Probabilités
Ch 5 Probabilités 1ère S
Table des matières
I.Probabilité d’un événement, Loi de probabilité [2nde]................................................2
!"#$
%&'(
II.Variable aléatoire [1ère]...............................................................................3
(
!(
)!*
1.Définitions................................................................................................................................................................................. 4
2.Mais ...on a déjà fait tout ça dans le cours de statistiques, non ? Pourquoi recommencer ?.....................................................4
3.Effet d'une transformation affine sur l'Espérance, la variance et l'écart type............................................................................5
III.Représentation d'une succession d'expériences par un arbre pondéré [2nde]..................5
Nous allons utiliser l’exercice suivant pour revoir les notions du programme de seconde et illustrer celles de
première. N'hésitez donc pas lors de la résolution à aller chercher les définitions et les informations qui
vous manquent dans le cours qui suit. La table des matières ci-dessus est là pour vous aider dans cette
recherche.
♠ Exercice 1 . Lancer de deux pièces.
Partie I [Révisions de 2nde]
+',!"$
!"%$#+-
1).
Ω
-
2) /!"$01/!"%$
01
3) 21
3#"$"%$
3#"$"%$!'
4) 4-+On pourra commencer par
représenter la situation par un arbre pondéré.
5) &!02!!'1
6)/!"$"%$1
7)/!"$"%$1
8)-,!"$56-07
Partie II [Notions de 1ère]
06+'#89664
-+-"%$00*9:"%$00
8900#X0465-7
9) /0461'1 Présenter les résultats sous forme de
tableau en mettant dans la première ligne les valeurs que peut prendre X et dans la seconde ligne les probabilités
correspondantes.
10)6261#!espérance 046
'6espérer00)+0
11)/!)0461
I. Probabilité d’un événement, Loi de probabilité [2nde]
A. Définitions : Univers, événements
! ! - ! !univers
-#Ω.
événement 2!
événement élémentaire
ωi
Exemple : Lors du lancé d'un dé à 6 faces,
•l'univers est
Ω={8:: (:*:;:< }
. C'est l'ensemble des issues possibles.
•l'événement A = « obtenir un résultat pair » est
A={:*:<}
. Ce n'est pas un événement
élémentaire car il comporte trois issues et non une.
•l'événement
ω;=« obtenir ;= »={;}
est un événement élémentaire car il comporte une seule issue.
B. Loi de probabilité
loi de probabilitéP Ω!4.'
ωi
pi
pi
4
[>:8 ]
8!4
'
∑pi=8
#'loi de probabilité
Les événements élémentaires
ωi
Leur probabilité
i
p
'.
')
C. Probabilité d’un événement
#Ω '
0?2
!!
'53-'7
P(A)=∑
xi∈A
pi
@'
>⩽P(A)⩽8
D. Probabilité du contraire d’un événement
''
̄
A
P(̄
A)=8−P(A)
Exemple : Lors du lancé d'un dé équilibré à 6 faces, si A est l'événement « obtenir un résultat pair » alors
son événement contraire est
̄
A
=« obtenir un résultat impair ».
E. Probabilité d'une réunion d’événements : «A OU B»
''
P(A∪B)=P(A)+P(B)− P(A∩B)
A
∪
Exemple : Lors du lancé d'un dé équilibré à 6 faces, si A est l'événement « obtenir un résultat pair » si B est
l'événement « obtenir un résultat (strictement) inférieur à 3 » alors
A∪B
est l'événement « obtenir un résultat pair OU inférieur à 3 »,
A∩B
est l'événement «obtenir un résultat pair ET inférieur à 3 »={2},
P(A∩B)=P()= 8
<
. Avec la
formule
P(A∪B)=P(A)+P(B)− P(A∩B)
, on a
P(A∪B)=8
+
<−8
<=8
+8
<=*
<=
(
Vérification par un calcul direct:
A∪B={8;;*;<}
d'où
P(A∪B)=*
<=
(
F. Situation d’équiprobabilité
& B '
équiprobables'équirépartie.
'
possiblescasdenombre
réaliséestAoùcasdenombre
AP
=
75
PratiqueC?4DE
'.-!.
'!
♠ Exercice 2 . #4-''
84</!48>1
♠ Exercice 3 . ;.FG)0!)B.
.F./'!(B.F1
II. Variable aléatoire [1ère]
A. Définition
&
Ω=
{
ω8:ω:ω(:…:ωn
}
H # variable aléatoire I réel 4.'
ℝ
H&
{
x8:x:x(::xr
}
!I!
84!"
X prend la valeur xi
$"
X=xi
$
&
P(X=xi)
!)0xiI.
Exemple et contre-exemple
•Associer au lancer de deux dés la somme des points obtenus définit une variable aléatoire.
•Associer au tirage d'une boule dans une urne la couleur de la boule tirée ne définit PAS une
variable aléatoire car la couleur n'est un nombre.
B. Loi d'une variable aléatoire
♠ Exercice 4 . &&-''
84*&
Indication :
loi de probabilité d'une variable aléatoireI!
87!I:
7.'
xi
pi=P(X=xi)
J@'
∑pi=8
K
C. Espérance, variance et écart type d'une variable aléatoire
1. Définitions
&X
Hl'espérance de la variable aléatoire XE5X7
E(X)≝∑
=8
r
pixi=p8x8+px+…+prxr
.#
X
Hla variance de la variable aléatoire X V5X7
V(X)≝∑
=8
r
pi
(
xi– X
)
=p8
(
x8– X
)
+p
(
x– X
)
+…+pr
(
xr– X
)
H l'écart type de la variable aléatoire X σ5X7
σ(X)≝
√
V(X)
.
espérance
6&I0
5I7'6
espérer 00
) +
0
6 favorable au
joueur
E(X)>>
V(X)=
(
∑
=8
r
pixi
)
–
(
E(X)
)
« la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne »
!)570
!E5X7
&I046 5I70)+0
6favorable au joueur
E(X)>>
:6défavorable au joueur
E(X)<>
6équitable
E(X)=>
2. Mais ...on a déjà fait tout ça dans le cours de statistiques, non ?
Pourquoi recommencer ?
...parce que ce n'est pas exactement la même chose :
■ Exemples : 587LD8>>>>D'!* Vous
êtes en train de faire des statistiques.57Limaginez'DD'
'déduisez'!*.<Vous êtes
en train de faire des probabilités.
Observé Théorique
@+statistiques @+probabilités
&' L
Mesures de tendance centrale :Moyenne et Espérance
Moyenne d'une série statistique
(= moyenne observée)
m=x=∑
=8
r
fixi=f8x8+fx+…+frxr
E
fi=ni
N
'57!
xi
Espérance d'une variable aléatoire X
(= moyenne théorique)
E(X)=X=∑
=8
r
pixi=p8x8+px+…+prxr
E
pi
!
xi
Mesure de la dispersion : Variance et écart type
Écart type d'une série statistique
sx=
√
∑
=8
r
fi
(
xi– x
)
E
fi=ni
N
'57
xi
̄
x
)
Écart type d'une variable aléatoire X
σ( X)=σX=
√
∑
=8
r
pi
(
xi– X
)
E
pi
xi
X
!I
&+B-
))
-!)
!'
■ Le lien entre les deux : la Loi des grands nombres.
057 &!+0-
fréquence!'.probabilité'
.'
&!+0- moyenne !
'.!espérance'
.'
3. Effet d'une transformation affine sur l'Espérance, la variance et l'écart
type
&X57Y
Y=m X +p
&
2)
H
E(m X +p)=m E (X)+ p
H
V(m X +p)=mV(X)
H
σ(m X +p)=
∣
m
∣
σ( X)
.
III. Représentation d'une succession d'expériences par un arbre
pondéré1 [2nde]
Exemple :
M.(
-
0.;.(
.;!EN;(N;!
2
-+0
•&0!
.'.
'.!E-8N
!2
•&0.
!8.(8
.*.(.*
!E8N*(N*!2
Arbre pondéré représentant le
tirage successifs sans remise
dans une urne contenant 3
boules noires et 2 boules
blanches
Les arbres pondérés sont très pratiques car il est facile de calculer les probabilités des événements qui sont
au bout des branches grâce à la règle suivante :
!4.! arbre
pondérémultiplie'!.!
-!.!-2
;×(
*
8"$).'.'!;
6
7
8
1
/
8
100%
