Un ensemble de nombres non normaux

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M ICHEL M ENDÈS F RANCE
Un ensemble de nombres non normaux
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 18, no 1 (1964-1965), exp. no 2,
p. 1-6
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2-01
Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
18e
annee, 1964/65,
16 novembre 1964
n° 2
UN ENSEMBLE DE NOMBRES NON NORMAUX
par Michel
MENDÈS
FRANCE
Definitions.
1.
Soit
Il lui
(0 , 1)
x E
alors
correspond
Soit
A.
sitif
un
developpement
2 ) si,
la base
A~e {(0) , (1)}~ ,
(l)}
{(0) ,
designe
Ak)
e~(x) ~
e (x) ~
la suite
(dans
un
p ,
pour tout
k
binaire
(k
Le nombre
x
2. L’ensemble
E
designe
il existe
presente
la
[6]
non
négatifs).
l) .
Soit
un
entier po-
qu’apparait
1
la suite
A-
est dit normal
Le
e (x) . et
p
pour toute suite
ks 9
r
n
(x)
=
si,
pour toute suite finie d’entiers
1 - 2~
n
(x) ,
on
obtient la
carac-
o
si,
et seulement
on a
E .
o
1’ensemble des nombres
un
entier
entier
entiers
unique
°
... ~
b
on a
est normal
Qoo
.a ,
Ie nombre de fois
En introduisant la suite de Rademacher
terisation suivante
a/2
nombre different de
element de
N(x ,
k .
un
polyn8me reel (p
partie entière du
x E
tel que
(0 , 1) qui ont la propriété suivante :
r
(x) = exp i03C0[03C6(n)] , n e N , ( [t] re-
nombre reel
t ).
Nous
nous
proposons d’etablir le
théorème suivanto
THEOREME 1. - L’ ensemble
I1 s’ensuit que
"presque
tous"
E
est de
E
ne
contient
mesure
(la signification
aucu.n
nulle. On
de ceci est
nombre normal
peut
0
se
demander si
precisee ci-dessous)
E
contient .
les nombres
non
normaux.
On
a la
repond
question
termes de dimension de Hausdorff
en
E
~. - La dimension de Hausdorff de l’ ensemble
des nombres
V
celle de l’ensemble
La demonstration du théorème 2
COROLLAIRE. - L’ensemble
series
E
non normaux
nous
est
un
I
V
alors que
le corollaire suivanto
d’unicité (au
ensemble
0,
o
permettra d’enoncer
alors que 1’ensemble
trigonometriques
est
est
°
sens
est ensemble de
strict) pour
multiplicite.
Remarque. - Il se peut que l’ ensemble V soit un ensemble d’unicité
large 3 le problème reste ouvert Il a été aborde par PJATECKIJ-0160APIRO
part, et par KAHANE et SALEM [5] d’ autre part
0
les
au sens
[9]
d’une
°
3.
Esquisse
On
se
de la
demonstration
Soit v
le
degre de ~ .
On montre ensuite que
Or
CVv (p(n
+
03BD) - C)03BD-103BD 03C6(n
v
On
en
montre alors que
x
dante de
°
Soit
x E
E . I1 existe donc
un
polyn8me
n .
L
On forme la
a une
quantite
valeur voisine de
1)
+ (( 1 ) v 03C6(n) est une
q
quantité
indépenp
conclut que|L’| = 1 , puis que L ~ 0 . La caractérisation (1)
n’ est pas normal (detail de la demonstration dans [7J).
03C6(n + 03BD -1
+ v -
+
o
..
est
une
Demonstration du théorème 20
Il est
connu
que l’ensemble
V
des nombres
non normaux
est de dimension de
egale à 1 ([2J ou [3J). Toutefois on donne ici une demonstration de
résultat, plus rapide, mais moins générale, que celle qui se trouve dans les
Hausdorff
ce
(1)
sert de la caracterisation
tel que
cp
4.
du théorème 1.
articles cites.
Soit
k
r (x)
=
un
+
UK
entier
1,
N.
n e
1’ensemble des
2 . Appelons
est
C
un
est
On
en
normal,
il
conclut que
C.
c
V ,
Pour etablir que
0,
Soit
E
y
D’autre
part,
défini par
r
on
(y)
peut
montrer que si
n
= rnk(x) ,
~ N.
k ~ 2 , donc
nous aurons
A~ > A~ > , a ,
pour dimension de Hausdorff
Nous admettons
[4],
done que
Le raisonnement est vrai pour tout
LEMME 1. - Soient
-2014 .
1
est de même du nombre
en
tels que
ensemble de Cantor a dissection constante
K
at dont la dimension de Hausdorff est
x
(0 , l)
x ~
une
besoin
lemmes.
suite infinie denombrable d’ ensembles
L’ensemble U Av
0 .
4e quatre
a
ay ant
pour dimension de Hausdorff
0.
’
lemme facile a démontrer.
ce
1’ensemble des
x E
(0, 1)
tels
qu’il
existe
un
polyn8me reel
de de-
verifiant
Il est evident que
D’après
Ie lemme
1, Ie théorème
2
sera
done
LEMME2. - La dimension de Hausdorff de
Soit
n=
x e
1, 2 ,
Comme 03C6
E .11
....
existe done
un
consequence
E~
du lemme suivanto
est nulle pour
polynôme 03C6
tel que
(x)
r
chaque v
=
~N .
exp
Soit done
n’ intervient que par
(mod 2),
peut sans perte de generalite
supposer que le point a = (a~ ,
a , s o , , a ) appartient a 1’espace (0 , 2(~ .
Soit
le nombre de regions de 1’ es p ace [0 , 2[03BD+1 qui ont la propriété
suivante : Quand a parcourt l’ une quelconque de ces regions, la suite
on
reste invariante.
Avant d’établir le lemme
2,
nous
devons
encore
démontrer deux lemnes.
La
={x jI r(x)
(O~h~ l)
h-dimensionnelle
me sure
n
=exp
de 1’ensemble
=1 . 2 ,..., p ; 03C6 polynôme, degré de 03C6 03BD}
l’inégalité
vérifie
parcourt 1’ ensemble des polyn8mes de degré
, Ie point a décrit l’espace ( p9 2[03BD+1 On
plus de I~v (p) intervalles, la longueur de cha-
Démonstration. - En effet, quand cp
( 0 2(
v , a coefficients dans
voit ainsi que Ev est compose
p
au
0
,
,
cun
d’ eux étant - .
zp
De
l’égalité Ev
C. Q. Fd De
fl
p=1
=
Ev
p~
déduit que Za dimension de Hausdorff de
on
peut dépasser le nombre
Le leimne 2
sera
consequence
alors
,
--
ne
,
l’égalité 03B4 = 0 , laquelle
de
Ev
decoule du lemme
suivanto
LEMME 40 - Quand
croit
p
Démonstration. - Soit
fixe
n , et soit
inégalité
indéfiniment,
qL un entier tel que
Ie sous-ensemble de
03C1n,qn
(a.. y
11 est clair que
[(p(n)]
=
+
at
ql ’ q2 ,
... ,
Quand
parcovrt
qp
a n03BD]
03B11 ,
0 qn 2(1
[0 , 2(
... , 03B103BD)
+n+ ...
+n ) .
On
defini par la double
la
parcourt
quantité
change pas et reste égal a q! . Soit alors
suite d’entiers, chacun vérifiant la double inégalité
n + ...o
une
on a
+
ne
p
a
(ensemble suppose
n p
non
vide),
la suite
n=l
reste invariante. Or le nombre
maxiIm.lm de
regions
que 1 on
I~I
peut
(p)
regions est majore par Ie nombre
decoupant l’ espace euclidien R par
de telles
obtenir
en
hyperplans
les
Levr nombre est lui-même
11 est par ailleurs
M
par
5.
majore
connu
Par
hyperplans.
[8]
par
que
est
l’espace
partagé
regions
en
suite,
C ons4 uence s
o
De la demonstration des lemmes 3 et
ble d’unicite
EV
ture
pose { t - t
valle C 0 9 1)
est
H
de
alors,
-
n’est pas
[t] ).
o
lui
riance de
la suite
Ev
d’unicité
trer que cela
qui existe
au sens
1 , 2 ,
=
implique
que
x
.. o ,
x -~
effet,
n’ est pas
suite, E03BD
la ferme-
{2x} (on
est
un ensem-
strict. L’ ensemble
o
e
PJATECKIJ-0160APIRO
E
4,
et
on
V .
peut remarquer que l’ inva-
entraine que, si
equirepartie
n’ est pas normal :i
V
que l’ ensemble
Cette remarque contribue a eta-
[9]o
{2x}
x ~
ensem-
strict.
des lemmes 3 et
par la transformation
n
au sens
au sens
strict
est
sous-ensemble propre de l’ inter-
un
entre les ensembles
consequence
autre
x.2n ,
est
d’unicité
donc ensemble
ensemble d’unicité
ensemble
comme
EV
part,
En
par la transformation
il decoule des résultats de
blir la difference
Enfin,
[4],
aus si,
c8te,
un
D’autre
trigonometriques.
le montrent les lemmes 3 et 4. Par
comme
Rajchman
D’un autre
comme
E Vest invariante
de 1’ensemble
a
ble
strict pour les series
au sens
E
il s’ ensuit que I’ ensemble
4.,
on
x
E
(mod l) .
Ev ,
On
alors
peut
mon-
retrouve ainsi le théorème 1
corollaire des lemmes 3 et 4.
G
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