Dimension de Hausdorff. Application aux nombres

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
M ICHEL M ENDÈS F RANCE
Dimension de Hausdorff. Application aux nombres normaux
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 5 (1963-1964), exp. no 6,
p. 1-9
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6-01
Séminaire DELANGE-PISOT
(Théorie des
année, 1963/64,
13 janvier 1964
n° 6
5e
DIMENSION DE HAUSDORFF. APPLICATION AUX NOMBRES NORMAUX
par Michel
MENDES
FRANCE
propose de définir et de calculer la dimension de
Hausdorff de certains ensembles linéaires. Le plan adopté est le suivant:
Dans cet
exposés
on se
I. Définition de la dimension.
p-I0153sure dans les espaces
II ~
métriqueso
III o Dimension de Hausdorff.
I o Définition de
La dimension d’un ensemble
la
o
définit par récurrence
se
[4]o
On
commence
x
si tout
par défi-
nir les ensembles de dimension nulle.
la 1. Dimension
0 .
Un espace topologique est de dimension nulle
U
de
espace
contient
un
voisinage
topologique
X
vide
x
V
de
est d"
x
un
dont la
point
frontière F(V)
si,
en
voisinage
e st vidéo Un
chacun de
ses
points,
il est de
On montre que tout ensemble de nombres réels qui
Io 2~ Dimension
a.
On pose
03B2.
Un espace
si tout
intervalle
1 c
topologique
voisinage U de
est de dimension inférieure
X
03B3. Un e space topolo gique
X
s’il est vrai que
contient
x
ou
x .
un
n .
dimension inférieure
a une
x
contient pas
O-dimensionel.
est
x
ne
dim(X)
égale
à
un
voisinage
égale à
dont la
au point
frontière F(V)
n
(n - 1~ ~
est de dimension
n
V
ou
n
et s’il est faux
(ou n-dimensionnel) au point
que dim(X) n - 1 au point
ôo Un espace topologique
(Y) ; ~b~
Si l’une des
est
que X
de dimension infinie
est
point
au
x ,
si, pour
n p il e st f aux que
tout entier
~~
x
respectivement
est vraie
de dimension inférieure
en
tout
ou égale
point
à
on
dit
n , de dimension
n , de dimension infinie o
On montre que
(La
n o
démonstration de
ce
résultat est loin d’être
simple.)
II o
Soit
X
un
nombre réel
ensemble
où
U
p-mesure dans
les espaces métriques [4].
sous-espace d’un espace
négatifo Soit e
métrique ~b ~A~ ~ sup
non
> 0
métrique séparable. Désignons par p un
donné,
représentant le diamètre d~un
x~~~~
on
po se s
constitue un recouvrement ouvert de l’ensemble X par
i
brable de sous-ensembles
de diamètre ne dépassant pas
e
et
si A~~
poser
A.
une
famille dénom-
"
{A. }
[6(A)]°=1
[ô(~)]°=0
Par
définition,
Remarquons que ,
pour
on
LEMME 1. -
q
0
0
’-
p
X
p = 1 et
l’implication
~
m
p
(X)
On convient de
c
p-mesure de l’ensemble
On vérifie aisément
tX~ ~
q
m
la
o
est donnée par
l’expression
obtient la mesure extérieure
de Lebesgue.
suivante n
m
q
(X)
n
De
plus si
m
r....~..~..~.w......
p
(X)
e st
finie,
~
alor s
~,...~...
0
La démonstration de
ce
lemme découle immédiatement de
Démontrons maintenant l’ important théorème ?
l’inégalité évidente :
Soit
plication suivante :
La
négation
en
a
l’im-
du théorème s’énonce :
Nous allons démontrer
Soit
espace métrique séparable. On
X
THEOREME 1. -
effet E
en
X
fait le résultat
et soit
un
r
plus
nombre réel
positifs
On considère la
sphère
Montrons la proposition suivante 1
pour presque tous les nombres
En effet soit
E
un
r
o
ensemble bornée On pose $
Il e st évident
Par
Mais
suite?
les
mp+1 (X) =
~A.~ ._ 1
telle que
intégrales considérées étant
0
hypothèse.
des
Il existe donc
intégrales supérieures :
une
suite de recouvrements ouverts
Les relations
(6)
et
(7) impliquent
que :
On peut intervertir les signes / et S car,
est semi-continue inférieurement:
ô[S (r) n
A.]
J
D’après
TITCHMARSCH
([6],
section
10 2G 5 9
p.
A.
388),
étant ouvert, la fonction
il existe
une
sous-suite
(
te lle que :
et par suite
elle devient :
Ceci démontre la
proposition,
le théorème 1
démontre alors aisément par induction.
se
Pour
p =
0 ~
III. Dimension de Hausdorff.
III. 1 p Définition.
X
représentant
de Hausdorff de X
un
d’un espace métrique séparable, la dimension
H-dim(X) ) est donnée par l’expression :
sous-ensemble
notée
Or le théorème 1 montre que l’on
Cn
en
a :
déduit le corollaire important
La notion de dimension de Hausdorff
nulle, Par
mesure
dans
exemple
ensemble
à
D’une
si
parfait de Cantor
façon plus générale,
~5~,
montre que la dimension de Hausdorff d’un
on
(0
~ ~^a pp o r t
est
V
de classer certains ensembles de
permet
~)
~
ensemble
un
est
égale
linéaire,
à
Log
le résultat suivant
est vrai s
H-dim(V)
Dans le
1
=
paragraphe qui suit,
l ensemble des nombres
III c
qui
ne
(mesure
0
nous
de
Lebesgue
R~,
sur
allons étudier la dimension de Hausdorff de
sont pas
normaux.
3. Nombres normaux.
Soit
x
un nombre irrationnel de l’intervalle
binaire sécrit
Au nombre
sous
on
x s
(0 , 1)
dont le
développement
la forme
associe la suite de Rademacher
définition, on dit qu’ un nombre x e (0 , 1) est "simplement normal dans
base 2 n (ou plus brièvement : "normal") si l’égalité suivante a lieu :
Par
Nous allons établir le théorème suivant
THÉORÈME 2e
sont pas
sion de
L’ensemble
-
nous ne
On définit
où
des nombres
simplement normaux dans
Hausdorff égale à 1 a
Que l’ensemble
BOREL,
V
V
soit de
la
mesure
à W. ~~
x
base 2 ,
nulle ,
BEYER [1] :
de l’ intervalle
la j -ième coordonnée
de
cela est
~0 ~ l~ .~ ~~ ~
T (x)
est
(0 1) , qui ne
est de mesure nulle et de dimen-
un
résultat classique dû à
le démontrerons pas. Etablissons la seconde
l’application
la
par :
partie
du théorème ~
On peut alors énoncer les deux lemmes suivants s
LEMME
2.. -Si
(0 . l)
x~
irrationnel,
est
on a
r.. 1)n+j (x)
= ri(Tjn(x))
c
Démonstration évidente.
A
c
(0 ~ l)
l’égalité
a
lieu,
Soit
En fait,
On
o
a
1~
alors
l’inégalité
mais
inégalité
suffit pour la démonstration du
théorème 2~
Un cube binaire est
Démonstration. -
un
Rn,
cube ouvert dans
dont les
2n
sommets ont pour coordonnées
où
ô. =0
tel cube
sera
W . Pour
n
=
et ou
1~
ou
~.
noté
1?
est
k~
k jÎ
W(k. e
~T.
un
c"ibe binaire et
Dans la définition de la dimension de
d~une arête du cube
2
o
Le
On
est
une
O~k.~2 -1 ~
a aucune
intervalle que l’on
Hausdorff,
on
confusion
représente
remplace
par
les ensembles
c~ les diamètres par la
Un
possible~
1
c
A.
longueur
binaire du nombre rationnel
k. 2
;
k ~(
cube
appelle
2
(0 y 1)
un
OU, SIil
développement
étant
au
r~.
1 m)
par des cubes binaires
fixé,
nombre entier
m) ,
s l’application
e
Désignons
longueur
bijection de l’ensemble
associe l’intervalle ouvert
s (W)
La longueur l(I) de l’intervalle 1
l’ensemble de tous les intervalles binaires sur
W ~ I
par
=
o
(K=0~1~2~.c.). Inapplication
de
réciproque ~"
du cube W , on
on
des cubes binaires
est alors bien définie? Si
voit que lion
a s
sur
l’ensemble
e (W) désigne
la
s
o
longueur
est alors
L’application
de l’ arête
Montrons
A
que
contient
ne
l’inégalité (10)
inchangé
sion de Hausdorff serait
arbitraires
positifs
6
et
e
o
A
recouvrement de l’ensemble
un
lieu :
p2-K ,
points
aucun
a
intervalle
_~
2
longueur
où
qi
est le
de
suppression. Soient donnés
par des intervalles binaires
par
un
,
I i,
A
recouvrement
-p,
longueur 2
plus petit
par
entier
U
2
supérieur
o
(13) ayant
L~ inégalité
lité
(10).
lieu pour tout
e
et
b
positifs,
{In})
en ren>-
intervalles de
è
et
pi
qui
alors l’ensemble
recouvre
multiple de n La réunion des cubes s-1(In)
i
T (A)
et, d’après l’égalité (11) et l’inégalité (12) t
n
soit
e
égal
ou
il existe
tel que
T,
IiÎ (19
deux nombres
~8~ ~
le lemme 1 et la définition
Diaprés
i
plaçant chaque
supposer que l’ensemble
contenait de tels points, sa dimen-
peut touj ours
car, si
par leur
U I,
On remplace le recouvrement
on
déduit
on en
l’ inéga~-
.
C.Q. F~ Do
Démonstration du théorème 2. - V
(0 , 1) ,
l’intervalle
ble des nombres
qui
simplement
ne
sont pas
normaux
positif arbitraire, supérieur à
représente
l’ensemble des nombres
simplement
normaux.
dans 1 ~ intervalle
1?
et soit
x~.
un
x
de
Appelons
B
l’ensem-
Soit
K
un
(0 ~
point fixé
entier
de l’ensemble
V
o
On pose :
Du théorème de Borel
que
H-dim(E)
à-dire
A=
On a donc,
=
"presque tous les
K - 1 . Considérons d’autre
{x )1 T (x) ~E}.
si
nombres sont
x E A :
simplement normaux",
part l’ensemble
A
=
on
(Tj" E ,
déduit
d’après
le lemme 2.
Quand
tend
vers
+ oo ~ le second membre de
tend pas
vers
0 ~
n
l’égalité pré-
cédente est équivalent à
qui, puisque
ne
L’égalité Tu (A) =
L ’ inclusion
E
A c V
Cette
inégalité ayant
o
Ajoutons,
Mais
pour
V
_-~
x E V
soit
A c V (B
et le lemme 3 montrent que
implique
et la comparaison des
Ainsi
que
inégalités (14)
(15)
et
lieu pour tout entier
c
entratne que
K >
1,
(0 9 1) , donc H-dim(V)
terminer,
conclut que
on en
démontre le théorème.
1 .
que des résultats du même
type
ont été obtenus par
diver s auteurs. Entre autres :
si
N (x , i) représente
alor s l’ensemble des
une
x e
dimension de Hausdorff
le nombre de
(0 , 1) ,
égale
à
0
tels que
a
dans la suite
lim i
où
Ce résultat contient d’ ailleurs le théorème de
Beyer.
’
=
(x) , a 2 (x) , ~~. ~
p (0 p 1) , a
6-09
BIBLIOGRAPHIE
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BEYER
(Williams A.). -
series,
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[5]
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Oxford,
Oxford
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