Cours 1: fonctions d`une variable réelle

Facult´e de M´edecine Xavier Bichat – Lariboisi`ere Ann´ee 2005–2006
3 COURS DE MATH´ EMATIQUES EN PCEM
P. ARNOUX
Cours 1: fonctions d’une variable r´eelle
1. Fonctions d’une variable r´ eelle: continuit´ e, limites
1.1. Introduction.
1.1.1. Pourquoi ´etudier les fonctions d’une variable r´eelle?
Dans la plupart des sciences, on est amen´e `a ´etudier des grandeurs qui varient en fonction d’autres
grandeurs; par exemple, l’´energie en fonction de la temp´erature et de la pression: E(P, T ). Il est ´evidemment
int´eressant d’´etudier ces variations, mais pourquoi se limiter `a une variable? On peut donner trois raisons:
(1) Il est naturel de commencer par le cas le plus simple.
(2) Il y a un cas particulier tr`es important, qui est `a une dimension, c’est celui d’une variable qui d´epend
du temps.
(3) On verra enfin que, pour ´etudier des fonctions de deux variables ou plus, l’une des proc´edures de base
est de fixer toutes les variables sauf une, et donc de se ramener `a ´etudier des familles param´etr´ees
de fonctions d’une variable r´eelle. En ce sens, l’´etude des fonctions d’une variable r´eelle est un
pr´eliminaire indispensable `a l’´etude des fonctions de plusieurs variables. En particulier, tous les
calculs se ram`enent `a des calculs sur les fonctions d’une variable.
Par ailleurs, il y a un point important: les fonctions que l’on voit classiquement (exponentielle, logarithme,
fonction gaussienne. . .) peuvent sembler compliqu´ees; on pourrait croire que la r´ealit´e est plus simple, et que
l’analyse apporte des complications superflues. Il faut savoir que c’est le contraire: les mod`eles que l’on
propose sont un mod`ele simple d’une r´ealit´e en g´en´eral plus complexe!
Par exemple, si l’on prend l’´evolution d’une population de bact´erie dans un milieu nutritif abondant, on
a vu en terminale qu’on peut la repr´esenter par une fonction N(t) qui ob´eit, au moins au d´ebut, `a l’´equation
N0(t) = kN(t), o`u Nrepr´esente la population. Or c’est ´evidemment faux: si Nest le nombre de bact´eries,
c’est une fonction `a valeur enti`ere, qui est donc discontinue et ne peut avoir de d´eriv´ee! Si on voulait donner
un mod`ele qui repr´esente parfaitement la r´ealit´e, on aboutirait `a quelque chose de tr`es compliqu´e, et de
probablement inutilisable. Le mod`ele donn´e ci-dessus est tr`es simple, et approxime tr`es bien la r´ealit´e.
1.1.2. Quelques points d’histoire.
La notion de fonction telle que nous la connaissons s’est d´egag´ee lentement, et la th´eorie s’est d´evelopp´ee
en fait `a l’envers de la fa¸con dont on l’enseigne aujourd’hui, c’est-`a-dire du particulier au g´en´eral.
Jusqu’au 18`eme si`ecle, les math´ematiciens ´etudient des formules; `a l’´epoque, une fonction telle que la
fonction qui vaut 1 sur l’intervalle [0,1] et 0 ailleurs n’est pas imaginable.
Au d´ebut, il s’agit essentiellement de fonctions polynˆomes ou fractions rationelles; le catalogue s’enrichit
au fur et `a mesure que l’on invente de nouvelles fonctions. Neper, baron ´ecossais, invente le logarithme pour
des raisons pratiques: il s’agit de faciliter les calculs compliqu´es n´ecessaires `a la navigation en transformant
les multiplications en additions. Newton, en essayant de g´en´eraliser la formule du binˆome au cas n´egatif ou
non entier, invente le d´eveloppement en s´erie:
1
1 + x= 1 −x+x2−x3+x4−x5. . .
Date: October 3, 2005.
1

Il invente aussi, avec Leibniz, le calcul diff´ererentiel et le calcul int´egral, et r´esout les premi`eres ´equations
diff´erentielles.
Tout le 18`eme si`ecle est occup´e `a r´esoudre des ´equations diff´erentielles vari´ees, venues en particulier de la
m´ecanique. C’est `a cette ´epoque que se d´egagent les principaux r´esultats du calcul diff´erentiel (th´eor`eme de
Rolle, accroissements finis, formule de Taylor).
C’est au d´ebut du 19`eme que se d´egage, avec Cauchy en particulier, la notion plus g´en´erale de fonction
continue. Ce n’est que dans la deuxi`eme moiti´e du 19eme que la th´eorie est solidement fond´ee, avec une
d´efinition pr´ecise des nombres r´eels, et la preuve des grands th´eor`emes que nous verrons aujourd’hui.
L’ordre dans lequel nous ferons ce cours: fonctions ⇒fonction continues ⇒fonction d´erivables ⇒s´eries
est donc le contraire du d´eveloppement historique!
Remarquons que l’histoire ne s’arrˆete pas l`a: la fin du 19`eme voit l’arriv´ee de fonctions continues non
d´erivables (pas facile `a construire: essayez!) qui jouent un rˆole important aujourd’hui (mouvement brownien,
fractals) et celle des mesures; le milieu du 20`eme si`ecle voit la cr´eation des fonctions g´en´eralis´ees et des
distributions (Sobolev, Schwartz). Nous nous arrˆeterons pour ce cours `a la fin du 19`eme.
1.2. Fonctions: notions de base.
D´efinition 1. Soit Eun sous ensemble de R. Une fonction fd´efinie sur Eet `a valeur dans Rassocie, `a
tout ´el´ement xde E, un unique ´el´ement f(x) de R. L’ensemble Eest appel´e le domaine de d´efinition de f.
On suppose connues les notions enseign´ees au lyc´ee: domaine de d´efinition, fonction croissante, d´ecroissante,
monotone, paire, impaire. . .
Remarque 1.Comment d´efinir de nouvelles fonctions?
Il y a des op´erations standards qui permettent de d´efinir de nouvelles fonctions `a partir de fonction
d´ej`a connues: la somme, le produit, le quotient (l`a o`u le d´enominateur n’est pas nul) et la composition.
Classiquement, r´esoudre un probl`eme portant sur une fonction, c’est d´eterminer la fonction inconnue comme
somme, produit, quotient et composee de fonctions classiques (polynˆomes, trigonom´etrique, exponentielle
et logarithme). S’il est vrai que ces fonctions permettent de r´esoudre plusieurs probl`emes important (en
particulier, les ´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients constants), il existe bien d’autres fa¸cons de
d´efinir des fonctions.
Il y a d’abord les d´efinitions algorithmiques directes: par exemple, la fonction fd´efinie par f(x) = 1 si
x∈[0,1] et f(x) = 0 sinon est bien d´efinie.
Il existe ensuite divers outils analytiques, reposant sur des th´eor`emes; tout d’abord, la fonction r´eciproque
sur un intervalle o`u la fonction donn´ee est continue et strictement monotone, ce qui permet de contruire
plusieurs fonctions importantes: racines carr´ee ou n-i`eme, Arc sinus, Arc cosinus, Arc tangente.
Ensuite, la d´eriv´ee; mais c’est un cas tr`es particulier: comme on connait la d´eriv´ee des fonctions usuelles,
les th´eor`emes de d´erivation (chapitre suivant) permettent, de fa¸con automatique, d’exprimer la d´eriv´ee d’une
fonction obtenue par somme, produit, quotient et compsition de fonctions de base `a partir de la d´eriv´ee de
ces fonctions.
Une autre op´eration est la primitive, mais on n’a pas ici de th´eor`eme analogue au cas de la d´eriv´ee, et la
primitive d’une fonction continue, dont on montre qu’elle existe, ne peut en g´en´eral pas s’exprimer `a partir
d’autres fonctions. Ainsi, une fonction tr`es connue, la fonction d’erreur, primitive de la fonctions gaussienne
1
√2πe−x2/2, est une nouvelle fonction qui ne peut s’exprimer en terme d’exponentielle et de polynˆomes. Ce
n’est que dans certain cas, d’ailleurs importants, que l’on peut effectivement calculer une primitive; il en est
de mˆeme d’un probl`eme analogue, la solution des ´equations diff´erentielles.
1.3. Limites, continuit´e: d´efinitions.
1.3.1. limites.
D´efinition 2. soit x0un point de l’intervalle ]a, b[; soit fune fonction d´efinie sur l’intervalle ]a, b[, sauf
peut-ˆetre en x0. On dit que fadmet la limite len x0, et on note
lim
x→x0
f(x) = l
si f(x) est arbitrairement proche de lquand xest proche de x0, ou plus pr´ecis´ement: pour toute pr´ecision
 > 0, il existe un petit intervalle centr´e en x0sur lequel f(x) est proche de l`a la pr´ecision .
2

On montre que cette d´efinition est ´equivalente a la suivante, qui est tr`es classique:
D´efinition 3. On dit que fadmet la limite len x0si et seulement si:
(∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x∈]a, b[)(0 <|x−x0|< δ =⇒ |f(x)−l|< )
Pourquoi demander que la fonction soit d´efinie sur un voisinage de x0, sauf peut-ˆetre en x0? Parce que,
dans tous les cas ou il est int´eressant de calculer la limite, la fonction n’est, au d´epart, pas d´efinie en x0.
C’est ce qui se passe par exemple pour la limite connue de sin(x)/x en 0; c’est aussi ce qui se passe, comme
on le verra au chapitre suivant, pour l’une des utilisations les plus utiles des limites, qui est la d´efinition de
la d´eriv´ee.
Il y a une proposition tr`es importante sur les limites:
Proposition 1. Si fest positive ou nulle, alors limx→x0f(x)≥0
Autrement dit: le passage `a la limite pr´eserve les in´egalites larges. Il ne pr´eserve par contre pas les
in´egalit´es strictes: consid´erez la fonction 1/x sur ]0,+∞[ et sa limite `a l’infini.
1.3.2. La continuit´e: d´efinitions.
Pour la plupart des fonctions que l’on consid`ere usuellement, la restriction “fd´efinie sauf peut-ˆetre en
x0” n’est pas utile, car ces fonctions sont continues, c’est-`a-dire que la limite de fen x0est f(x0).
Plus pr´ecis´ement, on a les d´efinitions suivantes:
D´efinition 4. On dit que fest continue en x0si limx→x0f(x) = f(x0).
Cette d´efinition se r´e´ecrit formellement ainsi:
Proposition 2. La fonction fest continue en x0si et seulement si:
(∀ > 0)(∃δ > 0)(∀x∈]a, b[)(0 <|x−x0|< δ =⇒ |f(x)−f(x0|< )
D´efinition 5. On dit que la fonction est continue sur ]a, b[ si et seulement si elle est continue en tout point
de ]a, b[.
On donne habituellement de la continuit´e l’interpr´etation suivante: le graphe de fn’a pas de ”sauts”, ou
encore on peut tracer le graphe sans lever le crayon.
Remarque importante: en un certain sens, les fonctions continues sont les seules qui ont une signification
physique; une fonction discontinue ne peut vraiment ˆetre identifi´ee, puiqu’une erreur arbitrairement petite
sur la variable entraˆıne une grande diff´erence sur la fonction. La seule discontinuit´e admissible est une
discontinuit´e en un point, telle que la discontinuit´e observ´ee dans les grandeurs physiques en fonction de la
temp´erature lors de la fusion et de l’´ebullition.
1.4. Les grands th´eor`emes.
Les propri´et´es essentielles des fonctions continues sont les suivantes:
Th´eor`eme 1 (Th´eor`eme du maximum).Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e born´e est born´ee
et atteint ses bornes
Th´eor`eme 2 (Th´eor`eme des valeurs interm´ediaires).Soit fune fonction continue de [a, b]dans R, et mun
nombre r´eel, tels que f(a)< m < f(b). Alors il existe un nombre ccompris entre aet btel que f(c) = m.
Corollaire 1. L’image d’un segment par une application continue est un segment.
Th´eor`eme 3 (Th´eor`eme d’inversion locale).Soit fune fonction continue strictement monotone sur un
intervalle [a, b]. Alors fest une bijection de [a, b]sur [f(a), f(b)], et sa r´eciproque est une fonction continue
strictement monotone.
Exemple 1. L’une des applications les plus classiques de ce th´eor`eme est l’existence et la continuit´e de
la racine n-i`eme sur [0,+∞[, si nest pair, et sur tout Rsi nest impair, en utilisant la continnuit´e et la
monotonie de la fonction x7→ xn.
ATTENTION! Ces th´eor`emes peuvent avoir l’air presque “´evidents”; ils sont en fait difficiles `a prouver
(et d’autant plus difficiles qu’ils ont l’air ´evidents); Ce n’est qu’au 19`eme si`ecle que l’on est arriv´e `a des
´enonc´es et des preuves corrects. Ce cours est trop bref et de niveau trop faible pour que l’on puisse donner
des preuves, que l’on trouvera dans n’importe quel livre d’analyse.
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2. Calcul diff´ erentiel
2.1. Vitesse, taux d’accroissements, densit´e. . .
Il existe d’innombrables situations o`u l’on a besoin de quantifier la fa¸con dont une quantit´e varie en
fonction d’une autre: calcul de vitesse, de taux de variation, de pente, coefficient calorifique, . . .
Dans ces situations, on peut calculer deux objet diff´erents:
•un taux de variation moyen (vitesse moyenne, coˆut moyen,. . ., qui ne pose pas de probl`eme de
d´efinition: il s’agit d’un simple quotient. Par exemple, pour calculer une vitesse moyenne, il suffit
de diviser la distance parcourue par le temps ´ecoul´e.
•un taux de variation instantan´e (vitesse instantan´ee, pente de la tangente, coˆut marginal. . .)
Dans ce deuxi`eme cas, ce que l’on calcule, c’est une d´eriv´ee (ou parfois une d´eriv´ee logarithmique); le
calcul de cette d´eriv´ee, et son existence mˆeme, ne sont pas ´evidents: c’est le cas typique o`u un calcul de
limite s’impose. Il s’agit en fait de remplacer une fonction par une fonction affine (droite), plus simple `a
calculer, et tangente `a la fonction consid´er´ee.
2.2. La d´eriv´ee: d´efinitions.
D´efinition 6. On dit qu’une fonction f, d´efinie sur un voisinage de x0, est d´erivable en x0si la limite
limx→x0
f(x)−f(x0)
x−x0existe. Dans ce cas, on appelle cette limite d´eriv´ee de fen x0et on la note f0(x0), ou
encore df
dx (x0).
Remarquons que c’est un cas typique o`u la fonction est d´efinie partout, sauf au point consid´er´e; c’est en
passant `a la limite qu’on peut la d´efinir en ce point (si la fonction initiale est d´erivable).
Une autre fa¸con de dire que la fonction fest d´erivable en x0est la suivante, qui est souvent utile, et qui
constitue un premier exemple de d´eveloppement limit´e:
Proposition 3. La fonction fest une fonction d´erivable en x0, si et seulement si il existe une fonction ,
telle que limx→x0(x) = 0, qui v´erifie: f(x) = f(x0)+(x−x0).f0(x0)+(x−x0)(x).
Remarque 2.Le graphe de la fonction affine x7→ f(x0)+(x−x0).f 0(x0) est la tangente au point consid´er´e
au graphe de la fonction f(si cette tangente existe). Il existe une interpr´etation graphique de la d´erivabilit´e
en x0, qui se v´erifie bien avec une calculatrice graphique: si fest d´erivable en x0, alors, quand on zoome
sur le graphe de fautour du point (x0, f(x0)), ce graphe se met a ressembler `a une droite. On peut v´erifier
que ce n’est pas le cas pour une fonction non d´erivable en 0 typique telle que xsin(1/x) en 0. Il existe des
fonctions “naturelles” qui ont ce type de comportement en tout point, par exemple les cours de la bourse:
quelle que soit la puissance avec laquelle on zoome, le graphe reste d’apparence irr´eguli`ere.
D´efinition 7. On dit que fest d´erivable sur un ensemble Esi elle est d´erivable en tout point de E; on dit
qu’elle est de classe C1sur Esi de plus la fonction d´eriv´ee f0est continue sur E.
On peut bien sˆur consid´erer la fonction d´eriv´ee f0et chercher si elle est d´erivable; on parle alors de la
d´eriv´ee seconde de f, not´ee f00, et par r´ecurrence, on d´efinit quand elle existe la d´eriv´ee ni`eme de f, not´ee
f(n)(`a ne pas confondre avec la puissance ni`eme de f, not´ee fn). La d´efinition suivante est souvent utile:
D´efinition 8. On dit que fest nfois d´erivable sur un ensemble Esi elle est nfois d´erivable en tout point
de E; on dit qu’elle est de classe Cnsur Esi de plus la fonction d´eriv´ee ni`eme de f,f(n), est continue sur
E.
2.3. La d´eriv´ee: propri´et´es de base, lien avec le sens de variation.
On suppose connues les d´eriv´ees des fonctions usuelles: polynˆomes, exponentielle, logarithme, fonctions
trigonom´etriques. Les th´eor`emes suivants montrent qu’on peut calculer de fa¸con m´ecanique la d´eriv´ee de
toute fonction construite `a partir des fonctions usuelles par les proc´ed´es standard: somme, produit, quotient
et composition.
Proposition 4. Soient fet gdeux fonctions d´erivables en x0. Alors, les fonctions f+g,f.g, et, si g(x0)6= 0,
f/g sont d´erivables, de d´eriv´ee respective f0(x0) + g0(x0),f0(x0)g(x0) + g0(x0)f(x0),f0(x0)g(x0)−g0(x0)f(x0)
g(x0)2.
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Proposition 5. (D´erivation des fonctions compos´ees, appel´ee Chain Rule en anglais) Soit gune fonction
d´erivable en x0, et fune fonction d´erivable en g(x0); alors, f◦gest d´erivable en x0, de d´eriv´ee f0◦
g(x0).g0(x0) = f0(g(x0)).g0(x0)).
Bien entendu, ces th´eor`emes sont compl`etement inutiles si l’on ne connait pas par cœur les d´eriv´ees des
fonctions de base.
On sait que le signe de la d´eriv´ee est li´e au sens de croissance de la fonction; rappelons la propri´et´e
fondamentale suivante:
Proposition 6. Si fest d´erivable et croissante sur ]a, b[, alors sa d´eriv´ee est positive ou nulle. R´ecipro-
quement, si sa d´eriv´ee est strictement positive, alors fest strictement croissante sur ]a, b[.
Si fadmet un extremum local en x0, et est d´erivable en ce point, sa d´eriv´ee s’annule en x0
Remarque 3.Un point o`u la d´eriv´ee s’annule est appel´e un point singulier ; si la fonction repr´esente le
mouvement d’un point mobile, un point singulier correspond `a un temps o`u le mobile s’arrˆete. La proposition
pr´ec´edente nous dit que tout extremum d’une fonction d´erivable est un point singulier. La r´eciproque est
fausse: pour la fonction x7→ x3, l’origine est un point singulier qui n’est pas un extremum, puisque cette
fonction est strictement croissante sur tout R. Cette situation est cependant rare; pour qu’un point singulier
ne soit pas un extremum, il faut des conditions sp´eciales: si la fonction est deux fois d´erivable, il faut que
la d´eriv´ee seconde s’annule aussi. En un certain sens, la plupart des points singuliers sont des extrema. On
verra que le situation est tr`es diff´erente pour les fonctions de 2 variables.
2.4. Les grands th´eor`emes du calcul diff´erentiel.
Les trois principaux th´eor`emes sur les d´eriv´ees sont les suivants (le th´eor`eme de Rolle est essentiellement
un r´esultat technique, qui permet d’´etablir les deux suivants):
Th´eor`eme 4. (Th´eor`eme de Rolle) soit fune fonction continue sur un intervalle compact [a, b], d´erivable
sur ]a, b[, et telle que f(a) = f(b); alors il existe un point de ]a, b[o`u la d´eriv´ee s’annule.
Attention! l’hypoth`ese que la fonction est partout d´erivable est essentielle: consid´erer la fonction |x|sur
[−1,1].
Th´eor`eme 5. (Th´eor`eme des accroissements finis)(version forte) Si fest d´efinie sur [a, b]et d´erivable sur
]a, b[, alors il existe c∈]a, b[tel que f(b)−f(a) = (b−a)f0(c).
Th´eor`eme 5. (Th´eor`eme des accroissements finis)(version faible) Si fest d´efinie sur [a, b]et d´erivable sur
]a, b[, et si |f0(x)|< M sur ]a, b[, alors f(b)−f(a)< M.(b−a).
Ces deux th´eor`emes ont une interpr´etation cin´ematique: le premier th´eor`eme nous dit que si une voiture
parcourt 100 km en une heure sur une route, et qu’elle a toujours une vitesse instantan´ee bien d´efinie, alors
il existe un moment o`u elle a une vitesse instantan´ee de 100 Km/h; remarquons que, en cas de choc, il peut
y avoir un moment o`u la vitesse instantan´ee n’est pas d´efinie; dans ce cas le th´eor`eme peut ˆetre en d´efaut
(cas du moteur qui fait 50km en 20minutes, `a 150Km/h, puis 50 Km en 40 minutes, `a 75 Km/h, apr`es ˆetre
rentr´e dans un camion). Le second th´eor`eme nous dit que, si la vitesse est toujours strictement inf´erieure `a
100 Km/h, la distance parcourue en une heure est strictement inf´erieure `a 100 Km/h. Ici aussi, l’exigence
que la d´eriv´ee soit partout d´efinie est essentielle.
Si on sait que fest nfois d´erivable, on peut faire mieux: on peut approximer fpar un polynˆome. On
retrouve la formule de Taylor en regardant ce qu’elle donne pour un polynˆome: Les d´eriv´ees successives du
monˆome xnsont ´evidentes `a calculer, et elles sont toutes nulles `a l’origine, sauf la d´eriv´ee n-i`eme qui vaut
n!. Donc, un polynˆome dont les d´eriv´ees en 0 sont nulles, sauf la d´eriv´ee n-i`eme qui vaut 1, est ´egal `a xn
n!.
Plus g´en´eralement, un polynˆome Pqui a toutes ses d´eriv´ees nulles `a partir du rang n+ 1 et qui v´erifie
P(k)(0) = akpour k= 0,1, . . . , n est ´egal `a Pn
k=0 akxk
k!; cette formule s’´etend `a une fonction nfois d´erivable
en 0 quelconque, `a condition de rajouter un terme d’erreur:
Th´eor`eme 6. (Formule de Taylor-Young) Soit fd´efinie sur un intervalle de 0, et telle que f(n)(0) existe.
Alors, il existe une fonction d´efinie sur le mˆeme domaine que fet v´erifiant limx→0(x) = 0 telle que
f(x) = f(0) +
n
X
k=1
f(k)(0)xk
k!+xn(x)
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