IE1_2011

PEIP Polytech Paris-Sud
2010-2011
Interrogation écrite de Mécanique n°1
Jeudi17Février 2011. Durée 1h30
Les documents sont interdits. Les calculatrices simples sont autorisées.
Les exercices sont tous indépendants.
Une sanction de -1pt pourra être appliquée pour la présentation générale de la copie.
N’oubliez pas de décrire vos calculs avec des phrases et de mettre en valeur les résultats.
Préliminaires et questions de cours
1- Soit un point M suivant une trajectoire définie par l’équation suivante :
a- Donner l’expression du vecteur position
b- En déduire l’expression du vecteur vitesse
c- En déduire l’expression de l’accélération
en coordonnées polaires.
en coordonnées polaires.
en coordonnées polaires.
2- Enoncer les trois lois de Newton.
3- Enoncer le théorème de l’énergie cinétique sans oublier les hypothèses de départ.
Exercice 1 : Décollage d’un avion
On considère dans tout le problème un avion assimilé à son centre de masse M. Le pilote
souhaite faire décoller l’avion afin d’atteindre son altitude de croisière en imposant une force
de poussée constante qui combinée à la portance subie par l’avion donne une force résultante
faisant un angle β avec l’horizontale (axe Ox). Au moment du décollage (t=0), l’avion
possède une vitesse
et l’altitude à atteindre est de 5000m. L’avion décrit alors une
trajectoire dans le plan xOz. On placera l’origine des positions en coïncidence avec l’origine
des temps et on négligera toutes forces de frottements.
1- Faire un bilan de forces agissant sur l’avion après le décollage.
2- Exprimer les composantes de l’accélération ax(t)et az(t) en fonction de F, g, m et β.
3- En déduire la condition sur β pour que l’avion décolle effectivement en fonction de F,
m et g. On supposera que cette condition est vérifiée dans la suite de l’exercice.
4- En déduire les composantes de la vitesse vx(t) et vz(t)en fonction de F, g, m,β et v0.
5- En déduire les équations paramétriques de la trajectoire x(t)etz(t).
6- En supposant que
après le décollage, montrer que la norme de la force
s’écrit :
7- Au bout de combien de temps l’avion atteindra-t-il l’altitude finale ? Quelle sera alors
la vitesse de l’avion projetée au niveau du sol ? On donnera la réponse en m/s puis en
km/h.
Données : β = 75°; g = 9.81 m/s² et v0=65m/s
Exercice 2 : Rampe de skate-board
Un skateur professionnel décide de tester à partir de quelle vitesse initiale
en
partant du point A, il va pouvoir décoller de la piste au point D. On assimilera le skateur et
son skateboard à un point matériel M de masse m se déplaçant dans le plan xOz. On négligera
les forces de frottements fluides.
Fig 1 : Représentation schématique de la piste de skateboard.
La piste de skateboard est décomposée en 3 parties (voir figure 1). Une première de A à B
formant un quart de cercle de rayon R1 parfaitement lisse sur laquelle on négligera les forces
de frottements solides. Une deuxième partie horizontale entre B et C sur laquelle les forces de
frottements solides ne sont pas négligeables etdont la norme vaut
(avec la
réaction du support) puis une dernière partie entre C et D formant un quart de cercle de rayon
R2 parfaitement lisse sur laquelle on négligera les forces de frottements solides.
I.
Etude énergétique entre A et B :
1- En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer la norme de la vitesse vB au
point B en fonction de v0, g et R1.
2- En déduire l’expression de la vitesse
au point B en coordonnées polaires puis
cartésiennes.
II. Etude énergétique entre B et C :
1- En plaçant l’origine du repère cartésien au point B et en utilisant le principe
fondamental de la dynamique, montrer que :
2- Calculer le travail des forces en présence entre B et C.
3- En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer la vitesse vC au point C en
fonction de v0, g, l, kd et R1.
III. Etude énergétique entre C et D :
1- En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, exprimer la vitesse vD au point D en
fonction de v0, l, kd, R1 et R2.
2- En déduire la condition sur v0 pour que le skateur décolle de la piste.
3- A.N : calculer le v0critique correspondant à cette condition pour g = 9.81 m/s², l=3m,
R1=5m, R2=6m et kd = 9.15 10-2.
Exercice 3 : Trajectoire et coordonnées intrinsèques
Un objet suit une trajectoire (T) dans le plan xOy définie par les équations paramétriques
suivantes :
.
1- Exprimer la trajectoire y(x) en fonction de a et b et la représenter soigneusement (à
l’échelle) pour t variant de 0 à 10s (On prendra a=2cm/s, b=3cm et τ = 1.5s).
2- Calculer les composantes de la vitesse puis celles de l’accélération en coordonnées
cartésiennes.
3- En déduire la norme de l’accélération.
4- Montrer que la norme de la vitesse s’écrit :
5- En déduire l’expression de l’accélération en coordonnées intrinsèques en fonction
de a, t, τ et R (le rayon de courbure).
6- En déduire l’expression du rayon de courbure R à t=0 en fonction de a et τ.
Effectuez l’application numérique.