Exam +corrigé

Licence première année Mathématiques discrètes 1
SUJET et CORRIGE
Responsable Patrick Delorme, Janvier 2006
Documents et calculettes non autorisés
Parties A et B à rendre sur des copies séparées
Partie A
I Question de cours
Déterminer le cardinal de l’ensemble des bijections entre 2 ensembles à n éléments. On
énoncera le résultat et on donnera sa démonstration.
II Soit p un nombre premier strictement plus grand que 2, donc impair. On écrit
p = 2k + 1 avec k ∈ N∗ .
a) Montrer que si x et y sont des entiers avec 1 ≤ x, y ≤ k et x2 ≡ y 2[p], alors x = y.
b) En déduire que les restes modulo p des entiers 12 , ..., k 2 sont 2 à 2 distincts.
III a) Rappeler la définition de la borne supérieure: on attend la définition complète,
telle qu’elle apparait dans le cours.
b) Soit A une partie non vide majorée de R. Rappeler le théorème du cours qui permet
d’affirmer que A admet une borne supérieure, que l’on notera Sup A.
c) On suppose que SupA > 0. Montrer que A possède au moins un élément strictement
positif.
Partie B
IV Soit f : R2 → R l’application définie par f (x, y) = x − y 2 , pour tout x, y ∈ R.
a) Montrer que l’application f n’est pas injective.
b) Montrer que l’application f est surjective.
V Soit E un ensemble à 2n élément et A un sous-ensemble de E à n éléments.
a) Soit Y une partie de A à p éléments. Quel est le nombre de parties X de E telles
que X ∩ A = Y .
P
n
b) Montrer que np=0 Cnp Cnn−p = C2n
VI a) Rappeler la définition d’un diviseur d’un entier n.
b) On suppose n = p1 ...pr , où p1 , ..., pr sont des nombres premiers deux à deux
distincts. Déterminer le nombre de diviseurs de n, en justifiant la réponse. On pourra
commencer par r = 2 puis 3.
c) Même question si exactement 2 des pi sont égaux?
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Corrigé d’examen
Mathématiques Discrètes 1, Janvier 2006
Patrick DELORME
0.1
Partie A
(I) Voir cours
(II) (a) Si x2 ≡ y 2 [p] alors x2 − y 2 est divisible par p = 2k + 1, ie (x − y)(x + y) est
divisible par 2k + 1. Comme 1 ≤ x, y ≤ k on a (0 <)2 ≤ x + y ≤ 2k(< p).
Puisque −k ≤ −y ≤ −1 et 1 ≤ x ≤ k on a 1 − k ≤ x − y ≤ k − 1. D’après le
lemme d’Euclide p doit diviser x + y ou x − y . La seule possibilité est que
x − y soit divisible par p avec x = y.
(b) résulte de (a) car x ≡ y[p] équivaut à ce que les restes de la division de x et
y par p soient égaux. Plus précisement soit r, s ces restes. Alors x ≡ r[p].
Donc x ≡ y[p] équivaut à r ≡ s[p] avec 0 ≤ r, s ≤ p − 1 ie r − s est divisible
par p, or −(p − 1) ≤ r − s ≤ p − 1 car 0 ≤ r ≤ p − 1 et −(p − 1) ≤ −s ≤ 0
la divisibilité par p équivaut à r − s = 0, i.e. r = s.
(III) (a) Définition: Soit A une partie d’un ensemble ordonné. La borne supérieure
de A est le plus petit élément (s’il existe) de l’ensemble des majorants de A.
(b) Théorème: Toute partie non vide de R qui possède un majorant, admet une
borne supérieure.
(c) Si tous les éléments de A sont ≤ 0, 0 est un majorant de A. Donc SupA qui
est le plus petit des majorants de A est ≤ 0. Une contradiction qui prouve
(c)
(IV) (a) f (0, 1) = f (0, −1) = −1, donc f non injective.
(b) Soit x ∈ R. Alors f (x, 0) = x, donc f est surjective.
(V) (a) Une parie X de E avec X ∩ A = Y est déterminée entièrement par X ′ =
X ∩ CE A. On a X = Y ∪ (CE A ∩ X):
2
Le nombre de choix pour X ′ est le nombre de parties de CE A i.e. 2n , puisque
CE A à n éléments.
(b) On compte le nombre, N, de parties de E à n éléments de 2 manières:
n
(1) N = C2n
(c’est le cours)
(2) puis N est la somme sur Y ⊂ A, du nombre nY de parties X de E à n
éléments telles que X ∩ A = Y .
Comme précédemment X est déterminé par X ′ = X ∩ CE A qui à
n − p éléments si Y à p éléments. Donc nY = nombre de parties à n − p
éléments de CE A. Or CE A a n éléments. Alors nY = Cnn−p . Donc
N=
n
X
X
nY
p=0 {Y ⊂A,|cardY =p}
P
Donc: N = np=0 Cnn−p × nombre de parties de A à p éléments.
P
D’où N = np=0 Cnp Cnn−p comme désiré.
(VI) (a) Un entier a est un diviseur de n si et seulement si il existe q ∈ Z avec n = aq.
(b) D’abord si n = p1 p2 , les diviseurs positifs sont 1, p1, p2 , p1 p2 auquel il faut
ajouter leurs opposés.
Si n = p1 p2 p3 , les diviseurs positifs sont 1, p1 , p2 , p3 , p1 p2 , p1 p3 , p2 p3 , p1 p2 p3 .
En général, un diviseur positif est donné par un produit de pi (ou un produit
se résumant à 1). Donc ces diviseurs sont associés à une partie de {1, ..., r}.
à I ⊂ {1, ..., r} on associe le produit des pi avec i ∈ I (pour l’ensemble vide,
on prend ce produit égal à 1).
Donc le nombre de diviseurs de n est le nombre de parties de 1, ..., r c’est à
dire 2r . Les autres diviseurs sont les opposés des diviseurs positifs.
Justification: si d est positif et divise n et d 6= 1, un facteur premier de d
divise n, donc est l’un des pi . Par ailleur p2i ne peut diviser d car il diviserait
n ce qui n’est pas ( pi diviserait p1 , ..., pi−1 pi+1 , ..., pr , en ayant divisé une fois
par pi ), or les pj sont distincts. Donc d à la forme annoncée. Réciproquement
un produit de pi divise d.
(c) Supposons pr−1 = pr et les autres pi sont distincts deux à deux. Alors les
diviseurs positifs sont un produit de pi , 1 6= i 6= r − 2 et multipliés par
1, pr−1, p2r−1 . Donc 3 × 2r−1 diviseurs positifs de n.
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