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Alg`ebre lin´eaire et bilin´eaire
M2 - CAPES 2010-2011

Table des mati`eres
1 Matrices et applications lin´eaires 2
1.1 Propri´et´es ´el´ementaires et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Structures d’espace vectoriel et d’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Op´erationssurlesmatrices ................................... 5
1.4 Exemples remarquables (culture) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 D´eterminant 8
2.1 Permutations ........................................... 8
2.2 Applicationsmultilin´eaires.................................... 9
2.3 Led´eterminant .......................................... 10
3 Syst`emes lin´eaires 12
3.1 Propri´et´es............................................. 12
3.2 R´esolution d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 R´eduction 16
4.1 Valeurspropres.......................................... 16
4.2 Polynˆomes d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 Diagonalisation et trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Exemples d’utilisation de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Espaces euclidiens et hermitiens 20
5.1 Formes bilin´eaires et quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2 Espaceseuclidiens ........................................ 22
5.3 Espaceshermitiens........................................ 26
1

Chapitre 1
Matrices et applications lin´eaires
1.1 Propri´et´es ´el´ementaires et vocabulaire
D´efinition 1 Une matrice A`a nlignes et pcolonnes et `a coefficients dans un corps Kest la donn´ee de
n×pscalaires (c’est `a dire d’´el´ements de K) indic´es : (aij )16i6n,16j6p. En cas d’ambigu¨ıt´e, on s´epare
les indices par une virgule, par exemple ai,j+1. L’ensemble de ces matrices est not´e Mnp(K).
Quelques cas particuliers :
– les ´el´ements de Mn1sont dites matrices colonnes
– les ´el´ements de M1nsont dites matrices lignes
– les ´el´ements de Mnn, not´e simplement Mnsont dites matrices carr´ees
– une matrice Atelle que aij = 0 d`es que i>j(resp. i<j) est dite triangulaire sup´erieure (resp.
inf´erieure) – souvent cette notion s’applique aux matrices carr´ees mais pas exclusivement, cf. pivot
de Gauss).
– Une matrice carr´ee triangulaire sup´erieure et inf´erieure est dite diagonale ; notamment la matrice
identit´e de Mn, not´ee I, Id ou In.
Produit de matrices : si A= (aij )∈ Mnp, B = (bij )∈ Mpq, on d´efinit C=AB ∈ Mnq par
cij =Pp
k=1 aikbkj . Notation graphique et mn´emotechnique pour le produit : en ´ecrivant les matrices A, B
d´ecal´ees, la matrice Cposs`ede les bonnes dimensions et le terme cij se voit comme le produit scalaire de
la i-i`eme ligne de la matrice Apar la j-i`eme colonne de la matrice B.
q
z }| {
b1j
.
.
.
bpj
p
n
ai1· · · aip 
| {z }
p
cij 
2

Calcul par blocs. Si l’on d´ecompose les deux matrices M, N en sous-matrices alors le produit s’´ecrit
en comme si les sous-matrices ´etaient des scalaires :
A B
C D  A0B0 C0D0=AA0+BC0AB0+BD0 CA0+DC0CB0+DD0
en tenant compte des contraintes ´evidentes :
−les tailles des sous-matrices doivent se correspondre (par exemple A∈ Mn1p1, A0∈ Mp1q1) pour
que les produits soient d´efinis ;
−le produit entre matrices est non commutatif (AA06=A0Aen g´en´eral, `a supposer que cela ait mˆeme
un sens).
Il n’y a aucune autre contrainte, en particulier les matrices ne sont pas n´ecessairement carr´ees, ni d´ecoup´ees
en le mˆeme nombre de blocs (1). Voir aussi le calcul de d´eterminant par blocs (page 11). On dira aussi
qu’un matrice est triangulaire par blocs (inf´erieure ou sup´erieure) ainsi que diagonale par blocs.
1.2 Structures d’espace vectoriel et d’alg`ebre
Alg`ebre des matrices. L’ensemble des matrices de taille p×q,Mnp(K), poss`ede une structure
d’espace vectoriel pour les lois suivantes. Si A= (aij ), B = (bij )∈ Mnp(K) et λ∈Kalors λA +B=
(λaij +bij )∈ Mnp(K). Cet espace vectoriel est de dimension finie ´egale `a np, avec une base canonique
(Eij )1≤i≤n,1≤j≤p, la matrice nulle sauf en position ij o`u elle vaut 1. On peut noter que (Eij )ab =δiaδjb
(symbole de Kronecker), mais aussi que l’endomorphisme correspondant est d´efini par
eb7→ eisi b=j
0 sinon ou encore Eij X=Eij 
X1
.
.
.
Xp
=
Xj en i-`eme position.
La structure d’espace vectoriel correspond ´evidemment `a celle de L(Kp,Kn) (plus g´en´eralement `a L(E, F ),
voir plus bas).
Le produit matriciel est un produit bilin´eaire de Mnp × Mpq → Mnq .
Exercice 1 Dans le cas des matrices carr´ees, montrer que Eij Ek` =δjkEi`, par deux m´ethodes : les coefficients,
les vecteurs de base (e1,...,en).
Cas carr´e. Si n=p, le produit est donc une loi interne de Mn× Mndans Mn. Cela d´efinit
exactement une alg`ebre multiplicative (associative et unitaire mais a priori non commutative !) (2) (3).
Le groupe (multiplicatif) des inversibles est not´e GLn(K). On peut aussi d´efinir la puissance d’une matrice :
Ak=AAk−1avec la convention A0=Imatrice identit´e, et quand Aest inversible, A−1l’inverse de Aet
1Cette approche n’est pas seulement formelle mais correspond aux d´ecompositions des espaces vectoriels en somme
directe. Ainsi si f∈ L(E, F ), (e1,...,ep) est une base de Eet (f1,...,fn) de F,M= Mat fdans ces bases ; alors on
peut d´ecomposer E= Vect(e1,...,ep1)⊕Vect(ep1+1,...,ep) et F= Vect(f1,...,fn1)⊕Vect(fn1+1,...,fn). Le bloc
A= (aij )16i6n1,16j6p1est la matrice de π◦f|Vect(e1,...,ep1)o`u πest la projection de Fsur Vect(f1,...,fn1). ` A l’inverse
d`es que l’on a une d´ecomposition en somme directe, on a une d´ecomposition par bloc correspondante (mˆeme sans parler de
base). L’´ecriture matricielle n’est autre que la d´ecomposition en les blocs les plus petits possibles, les scalaires.
2†on pourrait aussi dire que que Mnest un anneau, mais cela occulterait la structure de multiplication externe par les
scalaires.
3dans les cas r´eel et complexe, on munit ais´ement Mnd’une structure d’alg`ebre norm´ee.
3

A−k= (A−1)k= (Ak)−1. De mˆeme pour les polynˆomes de matrices, en notant que Acommute avec ses
puissances.
Nilpotence : une matrice est nilpotente s’il existe un entier tel que Ar= 0 ; le plus petit rpossible est
appel´e l’ordre de nilpotence.
Exercice 2 Montrer que les seules matrices commutant avec toutes les autres (ce qu’on appelle le centre de GLn)
sont les matrices multiples de l’identit´e.
Correspondance entre matrices et applications lin´eaires, changement de base. Un choix de
base (par d´efinition il en existe toujours en dimension finie) revient `a identifier un espace vectoriel Ede
dimension p`a l’espace mod`ele Kp. Les applications lin´eaires de Kpdans Kns’identifient naturellement aux
matrices. On peut parler de la matrice d’une application lin´eaire u:E→F, (´evalu´ee) dans deux bases
(ej)1≤j≤pde Eet (fi)1≤i≤nde F, not´ee A= Mate,f u, c’est `a dire aij =f∗
i(u(ej)) (4). Concr`etement
la j-`eme colonne contient les composantes suivant la base (fi) du vecteur u(ej). Attention : pour un
endomorphisme fon choisit en g´en´eral la mˆeme base au d´epart et `a l’arriv´ee (mais ce choix n’a rien
d’obligatoire, voir ci-dessous les relations d’´equivalence et de similitude).
Le choix de deux bases engendre donc un isomorphisme (non canonique) Mnp(K)' L(E, F ). Pro-
pri´et´e fondamentale (bien qu’´evidente) : le produit matriciel correspond `a la composition des applications
lin´eaires. Autrement dit, c’est un isomorphisme d’alg`ebre.
Changement de base : soit f0une nouvelle base (de F) ; on appelle matrice de passage la matrice P=
Mat0
ff, en ´ecrivant les nouveaux vecteurs dans l’ancienne base. C’est aussi Matf,f0id pour l’application
lin´eaire identit´e. Les coordonn´ees dans Fchangent suivant la formule suivante
X=P X0
(voir le lien avec la r´eduction de Gauss, page 21).
Clairement Matf0f= (Matff0)−1et si l’on fait jusqu’`a deux changement de base, alors, si l’on note
A= Mate,f uet A0= Mate0,f0u, on a
A0= Mate0,f0u= Matf0fMate,f uMatee0=P−1AP.
Attention au contexte : tantˆot deux matrices diff´erentes correspondent au mˆeme endomorphisme dans des
bases diff´erentes, tantˆot ce sont deux objets diff´erents dans la (les) mˆeme(s) base(s).
Relations d’´equivalence et de similitude Pour compenser l’ambigu¨ıt´e du choix de la base qui fait
que la matrice associ´ee `a un endomorphisme n’est pas unique, on d´efinit sur Mnp une relation : Mest
´equivalente `a Nsi elles correspondent au mˆeme endomorphisme dans des bases diff´erentes, autrement il
existe Q∈GLn(K) et P∈GLp(K) tels que N=Q−1MP . C’est ´evidemment une relation d’´equivalence.
Th´eor`eme 1 Toute matrice M∈ Mnp(K)est ´equivalente `a une matrice Nnulle sauf pour les termes
nii,16i6r, qui valent 1 :
N∼
1
...
1
4rappel : f∗
i(v) est la i-`eme coordonn´ee de vdans la base (f1, ..., fn), l’application f∗ i:F→Kest une forme lin´eaire ;
attention elle d´epend de la base enti`ere et pas seulement du vecteur de base fi! Exercice : le prouver par un dessin.
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