Lycée Victor Hugo MP-MP*-PC-PC*-PSI 2016-2017
3. Ecrire une fonction DFT qui renvoie la DFT d’une liste (ou d’un tableau) passée en ar-
gument. On utilisera la méthode au choix parmi les trois proposées précédemment. On
rappelle que le nombre πs’écrit pi et que le nombre complexe js’écrit 1j en Python.
4. Ecrire une fonction DFTinv qui renvoie la DFT inverse d’une liste (ou d’un tableau) passée
en argument.
5. Calculer TFDinv(TFD([0,1,2])) et commenter.
V Illustration : spectre d’un signal modulé de fréquence
Les stations radio émettent en France dans la bande FM entre 87 et 108 MHz. Pour chaque
antenne émettrice, une station diffuse son programme autour d’une fréquence précise, appelée
"la porteuse", allouée par les pouvoirs publics (par exemple, on écoute à Dijon France Info sur
101,2 MHz). FM signifie modulation de fréquence : on injecte le signal s(t)à transmettre en
faisant varier légérement la fréquence de l’onde émise autour de la fréquence porteuse fp. Plus
précisément, la fréquence instantanée du signal émis est de la forme f(t) = fp+Ks(t)où K
désigne un facteur de proportionnalité.
On traite le cas simple d’un signal à transmettre sinusoïdal de fréquence fmet d’amplitude
égale à l’unité. Le signal émis par l’antenne s’écrit alors sF M (t) = cos(2πfpt+bsin(2πfmt)), où
bdésigne l’indice de modulation. On choisit les valeurs numériques suivantes :
– fréquence de la porteuse : 50 Hz.
– fréquence du signal modulant à transmettre : 5 Hz.
– indice de modulation b= 3.
– durée totale d’émission : 1 s (début d’émission à t = 0).
– nombre d’échantillons N= 512.
1. Avec la fonction linspace, créer le tableau tdu temps.
2. Créer ensuite le tableau s_fm des différentes valeurs du signal émis sF M (t).
3. Tracer la courbe sF M (t)sur une figure nommée "signal FM".
On montre que le spectre de sF M (t)est constitué de pics dont les fréquences valent fp+nfm,
où nest un entier relatif. La règle de Carlson montre que la quasi-totalité (environ 98%)
de la puissance du signal émis se trouve dans les pics dont la fréquence se situe dans
l’intervalle centré sur fpde largeur 2(1 + b)fm.
4. Vérifier qualitativement la régle de Carlson en traçant la densité spectrale en puissance du
signal sF M (t), définie comme la norme au carré de sa transformée de Fourier. Pour cela,
on pourra :
– convertir la TFD de s_fm en tableau.
– calculer la densité spectrale en puissance avec np.abs.
– extraire le sous-tableau de la densité spectrale de 0 à 100 Hz, sachant que la TFD de
s_fm est calculée pour des fréquences de 0 à l’inverse du pas de temps de s_fm, avec un
pas de fréquence égal à l’inverse de la durée d’émission.
– créer le tableau des abscisses des fréquences de 0 à 100 Hz ayant le même nombre
d’éléments du sous-tableau.
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