Fiche méthodologique Fonctions usuelles BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain \ $ CC BY: = On liste ici les fonctions à connaître et leur propriétés. Fonction puissance n-ième et racine n-ième ⋆ R → R , pour n ∈ N∗ : x 7−→ xn réalisent une bijection de R+ dans R+ si n pair, réalisent une bijection de R dans R si n impair, En +∞ : divergent vers +∞ d’autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que si n > m et x est grand, xn est très grand devant xm (on note parfois cela : xn ≫ xm ). En 0 : – « s’écrasent » sur l’axe horizontal d’autant plus que n est grand, ce qui signifie que si n > m et x ≈ 0, xn est négligeable devant xm (on note parfois cela : xn ≪ xm ). – la dérivée en 0 est nulle (tangente horizontale), – un point d’inflexion en 0, si n est impair. Fonction puissance entière – – – – ( Les fonctions 3 2 1 0 −1 0 1 −1 −2 −3 Figure 1 – Les fonctions x 7→ x2 et x 7→ x5 Fonction puissance négative Les fonctions – sont strictement décroissante sur R+ . ( 1 R → R , pour n ∈ N∗ . x 7−→ x−n – En +∞ : on a lim x−n = 0, tendent vers 0 d’autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que +∞ si n > m et x grand, x−n est négligeable devant x−m (on note parfois cela : x1n ≪ x1m ). – En 0+ : on a lim x−n = +∞ d’autant plus vite que n est grand, ce qui signifie que si n > m 0+ et x ≈ 0, x−m est négligeable devant x−n (on note parfois cela : dépend de la parité de n), 1 xm ≪ 1 xn ). (en 0− le signe 6 5 4 3 2 1 0 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 0 1 2 3 4 5 6 −2 −3 −4 −5 −6 Figure 2 – Les fonctions x 7→ 1 x et x 7→ 1 x2 Fonction racines cas pair Si n est pair, la fonction x 7→ xn est continue et croissante de R+ dans R+ . On peut donc définir une fonction réciproque : √ n ·: ( R+ → R+ √ x 7→ n x. Cette fonction est croissante et continue. Elle est définie par : ∀x ∈ R+ , ∀y ∈ R+ , xn = y ⇔ x = √ n y. cas impair Si n est impair, la fonction x 7→ xn est continue et croissante de R dans R. On peut donc définir une fonction réciproque, cette fois-ci définie sur R : √ n ·: ( R → R √ x 7→ n x. Cette fonction est croissante et continue. Elle est définie par : ∀x ∈ R+ , ∀y ∈ R+ , xn = y ⇔ x = √ n y. Note: Attention avec la fonction puissance : la notation xa est réservée au cas où x > 0 et désigne dans ce cas exp(a ln(x)). 2 En effet, si x ∈ R et si n est entier, on peut toujours définir xn par x | × x ×{zx · · · × x}. Ainsi, la fonction n fois x 7→ xn est bien définie pour x ∈ R et n ∈ N en n’utilisant que le produit. m On a alors les relations xn+m = xn × xm et (xn ) = xnm . En passant par l’inverse, on peut définir si (x 6= 0) et n ∈ N, x−n = x1n . Ainsi, la fonction x 7→ xk est bien définie pour x ∈ R∗ et k ∈ Z en n’utilisant que le produit et le passage à l’inverse. m Les relations xn+m = xn × xm et (xn ) = xnm restent alors vraies. p 1 La situation se complique si on veut définir x q pour p ∈ Z, q ∈ N et x < 0 : déjà −1 2 n’est pas défini i 21 h puisqu’il n’existe pas de solution à l’équation x2 = −1. De plus, si on considère (−1)2 , on a d’un côté : h h i 12 i 12 p (−1)2 = (−1)2 et de l’autre (−1)2 = (−1)1 = −1. 1 p On se restreint donc à x > 0, et on définit x q pour p ∈ Z, q ∈ N : comme (xp ) q , c’est-à-dire comme la solution de l’équation en y q = xp d’inconnuey (cette a toujours p équation 1 une solution unique). p 1 1 p q = x q . En effet, x q est la solution de l’équation y q = x Notons que l’on a la relation : (x ) = x q " #q # " 1 p 1 pq 1 q p (d’inconnue y), et on a donc : xq xq = xq = = xp . p Ainsi, x q est parfaitement défini si x > 0, p ∈ Z et q ∈ N, par la composée de fonction puissance et de réciproque de fonction puissance.√ Par contre, si on considère x 2 ou xπ , on ne peut plus√écrire cela en utilisant des fonctions puissances et √ leur réciproque. On est donc amené à définir x 2 comme e 2 ln(x) . On retiendra : ne pas écrire xa sans être assuré que x > 0, dans ce cas la notation xa désigne ea ln(x) . Note: Pour une suite de la forme (un )vn il faut aussi systématiquement revenir à la forme exponentielle pour calculer la limite. Les propriétés de ces fonctions sont : √ – en 0 : elles vérifient n 0 = 0, avec de plus tangente verticale en 0, plus n est grand, plus les fonctions sont verticales, √ – en +∞ : elles vérifient lim+∞ n x = +∞, d’autant plus vite que n est petit. Ce qui signifie que √ √ √ √ si n > m, n x est négligeable devant m x (on note parfois cela : n x ≪ m x). √ – en 1, on a n 1 = 1 et elles sont d’autant plus plates que n est grand. 3 2 1 0 0 1 2 Figure 3 – Les fonctions x 7→ 3 3 √ √ x et x 7→ 3 x ⋆ Fonctions trigonométriques Définition 1. On dit qu’une fonction f : D → R est T périodique si " # ∀x ∈ R, x ∈ D ⇐⇒ x + T ∈ D et f (x + T ) = f (x). Autrement dit son ensemble de définition est invariant par translation de vecteur T et sa courbe représentative aussi. Dans ce cas on a par récurrence immédiate ∀n ∈ Z, f (x + nT ) = f (x). Fonction sinus La fonction sinus est – définie sur R, 2π périodique et impaire, – sa dérivée vaut : sin′ (x) = cos(x). – La tangente en 0 a pour coefficient directeur 1. Ce qui signifie que : lim x→0 sin(x) = 1. x – La fonction est en-dessous de sa tangente pour x > 0 donc ∀x > 0, sin(x) < x. – Tangente horizontale aux points tels que π2 π . Fonction cosinus La fonction cosinus est – définie sur R, 2π périodique et paire, – sa dérivée vaut : cos′ (x) = − sin(x). – La tangente en 0 est horizontale. – On a : cos(x) − 1 1 =− 2 x→0 x 2 lim 1 0 −1 Figure 4 – Fonctions cosinus et sinus 4 Fonction tangente La fonction tangente est définie sur R\ par π + kπ |k ∈ Z 2 [ π = k∈Z π − + kπ, + kπ , 2 2 sin x . cos x Elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition avec : ∀x, tel que cos(x) 6= 0, tan x = 1 . cos2 (x) tan′ (x) = 1 + tan2 (x) = En 0, la tangente est y = x : tan x =1 x et la fonction est au dessus de sa tangente : ∀x > 0, tan(x) > x. Enfin, la fonction est impaire. lim x→0 6 5 4 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 Figure 5 – Fonction tangente Valeurs à connaître x 0 π 6 sin x 0 cos x 1 1 2 √ 3 2 √ 3 3 tan x ⋆ 0 π 4 √ 2 2 √ 2 2 1 π 3 √ 3 2 1 1 2 0 √ π 2 3 +∞ Fonctions trigonométriques réciproques Fonction arcsinus Notons s la restriction de la fonction sin à l’intervalle − π2 , π2 . Sur cet intervalle, la fonction s est croisante strictement et continue à valeur dans [−1, 1]. Donc on peut définir sa fonction 5 réciproque : arcsin : ( [−1, 1] → − π2 , π2 x 7→ arcsin(x) c’est une fonction continue et strictement croissante. Elle est définie par : π π ∀x ∈ − , , ∀y ∈ [−1, 1], sin(x) = y ⇐⇒ x = arcsin(y) 2 2 On a donc : π π , arcsin(sin(x)) = x ∀x ∈ − , 2 2 et ∀y ∈ [−1, 1], sin(arcsin(y) = y. Attention : la première relation a un sens si x ∈ / − π2 , π2 , mais elle n’est pas vraie alors : par exemple, arcsin(sin(3π))) = arcsin(0) = 0 6= 3π. Proposition 1. La fonction arcsin est impaire. Démonstration. Soit y ∈ [−1, 1], et soit x = arcsin(y) ∈ − π2 , π2 . On a : sin(−x) = − sin(x) = −y. Comme −x ∈ − π2 , π2 , on peut composer par arcsinus pour obtenir : −x = arcsin(−y). Note: La même démonstration montre que si f est impaire, f −1 est impaire. Tableau de valeurs : Application 1 y 0 1 2 arcsin(y) 0 π 6 √ √ 3 2 1 π 4 π 3 π 2 2 2 Soit x ∈ R, exprimer arcsin(sin(x)) en fonction de x. Proposition 2. La fonction arcsinus est dérivable sur ] − 1, 1[ et ∀x ∈] − 1, 1[, arcsin′ (x) = √ En particulier, on a ∀x ∈] − 1, 1[, arcsin(x) = Z x 0 1 . 1 − x2 du √ . 1 − u2 Démonstration. Voir la dérivation des bijections réciproques. Fonction arccosinus On note c la restriction de la fonction cosinus à [0, π]. Sur cet intervalle, la fonction c est décroissante de [0, π], dans [−1, 1]. On peut donc définir la bijection réciproque : arccos : ( [−1, 1] → [0, π] x 7→ arccos(x) c’est une fonction continue et strictement décroissante. 6 1 0 −1 0 1 −1 Figure 6 – Fonction sin et arcsin Elle est définie par : ∀x ∈ [0, π] , ∀y ∈ [−1, 1], cos(x) = y ⇐⇒ x = arccos(y) On a donc : ∀x ∈ [0, π] , arccos(cos(x)) = x et ∀y ∈ [−1, 1], cos(arccos(y) = y. Cette fois encore, la première relation est fausse dès que l’on sort de l’intervalle [0, π]. Tableau de valeurs : y arccos(y) Application 2 Application 3 −1 − π √ 3 2 5π 6 − √ 2 2 3π 4 − 12 0 1 2 2π 3 π 2 π 3 √ 2 2 √ 3 2 1 π 4 π 6 0 Soit x ∈ R, donner l’expression de arccos(cos(x)) Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], arccos(x) + arcsin(x) = π2 . Proposition 3. La fonction arccosinus est dérivable sur ] − 1, 1[ et ∀x ∈] − 1, 1[, 1 arccos′ (x) = − √ . 1 − x2 7 En particulier, on a ∀x ∈] − 1, 1[, arccos(x) = π − 2 Z x 0 √ du . 1 − u2 Note: La fonction arccos n’est ni paire ni impaire. 3 2 1 0 −1 0 1 2 3 −1 Figure 7 – Fonction cos et arccos Fonction arctangente Soit t la restriction de la fonction tangente à − π2 , π2 , sur cet intervalle t est strictement croissante et continue, à valeur dans R. On peut donc définir sa bijection réciproque : arctan : ( R → − π2 , π2 x 7→ arctan(x) c’est une fonction continue et strictement croissante. Elle est définie par : π π , ∀y ∈ R, tan(x) = y ⇔ x = arctan(y) ∀x ∈ − , 2 2 On a donc : π π ∀x ∈ − , , arctan(tan(x)) = x 2 2 et ∀y ∈ R, tan(arctan(y) = y. Proposition 4. La fonction arctan est impaire. 8 Tableau de valeurs : y arctan(y) 0 0 √ 3 3 π 6 1 √ π 4 π 3 3 +∞ −∞ π −π Proposition 5. La fonction arctangente est dérivale sur R, avec : arctan′ (x) = ∀x ∈ R, Application 4 x2 1 . +1 Prouver que ∀x > 0, arctan(x) + arctan 1 x = π . 2 3 4 5 Que se passe t’il pour x < 0 ? 6 5 4 3 2 1 0 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 −1 1 2 6 7 8 9 10 −2 −3 −4 −5 −6 Figure 8 – Fonction tangente et arctangente ⋆ Logarithme et exponentiel Logarithme Définition 2. Le logarithme népérien est l’unique primitive de la fonction x 7→ ]0, +∞[, qui s’annule en 1. C’est donc l’application ln : ]0, +∞[→ R définie par ∀x > 0, ln(x) := Z 1 9 x dt . t 1 x sur l’intervalle Le logarithme népérien est donc une application continue, strictement croissante et indéfiniment dérivable sur l’intervalle ]0, +∞[. En particulier, on a 1 . x Proposition 6. Le logarithme d’un produit est la somme des logarithme. ln′ (x) := ∀x > 0, ∀x > 0, ∀y > 0, ln(xy) = ln(x) + ln(y). (1) Démonstration. Soit x > 0, la fonction y > 0 7→ ln(xy) − ln(y) admet pour dérivée cette fonction est constante et égale à f (1) = ln(x). x xy − y1 = 0. Donc Note: Cette propriété est fondamentale : dans une expression avec un ln, il faut toujours se demander si on peut l’utiliser. Attention à bien vérifier que x et y sont strictement positifs. Remarque: Il faut que Comme ln(1) = 0, le logarithme de l’inverse est l’opposé du logarithme. ∀x > 0, ln 1 x = − ln(x). Plus généralement, le logarithme d’un quotient est la différence des logarithmes. ∀x > 0, ∀y > 0, ln x y = ln(x) − ln(y). et la logarithme d’une puissance est ∀x > 0, ∀n ∈ Z, ln(xn ) = n ln(x). Le logarithme népérien n’est pas la seule application vérifiant la propriété 1. En effet, elle est vérifiée par les logarithmes définis pour d’autres bases de la façon suivante : Définition 3. Le logarithme en base a > 1 est l’application loga :]0, +∞[→ R définie par ∀x > 0, loga (x) := ln(x) . ln(a) Le logarithme en base 10 sera simplement noté log ou Log au lieu de log10 . Proposition 7. limx→0+ ln(x) = −∞ et limx→+∞ ln(x) = +∞. La fonction ln est donc bijective de R+∗ dans R et de même pour a > 1, le logarithme loga :]0, +∞[→ R est une application bijective et strictement croissante. La fonction ln est en-dessous de sa tangente en 1 : Proposition 8. On a : ∀x > 0, x − x2 2 < ln(1 + x) < x. Démonstration. En effet les fonctions φ : x 7→ ln(1 + x) − x, et ψ(x) : x 7→ ln(1 + x) − x + x2 2 sont dérivables, avec φ′ (x) = −x 1 x2 1 −1= < 0, et ψ ′ (x) = −1+x= > 0. 1+x 1+x 1+x 1+x On a donc φ strictement décroissante φ(0) = 0, tandis que ψ est strictement croissante avec ψ(0) = 0, donc ∀x > 0, φ(x) > 0, et ψ(x) < 0. 10 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 −1 −2 −3 −4 −5 Figure 9 – Fonction x 7→ ln(x) Exponentielle réelle Définition 4. L’exponentielle exp : R →]0, +∞[ est la bijection réciproque du logarithme népérien ln :]0, +∞[→ R. Pour simplifier, on introduit le nombre e défini par e := exp(1), e est donc l’unique solution de ln(x) = 1. On a la valeur numérique e = 2.718281828, puis on introduit la notation : ∀x ∈ R, ex := exp(x). Cette notation est justifié car on a ∀x ∈ R, ln(ex ) = x. L’exponentielle est strictement croissante. De plus, limx→−∞ ex = 0 et limx→+∞ ex = +∞. Proposition 9. L’exponentielle d’une somme est le produit des exponentielles. ∀(x, y) ∈ R2 , ex+y = ex × ey . (2) En, conséquence : 1 = e−x . ex Et plus généralement, l’exponentielle d’une différence est le quotient des exponentielles. ∀x ∈ R, ∀(x, y) ∈ R2 , ex−y = ex . ey Démonstration. ex+y est l’unique solution de ln(ex+y ) = x + y, or on voit que ex ey est une solution de cette équation. 11 Proposition 10. L’exponentielle réelle est une application continue et indéfiniment dérivable sur R. De plus, on a ∀x ∈ R, exp′ (x) = exp(x). Si f : I → C est dérivable en a ∈ I , alors la fonction g : x 7→ ef (x) est dérivable en a et on a d f (x) (e )(a) = g′ (a) = f ′ (a)ef (a) . dx La fonction exponentielle est au-dessus de sa tangente : Proposition 11. On a : ∀x 6= 0, 1 + x < ex . Démonstration. On pose φ(x) = ex − 1 − x, alors φ′ (x) = ex − 1 > 0 pour x > 0 et φ′ (x) < 0 pour x < 0, donc ∀x 6= 0φ(x) > φ(0) = 0. Croissance comparée logarithme/exponentielle/puissances Proposition 12. Pour α > 0, on a ln(x) = 0, x→+∞ xα lim ex = +∞ x→+∞ xα lim xα ln(x) = 0, lim xα ex = 0. lim x→0+ x→−∞ 5 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 Figure 10 – Fonction exponentielle Exponentiel complexe Définition 5. Si z ∈ C, avec z = a + ib, on appelle exponentielle du nombre complexe z, le nombre complexe ea eib noté ez . Cette définition permet donc de prolonger l’exponentielle au nombres ′ ′ complexes, en gardant la propriété ez+z = ez ez . Attention, si a ∈ C, ea = ea+2πi , on ne peut donc pas définir le logarithme d’un nombre complexe non nul en posant ln(ρeiθ ) = ln(ρ) + iθ, parce que θ est défini à 2π près. 12