le suivant:
Théorème 7. (Théorème de Cauchy-Lipschitz) On considère une équation différentielle y 0 = F (y), où F
est une fonction de classe C 1 . Alors, pour un réel y0 donné, il existe un > 0 tel que l’équation admette
une unique solution y, définie sur ] − , +[, telle que y(0) = y0 .
Ce théorème a une interprétation physique: il dit que, étant connue les lois de la physique, données en
mécanique par une équation différentielle, et la situation initiale, on peut prévoir ce qui va se passer ensuite;
c’est ce que l’on appelle le déterminisme physique. Remarquons cependant que, pour pouvoir prédire à très
long terme, il faut une connaissance infiniment précise de la situation de départ, qui n’est en général pas
accessible.
3.3. équations à variables séparables.
Définition 11. On appelle équation différentielle à variable séparable une équation de la forme: Q(y)y 0 =
P (x).
On peut écrire une telle équation sous la forme P (x) dx = Q(y) dy.
Si F (resp. G) est une primitive de P (resp. Q), alors les solutions sont données implicitement par
F (x) = G(y) + λ; si G est strictement monotone, d’inverse H = G−1 , les solutions sont du type H(F (x) + λ).
4. Calcul intégral
4.1. Intégrales: définition et propriétés de base.
Il existe des contextes variés dans lesquels on veut faire la moyenne des valeurs prises par une fonction:
• Géométrie: calculs d’aire et de volume (première application historique de l’intégrale).
• Physique: Calculs de masse, de moment d’inertie, de valeurs moyennes.
• Probabilités: Calculs de probabilités, d’espérance, de variance.
Tant que ces calculs portent sur des sommes finies (discrètes), ils s’expriment par des sommes. Dès qu’ils
portent sur des quantités continues (cas fréquent en géométrie: volume de la sphère), on est amené à calculer
des intégrales.
Définition 12. Soit f une fonction définie sur un intervalle [a, b]. On appelle intégrale de f sur [a, b], et on
Rb
note a f (t) dt, l’aire, comptée algébriquement, entre l’axe horizontal, le graphe de la fonction, et les droites
x = a et x = b.
Cette définition n’est pas vraiment correcte: qu’est-ce que cette aire algébrique? comment est-on sûre
qu’elle existe? Une bonne définition (intégrale de Riemann) consiste a remplacer le domaine considéré par de
petits rectangles dont on sait calculer l’aire, et à faire tendre la largeur de ces rectangles vers 0. On montre
alors que l’intégrale d’une fonction continue est bien définie (vers 1860).
On peut montrer directement que, si l’on note I(f ) l’application qui, à toute fonction f intégrable sur
[a, b], fait correspondre son intégrale, on a les propriétés suivantes:
Proposition 7. L’application f 7→ I(f ) est linéaire, positive et croissante.
Le fait que cette application soit positive (l’intégrale d’une fonction positive est positive) est important
en pratique: cela permet souvent de trouver une faute de calcul.
Notons enfin une propriété importante et naturelle, la relation de Chasles:
Rb
Rc
Rc
Proposition 8. Si a < b < c, on a a f (t) dt + b f (t) dt = a f (t) dt
7
4.2. Intégration et dérivation: le théorème fondamental de l’analyse.
Il est tout à fait remarquable qu’il existe une relation entre l’intégration et la dérivation, deux objets
mathématiques définis a priori sans aucun lien.
Soit f une fonction continue,R donc intégrable, définie sur un intervalle [a, b]. Alors, on peut considérer la
x
fonction F définie par F (x) = a f (t) dt.
Théorème 8. (Théorème fondamental de l’analyse) La fonction F est dérivable, de dérivée f .
Définition 13. Soit f une fonction. On dit que F est une primitive de f si F est dérivable, de dérivée f
Proposition 9. Si f admet une primitive F , alors, toutes les primitives de f sont de la forme F + C, où
C est une constante.
En effet, il est bien clair que toutes les fonctions de ce type sont des primitives de f ; réciproquement,
supposons que F et G soient deux primitives de f sur [a, b]; alors, puisqu’elles ont même dérivée, leur
différence F − G est une fonction à dérivée nulle sur l’intervalle [a, b], elle est donc constante comme on l’a
vu dans le théorème des accroissements finis. Si l’on peut calculer une primitive de f , le problème du calcul
de l’intégrale est résolu, par:
Rb
Proposition 10. Si F est une primitive de f , alors a f (t) dt = F (b) − F (a)
En effet,
R x F (b) − F (a) ne dépend pas de la constante, et donc de la primitive choisie; mais pour la primitive
F (x) = a f (t) dt, la formule est évidemment vraie.
4.3. Calcul pratique des primitives.
Il suffirait donc de savoir calculer la primitive d’une fonction donnée pour résoudre le problème de
l’intégration. Malheureusement, le problème du calcul des primitives est considérablement plus difficile
que le problème du calcul des dérivées: s’il existe un algorithme général qui permet de calculer la dérivée
d’une fonction obtenue par somme, produit, quotient et composée de fonctions dont on connaı̂t les dérivées,
il n’en est pas de même pour les primitives.
Il suffit de réfléchir un peu pour se rappeler que, par exemple, la recherche de la primitive de 1/x, l’une
2
des fonctions les plus simples, conduit à inventer le logarithme; un autre exemple est la primitive de e−x ;
cette fonction, d’une très grande importance en particulier en probabilité, ne peut pas s’exprimer en terme
de fonctions usuelles: il s’agit d’une nouvelle fonction, qui se trouve d’ailleurs sur certaines calculatrices sous
le nom de “fonction d’erreur”.
On peut cependant donner quelques règles:
• la primitive d’une somme est la somme des primitives, ce qui permet de décomoposer certains calculs.
• l’intégrale d’une fonction positive est positive; l’intégrale d’une fonction positive non nulle est strictement positive.
• On a des propriétés de symétrie simples:
Proposition 11. Si f est définie sur l’intervalle [−a, a] et paire, alors:
Z a
Z a
f (t) dt = 2
f (t) dt
−a
0
Si f est définie sur l’intervalle [−a, a] et impaire, alors:
Z a
f (t) dt = 0
−a
• On peut reprendre à l’envers les propriétés de la dérivée, ce qui permet dans certains cas favorables
de calculer une primitive. En particulier, la règle de dérivation du produit donne l’intégration par
partie:
Rb
Rb
Proposition 12. (Intégration par partie) a u(t)v 0 (t) dt = [uv]ba − a u0 (t)v(t) dt
Ceci se révèle par exemple utile pour des intégrales de fonctions du type xex .
• La règle de dérivation des fonctions composées peut être appliquée, quand on reconnait une fonction
de la forme u0 (t).g 0 (u(t)); c’est par exemple le cas pour les fonctions suivantes: cos(x). sinn (x), ou
2
2xex .
8
• Enfin, rappelons que, comme dans le cas des dérivées, la connaissance des primitives les plus courantes
(une bonne dizaine) est indispensable; on laisse au lecteur le soin de se confectionner lui-même le
tableau de ses primitives préférées, qu’il aura soin d’apprendre.
9
Cours 2: fonctions de plusieurs variables réelles
5. Fonctions de plusieurs variables
Résumé: On donne les rudiments de calcul différentiel à deux variables: dérivées partielles, différentielle,
théorème de Schwarz, formule de Taylor à 2 variables, interprétation graphique. On définit les formes
différentielles, les formes différentielles exactes, et on donne le critère pour qu’une forme différentielle
soit exacte.
Les cours précédents sont entièrement consacrés aux fonctions réelles d’une variable réelle. Mais il y a de
nombreux cas où l’on a affaire à des situations de dimension supérieure à 1.
Dans ce cours, on étudiera successivement le cas où l’espace d’arrivée est de dimension 2 ou 3 (courbes
paramétrées dans le plan ou l’espace), puis le cas où l’espace de départ est de dimension 2 (cas de 2 variables).
On montrera comment étendre à plusieurs variables les outils du calcul différentiel.
5.1. Courbes paramétrées.
Définition 14. On appelle courbe plane paramétrée une application γ : [a, b] → R2
(x(t), y(t)).
t 7→ γ(t) =
Une courbe paramétrée est donc donnée par un couple de fonctions réelles.
La dérivée γ 0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)) (si elle existe) s’interprète comme le vecteur vitesse; si elle est non nulle,
c’est un vecteur tangent à la courbe.
Exemple 2. La courbe paramétrée définie sur [0, 2π] par t 7→ (cos t, sin t) est un cercle unité parcouru a
vitesse 1.
Comment représenter une courbe paramétrée? On pourrait tracer le graphe, comme on le fait pour une
fonction à valeur réelle, mais ce n’est pas trés pratique. On préfère en général se contenter de dessiner l’image
γ([a, b]), quitte à indiquer sur la courbe des points correspondant aux valeurs remarquables.
On définit de façon analogue les courbes paramétrées dans l’espace t 7→ γ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Exemple
3. La courbe paramétrée définie sur [0, 2π] par t 7→ (cos t, sin t, t) est une hélice parcourue à vitesse
√
2; voir la figure 1.
Figure 1. Une hélice
10
5.2. Fonctions de plusieurs variables: définitions, dérivées partielles, différentielle.
Il existe de nombreuses situations où on étudie une quantité f dépendant de 2 variables x, y, ou de 3
variables x, y, z. On verra en thermodynamique des fonctions qui dépendent du volume et de la pression, ou
du volume et de la température. Plus simplement, on peut considérer la hauteur géographique en un point
donné par sa latitude et sa longitude.
Le problème de la représentation d’une fonction réelle de 2 variables est délicat. On peut représenter en
perspective la surface z = f (x, y), mais cette surface est souvent difficile à dessiner et à interpréter. Une
autre méthode, familière en géographie, est la représentation par courbes de niveau.
Il est nettement plus difficile de représenter une fonction de trois variables réelles; remarquons que c’est
exactement le problème que l’on rencontre en tomographie (scanner, IRM).
2
0
-2
15
10
5
0
-2
0
2
Figure 2. la fonction x2 + y 2
1
0.5
Z
0
-0.5
-1
2
0
-2
0
Y
-2
X
2
Figure 3. la fonction sin xy
Les figures 2 et 3 sont des vues en perspective du graphe des fonctions x2 + y 2 et sin xy; les figures 4 et
5 sont des représentations par ligne de niveau de ces deux fonctions, le niveau de gris augmentant avec la
valeur de la fonction.
On veut généraliser aux fonctions de deux variables les méthodes du calcul différentiel. Comme on l’a
expliqué dans le premier cours, une première méthode consiste à fixer l’une des variables et et à faire varier
l’autre. On peut alors définir les dérivées partielles.
11
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figure 4. la fonction x2 + y 2
Définition 15. Soit f : U ⊂ R2 → R, (x, y) 7→ f (x, y) une fonction de deux variables. Soit (x0 , y0 ) un point
de U . On appelle dérivée partielle de f par rapport à x à y fixé en (x0 , y0 ) et on note ∂f
∂x (x0 , y0 ) la dérivée
en x0 de la fonction d’une variable x 7→ f (x, y0 ).
Exemple 4. Si f (x, y) = x2 + xy 3 + sin(y), alors
∂f
∂x (x0 , y0 )
= 2x0 + y03 ,
∂f
∂y (x0 , y0 )
= 3x0 y02 + cos(y0 ).
Remarque 5. Attention! on ne peut absolument pas séparer le ∂f et le ∂x; on risque de graves erreurs à le
faire.
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
Figure 5. la fonction sin xy
12
2
3
D’autre part, on devrait, en toute rigueur, noter ( ∂f
∂x )y , pour rappeler que l’on prend la dérivée par
rapport à x à y constant. Une dérivée partielle est définie dans un système de coordonnées, comme le
montre l’exercice suivant; ce point est extrêmement important en thermodynamique.
Exemple 5. On considère le plan R2 , muni de sa base canonique (i, j), et du système de coordonnées associé
(x, y), avec OP = xi + yj. On appelle φ la fonction définie par φ(P ) = x + y; on a évidemment ∂φ
∂x |y = 1.
Prenons maintenant pour base k = i−j, j, et pour coordonnées (u, v). On a OP = uk+vj = ui−uj +vj =
ui + (v − u)j, d’où u = x et v − u = y, soit v = x + y; on peut donc aussi appeler ces coordonnées (x, v);
dans ces nouvelles coordonnées, on a φ(P ) = v, donc ∂φ
∂x |v = 0: le changement de coordonnées a modifié la
dérivée partielle, alors même que la coordonnée x n’a pas été modifiée!
De même que l’on approxime un courbe régulière par sa tangente, on peut approximer le graphe d’une
fonction régulière de deux variables par un plan tangent, dont les coefficients directeurs sont donnés par les
dérivées partielles. On a la généralisation suivante de la dérivée:
Définition 16. On dit que l’application f est différentiable en (x0 , y0 ) s’il existe une application (h, k) qui
tend vers 0 quand sup(|h|, |k|) tend vers 0, telle que:
p
∂f
∂f
f (x0 + h, y0 + k) = f (x0 , y0 ) +
(x0 , y0 ) h +
(x0 , y0 ) k + h2 + k 2 (h, k)
∂x
∂y
√
Remarque 6. Le terme h2 + k 2 qui apparaı̂t ici n’est rien d’autre que la distance a l’origine: cette formule
dit seulement que le terme d’erreur entre la fonction et sa différentielle est petit devant la distance à l’origine.
C’est la généralisation à deux variables du terme x(x) qui apparaı̂t en une variable.
Toutes les fonctions que nous considérerons ici sont différentiables. Cett formule permet en particulier
de calculer des valeurs pour (x, y) proche de (x0 , y0 ) où la valeur est connue. On peut retenir la formule
différentielle sous la forme pratique:
∂f
∂f
dx +
dy
∂x
∂y
L’expression df , qui est l’application linéaire tangente à f , s’appelle la différentielle de f au point considéré.
On utilise beaucoup en physique une notion reliée, le gradient.
∂f
~
Définition 17. On appelle gradient de f et on note gradf
le vecteur ∂f
∂x , ∂y
df =
On peut donner une autre définition:
~ tel que df = V
~ .(dx, dy).
Définition 18. Le gradient de f est l’unique vecteur V
Interprétation du gradient et de la différentielle en termes de courbes de niveau: on peut voir la différentielle
comme produit scalaire du gradient et du vecteur (dx, dy). Dans une représentation en termes de courbes de
niveau, le gradient donne la direction de la ligne de plus grande pente, et il est perpendiculaire aux courbes
de niveau; la tangente à la courbe de niveau passant par (x0 , y0 ) correspond à la direction dans laquelle
l’accroissement différentiel est nul, elle est donc d’équation
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ) = 0
∂x
∂y
Un cas intéressant est celui où l’on compose une fonction de deux variables f avec une courbe paramétrée
γ : t 7→ (x(t), y(t)); la fonction φ = f ◦ γ est alors une fonction réelle d’une variable réelle, dont on peut
calculer la dérivée:
Proposition 13. On a φ0 (t) =
∂f
0
∂x (x(t), y(t)).x (t)
φ0 (t) =
+
∂f
0
∂y (x(t), y(t)).y (t),
ou en abrégé:
∂f 0
∂f 0
x (t) +
y (t)
∂x
∂y
On peut s’interroger sur le lien entre la différentielle et la variation de la fonction, et en particulier la
recherche des extrema. On est amené à la définition suivante:
13
Définition 19. On appelle point singulier de la fonction f de deux variables un point où la différentielle
s’annule, c’est-à-dire où les deux dérivées partielles s’annule.
Un point singulier est un point où le plan tangent au graphe de la fonction est horizontal; on montre
facilement la proposition qui suit:
Proposition 14. Un extremum d’une fonction différentiable de deux variables est un point singulier.
En effet, un extremum de la fonction est aussi un extremum de la fonction partielle obtenue en fixant
y, donc la dérivée partielle par rapport à x doit être nulle d’après ce qu’on sait pour les fonctions d’une
variable, et de même pour la dérivée par rapport à y.
Mais il apparaı̂t ici un phénomène nouveau: même si les dérivées secondes ne s’annulent pas, il se peut
qu’un point singulier ne soit pas un extremum. Le cas le plus simple se produit pour la fonction xy, pour
laquelle l’origine est un point singulier qui n’est pas un extremum, mais un “point sel”, ou “point col”, ainsi
nommé à cause de la forme du graphe, représenté en perspective dans la figure 6 et en courbes de niveau
dans la figure 7.
Y
Z
X
Figure 6. la fonction xy en perspective
5.3. Calcul différentiel à 2 variables: dérivées partielles d’ordre 2 ou plus, théorème de Schwarz.
Les dérivées partielles sont elles-mêmes des fonctions de deux variables, dont l’on peut calculer les dérivées
partielles. On peut donc dériver plusieurs fois, mais de façon plus complexe qu’à une dimension, puisque
l’on peut dériver successivement par rapport à différentes variables. On peut en particulier, au deuxième
∂2f
ordre, définir la dérivée partielle seconde par rapport à x puis y, ∂y∂x
et la dérivée partielle par rapport à y
2
∂ f
puis x, ∂x∂y
.
C’est un fait remarquable que ces deux dérivées sont égales:
Théorème 9. (Théorème de Schwarz) Si les dérivées partielles secondes croisées
sont continues, elles sont égales.
Remarque 7. On le vérifie facilement dans le cas d’un polynôme.
14
∂2f
∂y∂x
et
∂2f
∂x∂y
existent et
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figure 7. la fonction xy en courbes de niveau
5.4. Formule de Taylor.
On peut alors donner un développement de Taylor à 2 variables: nous donnerons seulement cette formule
en (0, 0), il n’est pas difficile d’en déduire la formule en un point quelconque:
Théorème 10. (Formule de Taylor) Si f est n fois dérivable en (0, 0), il existe une application (h, k) qui
tend vers 0 quand sup(|h|, |k|) tend vers 0, telle que:
n
X ∂ i+j f
xi y j p 2
2
f (x, y) = f (0, 0) +
(0,
0)
+
h
+
k
(x, y)
∂ i x∂ j y
i!j!
i+j≤n
Un moyen pratique de retrouver cette formule, et en particulier le coefficient
i j
1
i!j! ,
est de l’appliquer au
monôme P (x, y) = x y , dont toutes les dérivées partielles sont nulles en (0, 0) à l’exception de
qui vaut i!j!.
∂ i+j P
∂ i x∂ j y (0, 0)
5.5. Formes différentielles; formes exactes et fermées.
Définition 20. On appelle forme différentielle une expression du type α = P (x, y) dx + Q(x, y) dy, où P et
Q sont des fonctions de deux variables.
On rencontrera souvent de telles expressions en thermodynamique; on est dans ce cas intéressé de savoir
si la forme donnée est la différentielle d’une fonction, appelée “fonction d’état”, puisqu’elle ne dépend que
de l’état du système, et non de la façon dont on est arrivé à cet état.
Définition 21. On dit qu’une forme différentielle α est exacte s’il existe une fonction f telle que α = df ,
∂f
c’est-à-dire telle que P = ∂f
∂x , Q = ∂y .
Le théorème de Schwarz donne une condition nécessaire pour cela; on montre que, si le domaine de
définition de α est convexe, (c’est-à-dire si, pour tout couple de points (A, B) contenu dans le domaine, le
segment AB qui les joint est aussi contenu dans le domaine ) c’est aussi une condition suffisante:
Théorème 11. (théorème de Poincaré) Soit α = P (x, y) dx + Q(x, y) dy une forme différentielle de classe
∂P
C 1 définie sur un domaine convexe. La forme α est exacte si et seulement si ∂Q
∂x = ∂y .
15
Exemple 6. La variation de température δQ, en thermodynamique, est une forme différentielle. C’est un
des axiomes de la thermodynamique (deuxième principe) que la forme δQ
T est exacte; la fonction S associée,
définie à une constante près par δQ
=
dS,
s’appelle
l’entropie.
T
Remarque 8. En thermodynamique, les formes que l’on rencontrera seront toujours définies sur un domaine
convexe, et donc le critère que nous avons donné ci-dessus est nécessaire et suffisant. Il n’en est pas de même
dans d’autres domaines, par exemple en electromagnétisme: comme le champ créé par un fil parcouru par
un courant devient infini sur le fil lui-même, le domaine est formé de l’espace privé du fil, et n’est donc pas
convexe; dans ce genre de cas, le critère peut ne plus être une condition suffisante d’exactitude, et l’on fait
la différence entre les formes fermées, qui satisfont au critère de Schwarz, et les formes exactes, qui sont la
différentielle d’une fonction: toute forme exacte est fermée, mais la réciproque n’est pas toujours vraie sur
un domaine non convexe.
16
Cours 3: cinématique
6. Cinématique
6.1. Propriétés de base: mouvement, vitesse, accélération.
6.1.1. définitions.
Définition 22. On appelle mouvement d’un point dans l’espace (ou mouvement ponctuel) une application
continue P~ t 7→ P~ (t) d’un intervalle [a, b] de R dans R3
On définirait de la même façon un mouvement d’un point dans le plan, comme application à valeur dans
R2
Définition 23. La coordonnée t s’appelle le temps; l’ensemble P~ ([a, b]) s’appelle la trajectoire parcourue
par le point.
Remarque 9. En mathématique, on parle aussi, comme on l’a vu au cours précédent, de courbe paramétrée;
c’est exactement la même chose.
Attention à la différence entre trajectoire et mouvement!
Définition 24. On appelle vecteur vitesse instantanée du mouvement P~ à l’instant t la dérivée P~ 0 (t), si
~ (t). On appelle vitesse (numérique) instantanée, notée v(t), la norme du vecteur
elle existe. On la notera V
vitesse.
Notations 1. En cinématique, il y a plusieurs notations bien établies. Pour ne pas heurter le lecteur, nous
continuerons à noter f 0 (t) la dérivée par rapport à t d’une fonction f de t. Cependant, il faut savoir que
l’on a souvent besoin de dériver par rapport à d’autres variables, comme on le verra tout-à-l’heure. On peut
alors noter df
dt , pour préciser que l’on dérive par rapport à t, et c’est parfois préférable.
Une autre notation bien établie est la notation f˙, due à Newton, pour représenter la dérivée par rapport au
temps, et f¨ pour représenter la dérivé seconde. Elle est encore très utilisée en mécanique, où il est important
de pouvoir faire la différence entre la dérivation par rapport au temps et les autres, mais elle a disparu dans
le reste des mathématiques.
Attention à la différence entre la vitesse numérique et le vecteur vitesse! Il faut aussi rappeler l’interprétation:
le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire, de module la vitesse instantanée.
~ (t).V
~ (t)
Proposition 15. v(t)2 = V
Définition 25. On appelle accélération instantanée du mouvement P~ à l’instant t, notée ~Γ, la dérivée
seconde P~00 (t), si elle existe.
Le vecteur accélération est dirigé vers la concavité de la courbe.
6.1.2. calcul en coordonnées vectorielles.
Remarque 10. On donne les définitions dans l’espace, cela marche de la même façon dans le plan.
On définit souvent un mouvement P~ par ses coordonnnées (x(t), y(t), z(t)). Dans ce cas, la mouvement
est dérivable si et seulement si les coordonnées le sont, et on a:
~ (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t))
V
~Γ(t) = (x00 (t), y 00 (t), z 00 (t))
p
La vitesse numérique est donnée par v(t) = x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 . On utilisera de préférence
v(t)2 = x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2
.
17
6.1.3. Mouvement accéléré, retardé.
Proposition 16. On a la propriété:
~ (t)
(v(t)2 )0 = 2~Γ(t).V
~ (t).V
~ (t). En dérivant le produit, on a:
Démonstration. On sait que v(t)2 = V
~ V ~(t)
~ (t) + V
~ (t).V
~ 0 (t) = 2V~ 0 (t).V
~ (t) = 2Γ(t).
(v(t)2 )0 = V~ 0 (t).V
.
Cette proposition a des conséquences importantes. On peut décomposer l’accélération en une composante
tangentielle ΓT et une composante normale à la vitesse ΓN ; on voit que seule la composante tangentielle
fait varier la vitesse numérique, la composante normale modifiant la direction du mouvement sans changer
la vitesse numérique. En particulier:
Théorème 12. Un mouvement deux fois différentiable est à vitesse numérique constante (on dit aussi
mouvement uniforme) si et seulement si l’accélération est en tout point orthogonale à la vitesse.
On dit que le mouvement est accéléré (resp. retardé) si la vitesse numérique est croissante (resp.
décroissante); dans ce cas, l’accélération fait un angle aigu (resp. obtu) avec la vitesse.
6.2. Quelques exemples classiques.
6.2.1. Mouvement rectiligne uniforme. C’est un mouvement dont la trajectoire est une droite, parcourue à
vitesse constante.
~ = (a, b, c), d’accélération nulle.
Il est d’équation P~ (t) = (at + x0 , bt + y0 , ct + z0 ), de vitesse constante V
On montre facilement:
Proposition 17. Un mouvement est rectiligne uniforme si et seulement si son accélération est toujours
nulle.
6.2.2. Mouvement uniformément accéléré. On suppose que l’accélération est constante; on peut supposer
que le repère est choisi de telle façon que l’accélération soit de la forme (0, 0, −γ) (cas de la pesanteur).
~ (t) = (a, b, c − γt), puis:
En intégrant, on trouve V
1
P~ (t) = (at + x0 , bt + y0 , − γt2 + ct + z0 )
2
On montre facilement que le mouvement est contenu dans un plan vertical (c’est l’unique plan vertical
contenant la vitesse à l’origine), et que sa trajectoire est une parabole. C’est le cas du mouvement d’un
solide soumis à une pesanteur uniforme.
6.2.3. Mouvement circulaire uniforme. On considère un mouvement plan, dont la trajectoire est un cercle
de rayon r centré à l’origine, parcouru à vitesse uniforme.
On montre que l’équation du mouvement est:
P~ (t) = (r cos(ωt + φ), r sin(ωt + φ))
La vitesse est
~ (t) = (−ωr sin(ωt + φ), ωr cos(ωt + φ))
V
et l’accélération
~ = (−ω 2 r cos(ωt + φ), −ω 2 r sin(ωt + φ)) = −ω 2 P (t)
Γ(t)
~ = 0; le mouvement est parcouru à vitesse uniforme v = ωr. La quantité
On vérifie facilement que ~Γ.V
ω est la vitesse angulaire; elle a les dimensions d’une fréquence. Remarquer la cohérence des dimensions: ω
est en s−1 , r en m, et v en m.s−1 .
18
6.2.4. Mouvement hélicoı̈dal. Il est donné par
P~ (t) = (r cos(ωt + φ), r sin(ωt + φ), at)
Sa trajectoire est une hélice, parcourue à vitesse uniforme.
6.3. Coordonnées classiques.
6.3.1. Coordonnées polaires. On sait que tout point du plan différent de l’origine peut être repéré de façon
unique par sa distance r à l’origine, et l’angle θ ∈ [−π, π[ que fait la demi-droite OP avec l’axe des abscisses.
On a les formules de changement de coordonnées:‘
x = r cos θ
y = r sin θ
et en sens inverse:
r=
p
x2 + y 2
θ = arctan y/x mod π
Un mouvement peut donc être défini par en coordonnées polaires par deux fonctions r(t), θ(t).
On peut calculer sa vitesse en revenant en coordonnées cartésiennes (essayez!). Il est plus confortable
d’utiliser le repère lié aux coordonnées polaires, formé des deux vecteurs ~ur = ~i cos θ + ~j sin θ tangent à la
droite θ = C et ~uθ = ~i sin θ + ~j cos θ tangent au cercle r = C (faire un dessin).
~ = r~ur ; on calcule facilement:
On a évidemment: OP
∂~ur
= ~uθ
∂θ
∂~ur
=0
∂r
et des formules identiques pour ~uθ .
~ est une fonction de t à travers r et θ; en utilisant la formule des fonctions composées, donnée au
OP
chapitre précédent, on a:
~
~
~
dOP
∂ OP
∂ OP
=
r0 (t) +
θ0 (t)
dt
∂r
∂θ
~ (t) = r0 (t)~ur + rθ0 (t)~uθ .
soit V
La vitesse se décompose donc en une composante radiale r0 et une composante transverse rθ0 .
On calcule de même l’accélération, et on trouve:
~Γ = (r00 (t) − rθ0 (t)2 )~ur + (2r0 θ0 + rθ00 )~uθ
6.3.2. Coordonnées cylindriques. Tout fonctionne de la même façon, en rajoutant un vecteur ~k vertical.
6.3.3. Coordonnées sphériques. Il s’agit de repérer un point dans l’espace par sa distance ρ à l’origine, l’angle
~ avec le demi axe vertical positif (latitude), et l’angle φ ∈ [0, 2π[ que fait la
θ ∈ [0, π] que fait le vecteur OP
~
projection de OP sur le plan horizontal avec l’axe des x.
Pour faire les calculs, il est important de se représenter la figure; se rappeler que, pour ρ fixé, on obtient
une sphère, φ est la longitude, et θ est la latitude, à ceci près que l’habitude géographique est de prendre
0 pour latitude de l’équateur, et donc de repérer l’angle avec le plan horizontal, en variant donc (version
géographique) de 90s̊ud à 90n̊ord, ou (version physique) de − π2 à π2 ; alors que l’habitude en physique est de
repérer l’angle avec le demi-axe vertical positif, donc de faire varier θ de 0 à π.
On écrit facilement les formules de passages de coordonnées:
z = ρ cos θ
x = ρ sin θ cos φ
y = ρ sin θ sin φ
On a aussi un repère ~uρ , ~uθ , ~uφ , qui ne dépend que de θ et de φ; on montre que:
~ = r0 ~ur + rθ0 ~uθ + r sin θφ0 ~uφ
V
On laisse au lecteur le soin de calculer l’accélération dans ce repère...
19
6.4. Repère de Frénet. Les coordonnées précédentes sont utiles pour certains types de problèmes présentant
une symétrie particulière. Pour des courbes plus générales, on peut définir un repère particulièrement adapté.
~,V
~ deux vecteurs. On appelle produit vectoriel de U
~ et V
~ , noté
Définition 26. (Produit vectoriel) Soient U
~ ∧V
~ , l’unique vecteur W
~ orthogonal à U
~ et V
~ , de longueur sin(U
~,V
~ )kU
~ kkV
~ k et de direction telle que la
U
~
~
~
base U , V , W ait une orientation positive.
On vérifie que si (~i, ~j, ~k) est la base canonique, on a ~i ∧ ~j = ~k, ~j ∧ ~k = ~i, ~k ∧ ~i = ~j. On vérifie aussi que
~
~ = ~0, que U
~ ∧V
~ = −V
~ ∧U
~ , et que le produit vectoriel est bilinéaire. Ceci donne une méthode simple
U ∧U
et explicite pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs donnés par leurs coordonnées:
~ = Ux~i + Uy~j + Uz~k, V
~ = Vx~i + Vy~j + Vz~k deux vecteurs. Les coordonnées du
Proposition 18. Soient U
~ =U
~ ∧V
~ sont données par:
produit vectoriel W
Wx = Uy Vz − Uz Vy
Wy = Uz Vx − Ux Vz
Wz = Ux Vy − Uy Vx
~ est vertical: U
~ = ω~k. Alors, on a U
~ ∧V
~ =
Un cas particulièrement intéressant est celui où le vecteur U
~
~
−ωVy i + ωVx j
~ et d’accélération ~Γ. le repère de Frénet est le
Définition 27. Soit P~ (t) une courbe dans R3 , de vitesse V
~
V
repère (~uT , ~uN , ~uB ) où ~uT = kV~ k est le vecteur unitaire tangent à la courbe, ~uN , normale principale, est le
~ et ~Γ et faisant un angle aigu avec ~Γ,
vecteur unitaire orthogonal à ~uT , contenu dans le plan engendré par V
et ~uB , binormale, est le vecteur ~uT ∧ ~uN .
Le vecteur ~uB est juste là pour compléter le repère, et ne servira pas dans la suite. La vitesse et
l’accélération s’exprime très agréablement dans le repère de Frénet:
~ = v~uT .
Proposition 19. (première formule de Frénet) On a V
~ , et que ~uT est le vecteur de longueur
C’est évident, puisque par définition v est la longueur du vecteur V
~
1 de même sens et direction que V .
~
uT
On a évidemment: ~Γ = ddtV = dv
uT + v d~dt
.
dt ~
uT
est orthogonal à ~uT ; il est donc
Puisque ~uT est de longueur constante, en dérivant ~uT .~uT , on voit que d~dt
d~
uT
v
proportionnel à ~uN . On montre que dt = R ~uN , où R est le rayon de courbure de la trajectoire, c’est-à-dire
le rayon du cercle qui approxime le mieux la trajectoire. Donc:
Proposition 20. (deuxième formule de Frénet) L’accélération se décompose en une composante normale et
une composante tangentielle:
~Γ = ΓT ~uT + ΓN ~uN
avec ΓT =
dv
dt ,
et ΓN =
v2
R.
6.5. Changements de repère. Position du problème: On suppose en général en physique que l’on travaille
dans un repère fixe, défini par une origine O et un repère orthonormé ~i, ~j, ~k, et dans lequel tout solide
initialement au repos et qui n’est soumis à aucune force reste au repos (repère galiléen). Cependant, il est
souvent utile de travailler dans un repère qui n’est pas au repos: c’est par exemple le cas si l’on fait des
calculs de dynamique sur un point à la surface de la terre: il est préférable de prendre un repère en rotation.
On part d’un repère (O,~i, ~j, ~k), donné par un point origine et trois vecteurs formant une base orthonormée.
~ = x~i + y~j + z~k.
Les coordonnées d’un point P dans ce repère sont les 3 réels (x, y, z) tels que OP
Un nouveau repère est la donnée d’un mouvement O1 (t) (nouvelle origine) et de 3 vecteurs en fonction du
temps ~i1 (t), ~j1 (t), ~k1 (t). Dans ce nouveau repère, un point P peut être repéré à l’instant t par 3 coordonnées
x1 , y1 , z1 telles que O~1 P = x1~i1 + y1~j1 + z1~k1 .
On est intéressé par un nouveau repère qui change en fonction du temps; on veut donc connaı̂tre la
variation de ~i1 , ~j1 , ~k1 en fonction du temps. Le fait que la base reste orthonormée impose des conditions très
strictes; on peut montrer le résultat suivant:
20
~
Proposition 21. Il existe un vecteur Ω(t)
(vecteur rotation intantané) tel que
d~i1
d~j1
d~k1
~
~
~
= Ω(t)
∧ ~i1
= Ω(t)
∧ ~j1
= Ω(t)
∧ ~k1
dt
dt
dt
~ =
Considérons un point P qui est de coordonnées fixes (x1 , y1 , z1 ) dans le nouveau repère. On a OP
~ 1 + O~1 P = OO
~ 1 + x1~i1 + y1~j1 + z1~k1 . En dérivant, on trouve que la vitesse du point P dans le repère
OO
intial est:
~1
dOO
~ ∧ O1P
~
+Ω
V~P =
dt
Définition 28. C’est ce qu’on appelle la vitesse d’entraı̂nement du nouveau repère.
Il est important de pouvoir calculer la vitesse lors d’un changement de repère. On considère comme
ci-dessus un repère fixe et un repère mobile, et un point P repéré par ses coordonnées dans le repère mobile.
La vitesse dans le repère fixe est donnée par:
~
~
~
~
~
~
~ = dOP = dOO1 + d(x1 i1 + y1 j1 + z1 k1 = dOO1 + Ω
~ ∧ O1P
~ + dx1~i1 + dy1 ~j1 + dz1 ~k1
V
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
On reconnaı̂t dans la première partie la vitesse d’entraı̂nement; la deuxième partie est la vitesse relative
V~r dans le nouveau repère, d’où le résultat:
~ par rapport au repère fixe est la somme de la vitesse d’entranement V~e =
Théorème 13. La vitesse V
~1
dy1 ~
dOO
dz1 ~
1~
~
~
+ Ω ∧ O1P du nouveau repère, et de la vitesse relative V~r = dx
dt
dt i1 + dt j1 + dt k1 par rapport au
nouveau repère.
Remarque 11. C’est assez évident quand on y pense: si on marche à 5Km/h dans un train qui fait du
100Km/h, on fait du 105Km/h par rapport à la voie! Mais c’est souvent loin d’être évident à appliquer, et
c’est par contre faux pour les accélérations.
Si on reprend la formule et qu’on la dérive une deuxième fois, on obtient:
2 ~
2
2 ~
~
~
~
~Γ = d OP = d OO1 + d (x1 i1 + y1 j1 + z1 k1 )
2
2
2
dt
dt
dt
2 ~
2~
2~
d OO1
d i1
d j1
d2~k1
d2 x1~
d 2 y1 ~
d 2 z1
=
+ x1 2 + y1 2 + z1 2 +
i1 +
j1 + 2 ~k1 + 2
2
2
2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dy1 d~j1
dz1 d~k1
dx1 d~i1
+
+
dt dt
dt dt
dt dt
!
~1
d2 OO
d 2 y1 ~
d 2 z1 ~
d2 x1~
d2~i1
d2~j1
d2~k1
~ ∧ V~r
i
+
j
+
+
x
+
y
+
z
+
k1 + 2Ω
1
1
1
1
1
dt2
dt2
dt2
dt2
dt2
dt2
dt2
Et on obtient la formule de composition des accélérations:
=
Théorème 14. On a ~Γ = Γ~e + Γ~r + Γ~c , où Γ~e =
~1
d2 OO
dt2
2~
2~
2~
+ x1 ddti21 + y1 ddtj21 + z1 ddtk21 est l’accélération
2
2
2
d’entraı̂nement (accélération subie par un point fixe dans le repère mobile), Γ~r = ddtx21~i1 + ddty21 ~j1 + ddtz21 ~k1
~ ∧ V~r est l’accélération de Coriolis.
est l’accélération relative dans le repère mobile, et Γ~c = 2Ω
Remarque: si le repère est en mouvement de translation, l’accélération de Coriolis est nulle, et les
accélérations se composent de façon simple. Ce n’est pas le cas dans un repère en rotation; cette force
est importante en météorologie (voir aussi l’expérience présentée à la cité des sciences de la Villette).
21