Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres M ICHEL M ENDÈS F RANCE Un ensemble de nombres non normaux Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 18, no 1 (1964-1965), exp. no 2, p. 1-6 <http://www.numdam.org/item?id=SD_1964-1965__18_1_A2_0> © Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1964-1965, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 2-01 Séminaire DUBREIL-PISOT (Algèbre et Théorie des nombres) 18e annee, 1964/65, 16 novembre 1964 n° 2 UN ENSEMBLE DE NOMBRES NON NORMAUX par Michel MENDÈS FRANCE Definitions. 1. Soit Il lui (0 , 1) x E alors correspond Soit A. sitif un developpement 2 ) si, la base A~e {(0) , (1)}~ , (l)} {(0) , designe Ak) e~(x) ~ e (x) ~ la suite (dans un p , pour tout k binaire (k Le nombre x 2. L’ensemble E designe il existe presente la [6] non négatifs). l) . Soit un entier po- qu’apparait 1 la suite A- est dit normal Le e (x) . et p pour toute suite ks 9 r n (x) = si, pour toute suite finie d’entiers 1 - 2~ n (x) , on obtient la carac- o si, et seulement on a E . o 1’ensemble des nombres un entier entier entiers unique ° ... ~ b on a est normal Qoo .a , Ie nombre de fois En introduisant la suite de Rademacher terisation suivante a/2 nombre different de element de N(x , k . un polyn8me reel (p partie entière du x E tel que (0 , 1) qui ont la propriété suivante : r (x) = exp i03C0[03C6(n)] , n e N , ( [t] re- nombre reel t ). Nous nous proposons d’etablir le théorème suivanto THEOREME 1. - L’ ensemble I1 s’ensuit que "presque tous" E est de E ne contient mesure (la signification aucu.n nulle. On de ceci est nombre normal peut 0 se demander si precisee ci-dessous) E contient . les nombres non normaux. On a la repond question termes de dimension de Hausdorff en E ~. - La dimension de Hausdorff de l’ ensemble des nombres V celle de l’ensemble La demonstration du théorème 2 COROLLAIRE. - L’ensemble series E non normaux nous est un I V alors que le corollaire suivanto d’unicité (au ensemble 0, o permettra d’enoncer alors que 1’ensemble trigonometriques est est ° sens est ensemble de strict) pour multiplicite. Remarque. - Il se peut que l’ ensemble V soit un ensemble d’unicité large 3 le problème reste ouvert Il a été aborde par PJATECKIJ-0160APIRO part, et par KAHANE et SALEM [5] d’ autre part 0 les au sens [9] d’une ° 3. Esquisse On se de la demonstration Soit v le degre de ~ . On montre ensuite que Or CVv (p(n + 03BD) - C)03BD-103BD 03C6(n v On en montre alors que x dante de ° Soit x E E . I1 existe donc un polyn8me n . L On forme la a une quantite valeur voisine de 1) + (( 1 ) v 03C6(n) est une q quantité indépenp conclut que|L’| = 1 , puis que L ~ 0 . La caractérisation (1) n’ est pas normal (detail de la demonstration dans [7J). 03C6(n + 03BD -1 + v - + o .. est une Demonstration du théorème 20 Il est connu que l’ensemble V des nombres non normaux est de dimension de egale à 1 ([2J ou [3J). Toutefois on donne ici une demonstration de résultat, plus rapide, mais moins générale, que celle qui se trouve dans les Hausdorff ce (1) sert de la caracterisation tel que cp 4. du théorème 1. articles cites. Soit k r (x) = un + UK entier 1, N. n e 1’ensemble des 2 . Appelons est C un est On en normal, il conclut que C. c V , Pour etablir que 0, Soit E y D’autre part, défini par r on (y) peut montrer que si n = rnk(x) , ~ N. k ~ 2 , donc nous aurons A~ > A~ > , a , pour dimension de Hausdorff Nous admettons [4], done que Le raisonnement est vrai pour tout LEMME 1. - Soient -2014 . 1 est de même du nombre en tels que ensemble de Cantor a dissection constante K at dont la dimension de Hausdorff est x (0 , l) x ~ une besoin lemmes. suite infinie denombrable d’ ensembles L’ensemble U Av 0 . 4e quatre a ay ant pour dimension de Hausdorff 0. ’ lemme facile a démontrer. ce 1’ensemble des x E (0, 1) tels qu’il existe un polyn8me reel de de- verifiant Il est evident que D’après Ie lemme 1, Ie théorème 2 sera done LEMME2. - La dimension de Hausdorff de Soit n= x e 1, 2 , Comme 03C6 E .11 .... existe done un consequence E~ du lemme suivanto est nulle pour polynôme 03C6 tel que (x) r chaque v = ~N . exp Soit done n’ intervient que par (mod 2), peut sans perte de generalite supposer que le point a = (a~ , a , s o , , a ) appartient a 1’espace (0 , 2(~ . Soit le nombre de regions de 1’ es p ace [0 , 2[03BD+1 qui ont la propriété suivante : Quand a parcourt l’ une quelconque de ces regions, la suite on reste invariante. Avant d’établir le lemme 2, nous devons encore démontrer deux lemnes. La ={x jI r(x) (O~h~ l) h-dimensionnelle me sure n =exp de 1’ensemble =1 . 2 ,..., p ; 03C6 polynôme, degré de 03C6 03BD} l’inégalité vérifie parcourt 1’ ensemble des polyn8mes de degré , Ie point a décrit l’espace ( p9 2[03BD+1 On plus de I~v (p) intervalles, la longueur de cha- Démonstration. - En effet, quand cp ( 0 2( v , a coefficients dans voit ainsi que Ev est compose p au 0 , , cun d’ eux étant - . zp De l’égalité Ev C. Q. Fd De fl p=1 = Ev p~ déduit que Za dimension de Hausdorff de on peut dépasser le nombre Le leimne 2 sera consequence alors , -- ne , l’égalité 03B4 = 0 , laquelle de Ev decoule du lemme suivanto LEMME 40 - Quand croit p Démonstration. - Soit fixe n , et soit inégalité indéfiniment, qL un entier tel que Ie sous-ensemble de 03C1n,qn (a.. y 11 est clair que [(p(n)] = + at ql ’ q2 , ... , Quand parcovrt qp a n03BD] 03B11 , 0 qn 2(1 [0 , 2( ... , 03B103BD) +n+ ... +n ) . On defini par la double la parcourt quantité change pas et reste égal a q! . Soit alors suite d’entiers, chacun vérifiant la double inégalité n + ...o une on a + ne p a (ensemble suppose n p non vide), la suite n=l reste invariante. Or le nombre maxiIm.lm de regions que 1 on I~I peut (p) regions est majore par Ie nombre decoupant l’ espace euclidien R par de telles obtenir en hyperplans les Levr nombre est lui-même 11 est par ailleurs M par 5. majore connu Par hyperplans. [8] par que est l’espace partagé regions en suite, C ons4 uence s o De la demonstration des lemmes 3 et ble d’unicite EV ture pose { t - t valle C 0 9 1) est H de alors, - n’est pas [t] ). o lui riance de la suite Ev d’unicité trer que cela qui existe au sens 1 , 2 , = implique que x .. o , x -~ effet, n’ est pas suite, E03BD la ferme- {2x} (on est un ensem- strict. L’ ensemble o e PJATECKIJ-0160APIRO E 4, et on V . peut remarquer que l’ inva- entraine que, si equirepartie n’ est pas normal :i V que l’ ensemble Cette remarque contribue a eta- [9]o {2x} x ~ ensem- strict. des lemmes 3 et par la transformation n au sens au sens strict est sous-ensemble propre de l’ inter- un entre les ensembles consequence autre x.2n , est d’unicité donc ensemble ensemble d’unicité ensemble comme EV part, En par la transformation il decoule des résultats de blir la difference Enfin, [4], aus si, c8te, un D’autre trigonometriques. le montrent les lemmes 3 et 4. Par comme Rajchman D’un autre comme E Vest invariante de 1’ensemble a ble strict pour les series au sens E il s’ ensuit que I’ ensemble 4., on x E (mod l) . Ev , On alors peut mon- retrouve ainsi le théorème 1 corollaire des lemmes 3 et 4. G BIBLIOGRAPHIE [1] BASS Sc. (Jean). Paris, t. pseudo-aléatoires 247, 1958, p. 1163-1165. Fonctions et fonction de Wiener, C. R. Acad. 2-06 [2] BEYER (William A.). - series, Hausdorff dimension of level sets of Pacific J. of Math., t. 12, 1962, p. some Rademacher 35-46. [3] ERDÖS [4] parfaits et series trigonométriques. ind., 1301). KAHANE (J.-P.) and SALEM (R.). - Distribution modulo 1 and sets of uniqueness, Bull. Amer. math. Soc., t. 70, 1964, p. 259-261. MENDÈS FRANCE (Michel). - Nombres normaux et fonctions pseudo-aléatoires, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 13, 1963, p. 91-104. MENDÈS FRANCE (Michel). - A set of non-normal numbers, Pacific J. of Math. t. 15, 1965, p. 1165-1170. 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