Fiche méthodologique Fonctions usuelles

Fiche méthodologique Fonctions usuelles
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
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On liste ici les fonctions à connaître et leur propriétés.
⋆Fonction puissance n-ième et racine n-ième
Fonction puissance entière Les fonctions (R→R
x7−→ xn, pour n∈N∗:
– réalisent une bijection de R+dans R+si npair,
– réalisent une bijection de Rdans Rsi nimpair,
– En +∞: divergent vers +∞d’autant plus vite que nest grand, ce qui signifie que si n>met
xest grand, xnest très grand devant xm(on note parfois cela : xn≫xm).
– En 0 :
– « s’écrasent » sur l’axe horizontal d’autant plus que nest grand, ce qui signifie que si n>m
et x≈0, xnest négligeable devant xm(on note parfois cela : xn≪xm).
– la dérivée en 0 est nulle (tangente horizontale),
– un point d’inflexion en 0, si nest impair.
0 1−1
0
1
2
3
−1
−2
−3
Figure 1 – Les fonctions x7→ x2et x7→ x5
Fonction puissance négative Les fonctions (R→R
x7−→ x−n, pour n∈N∗.
– sont strictement décroissante sur R+.
1

– En +∞: on a lim
+∞x−n= 0, tendent vers 0 d’autant plus vite que nest grand, ce qui signifie que
si n>met xgrand, x−nest négligeable devant x−m(on note parfois cela : 1
xn≪1 xm).
– En 0+: on a lim
0+x−n= +∞d’autant plus vite que nest grand, ce qui signifie que si n>m
et x≈0, x−mest négligeable devant x−n(on note parfois cela : 1
xm≪1 xn). (en 0−le signe
dépend de la parité de n),
0123456−1−2−3−4−5−6
0
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Figure 2 – Les fonctions x7→ 1
xet x7→ 1
x2
Fonction racines
cas pair Si nest pair, la fonction x7→ xnest continue et croissante de R+dans R+. On peut donc
définir une fonction réciproque :
n
√·:(R+→R+
x7→ n
√x.
Cette fonction est croissante et continue. Elle est définie par :
∀x∈R+,∀y∈R+, xn=y⇔x=n
√y.
cas impair Si nest impair, la fonction x7→ xnest continue et croissante de Rdans R. On peut donc
définir une fonction réciproque, cette fois-ci définie sur R:
n
√·:(R→R
x7→ n
√x.
Cette fonction est croissante et continue. Elle est définie par :
∀x∈R+,∀y∈R+, xn=y⇔x=n
√y.
Note: Attention avec la fonction puissance : la notation xaest réservée au cas où x > 0 et désigne dans
ce cas exp(aln(x)).
2

En effet, si x∈Ret si nest entier, on peut toujours définir xnpar x×x×x··· × x
|{z }
nfois
. Ainsi, la fonction
x7→ xnest bien définie pour x∈Ret n∈Nen n’utilisant que le produit.
On a alors les relations xn+m=xn×xmet (xn)m=xnm.
En passant par l’inverse, on peut définir si (x6= 0) et n∈N,x−n=1
xn. Ainsi, la fonction x7→ xkest bien
définie pour x∈R∗et k∈Zen n’utilisant que le produit et le passage à l’inverse.
Les relations xn+m=xn×xmet (xn)m=xnm restent alors vraies.
La situation se complique si on veut définir xp
qpour p∈Z,q∈Net x < 0 : déjà −11
2n’est pas défini
puisqu’il n’existe pas de solution à l’équation x2=−1. De plus, si on considère h(−1)2i1
2, on a d’un côté :
h(−1)2i1
2=p(−1)2et de l’autre h(−1)2i1 2= (−1)1=−1.
On se restreint donc à x > 0, et on définit xp
qpour p∈Z,q∈N: comme (xp)
1
q, c’est-à-dire comme la
solution de l’équation en yq=xpd’inconnue y(cette équation a toujours une solution unique).
Notons que l’on a la relation : (xp)
1
q=x1
qp
=xp
q. En effet, x1 qest la solution de l’équation yq=x
(d’inconnue y), et on a donc : "x1
qp#q
=x1
qpq
="x1
qq#p
=xp.
Ainsi, xp
qest parfaitement défini si x > 0, p∈Zet q∈N, par la composée de fonction puissance et de
réciproque de fonction puissance.
Par contre, si on considère x√2ou xπ, on ne peut plus écrire cela en utilisant des fonctions puissances et
leur réciproque. On est donc amené à définir x√2comme e√2 ln(x).
On retiendra : ne pas écrire xasans être assuré que x > 0, dans ce cas la notation xadésigne ealn(x).
Note: Pour une suite de la forme (un)vnil faut aussi systématiquement revenir à la forme exponentielle
pour calculer la limite.
Les propriétés de ces fonctions sont :
– en 0 : elles vérifient n
√0 = 0, avec de plus tangente verticale en 0, plus nest grand, plus les
fonctions sont verticales,
– en +∞: elles vérifient lim+∞
n
√x= +∞, d’autant plus vite que nest petit. Ce qui signifie que
si n>m,n
√xest négligeable devant m
√x(on note parfois cela : n √x≪m √x).
– en 1, on a n
√1 = 1 et elles sont d’autant plus plates que nest grand.
0 1 2 3
0
1
2
3
Figure 3 – Les fonctions x7→ √xet x7→ 3
√x
3

⋆Fonctions trigonométriques
Définition 1. On dit qu’une fonction f:D→Rest Tpériodique si
∀x∈R,"x∈D⇐⇒ x+T∈D#et f(x+T) = f(x).
Autrement dit son ensemble de définition est invariant par translation de vecteur Tet sa courbe
représentative aussi.
Dans ce cas on a par récurrence immédiate ∀n∈Z, f(x+nT ) = f(x).
Fonction sinus La fonction sinus est
– définie sur R, 2πpériodique et impaire,
– sa dérivée vaut : sin′(x) = cos(x).
– La tangente en 0 a pour coefficient directeur 1. Ce qui signifie que :
lim
x→0
sin(x)
x= 1.
– La fonction est en-dessous de sa tangente pour x > 0 donc ∀x > 0,sin(x)< x.
– Tangente horizontale aux points tels que π
2π.
Fonction cosinus La fonction cosinus est
– définie sur R, 2πpériodique et paire,
– sa dérivée vaut : cos′(x) = −sin(x).
– La tangente en 0 est horizontale.
– On a :
lim
x→0
cos(x)−1
x2=−1 2
0
1
−1
Figure 4 – Fonctions cosinus et sinus
4

Fonction tangente La fonction tangente est définie sur
R\π
2+kπ |k∈Z=[
k∈Z−π
2+kπ, π 2+kπ,
par
∀x, tel que cos(x)6= 0,tan x=sin x
cos x.
Elle est continue et dérivable sur son ensemble de définition avec :
tan′(x) = 1 + tan2(x) = 1
cos2(x).
En 0, la tangente est y=x:
lim
x→0
tan x
x= 1
et la fonction est au dessus de sa tangente : ∀x > 0,tan(x)> x. Enfin, la fonction est impaire.
0
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
Figure 5 – Fonction tangente
Valeurs à connaître
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sin x01
2
√2
2
√3
21
cos x1√3
2
√2
2
1
20
tan x0√3
31√3 +∞
⋆Fonctions trigonométriques réciproques
Fonction arcsinus Notons sla restriction de la fonction sin à l’intervalle −π
2,π 2. Sur cet intervalle,
la fonction sest croisante strictement et continue à valeur dans [−1,1]. Donc on peut définir sa fonction
5