Exam +corrigé

Licence premi`ere ann´ee Math´ematiques discr`etes 1
SUJET et CORRIGE
Responsable Patrick Delorme, Janvier 2006
Documents et calculettes non autoris´es
Parties A et B `a rendre sur des copies s´epar´ees
Partie A
IQuestion de cours
D´eterminer le cardinal de l’ensemble des bijections entre 2 ensembles `a n´el´ements. On
´enoncera le r´esultat et on donnera sa d´emonstration.
II Soit pun nombre premier strictement plus grand que 2, donc impair. On ´ecrit
p= 2k+ 1 avec k∈N∗.
a) Montrer que si xet ysont des entiers avec 1 ≤x, y ≤ket x2≡y2[p], alors x=y.
b) En d´eduire que les restes modulo pdes entiers 12, ..., k2sont 2 `a 2 distincts.
III a) Rappeler la d´efinition de la borne sup´erieure: on attend la d´efinition compl`ete,
telle qu’elle apparait dans le cours.
b) Soit Aune partie non vide major´ee de R. Rappeler le th´eor`eme du cours qui permet
d’affirmer que Aadmet une borne sup´erieure, que l’on notera Sup A.
c) On suppose que SupA > 0. Montrer que Aposs`ede au moins un ´el´ement strictement
positif.
Partie B
IV Soit f:R2→Rl’application d´efinie par f(x, y) = x−y2, pour tout x, y ∈R.
a) Montrer que l’application fn’est pas injective.
b) Montrer que l’application fest surjective.
VSoit Eun ensemble `a 2n´el´ement et Aun sous-ensemble de E`a n´el´ements.
a) Soit Yune partie de A`a p´el´ements. Quel est le nombre de parties Xde Etelles
que X∩A=Y.
b) Montrer que Pn
p=0 Cp
nCn−p n=Cn 2n
VI a) Rappeler la d´efinition d’un diviseur d’un entier n.
b) On suppose n=p1...pr, o`u p1, ..., prsont des nombres premiers deux `a deux
distincts. D´eterminer le nombre de diviseurs de n, en justifiant la r´eponse. On pourra
commencer par r= 2 puis 3.
c) Mˆeme question si exactement 2 des pisont ´egaux?
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Corrig´e d’examen
Math´ematiques Discr`etes 1, Janvier 2006
Patrick DELORME
0.1 Partie A
(I) Voir cours
(II) (a) Si x2≡y2[p] alors x2−y2est divisible par p= 2k+ 1, ie (x−y)(x+y) est
divisible par 2k+ 1. Comme 1 ≤x, y ≤kon a (0 <)2 ≤x+y≤2k(< p).
Puisque −k≤ −y≤ −1 et 1 ≤x≤kon a 1 −k≤x−y≤k−1.D’apr`es le
lemme d’Euclide pdoit diviser x+you x−y. La seule possibilit´e est que
x−ysoit divisible par pavec x=y.
(b) r´esulte de (a) car x≡y[p] ´equivaut `a ce que les restes de la division de xet
ypar psoient ´egaux. Plus pr´ecisement soit r,sces restes. Alors x≡r[p].
Donc x≡y[p] ´equivaut `a r≡s[p] avec 0 ≤r, s ≤p−1 ie r−sest divisible
par p, or −(p−1) ≤r−s≤p−1 car 0 ≤r≤p−1 et −(p−1) ≤ −s≤0
la divisibilit´e par p´equivaut `a r−s= 0, i.e. r=s.
(III) (a) D´efinition: Soit Aune partie d’un ensemble ordonn´e. La borne sup´erieure
de Aest le plus petit ´el´ement (s’il existe) de l’ensemble des majorants de A.
(b) Th´eor`eme: Toute partie non vide de Rqui poss`ede un majorant, admet une
borne sup´erieure.
(c) Si tous les ´el´ements de A sont ≤0, 0 est un majorant de A. Donc SupA qui
est le plus petit des majorants de A est ≤0. Une contradiction qui prouve
(c)
(IV) (a) f(0,1) = f(0,−1) = −1, donc fnon injective.
(b) Soit x∈R. Alors f(x, 0) = x, donc fest surjective.
(V) (a) Une parie Xde Eavec X∩A=Yest d´etermin´ee enti`erement par X′=
X∩ CEA. On a X=Y∪(CEA∩X):
2

Le nombre de choix pour X′est le nombre de parties de CEAi.e. 2n, puisque
CEA`a n´el´ements.
(b) On compte le nombre, N, de parties de E`a n´el´ements de 2 mani`eres:
(1) N=Cn
2n(c’est le cours)
(2) puis Nest la somme sur Y⊂A, du nombre nYde parties Xde E`a n
´el´ements telles que X∩A=Y.
Comme pr´ec´edemment Xest d´etermin´e par X′=X∩ CEAqui `a
n−p´el´ements si Y`a p´el´ements. Donc nY= nombre de parties `a n−p
´el´ements de CEA. Or CEAan´el´ements. Alors nY=Cn−p
n. Donc
N=
n
X
p=0
X
{Y⊂A,|cardY =p}
nY
Donc: N=Pn
p=0 Cn−p
n×nombre de parties de A`a p´el´ements.
D’o`u N=Pn
p=0 Cp
nCn−p ncomme d´esir´e.
(VI) (a) Un entier aest un diviseur de nsi et seulement si il existe q∈Zavec n=aq.
(b) D’abord si n=p1p2, les diviseurs positifs sont 1, p1, p2, p1p2auquel il faut
ajouter leurs oppos´es.
Si n=p1p2p3, les diviseurs positifs sont 1, p1, p2, p3, p1p2, p1p3, p2p3, p1p2p3.
En g´en´eral, un diviseur positif est donn´e par un produit de pi(ou un produit
se r´esumant `a 1). Donc ces diviseurs sont associ´es `a une partie de {1, ..., r}.
`a I⊂ {1, ..., r}on associe le produit des piavec i∈I(pour l’ensemble vide,
on prend ce produit ´egal `a 1).
Donc le nombre de diviseurs de nest le nombre de parties de 1, ..., r c’est `a
dire 2r. Les autres diviseurs sont les oppos´es des diviseurs positifs.
Justification: si dest positif et divise net d6= 1, un facteur premier de d
divise n, donc est l’un des pi. Par ailleur p2
ine peut diviser dcar il diviserait
nce qui n’est pas ( pidiviserait p1, ..., pi−1pi+1, ..., pr, en ayant divis´e une fois
par pi), or les pjsont distincts. Donc d`a la forme annonc´ee. R´eciproquement
un produit de pidivise d.
(c) Supposons pr−1=pret les autres pisont distincts deux `a deux. Alors les
diviseurs positifs sont un produit de pi, 1 6=i6=r−2 et multipli´es par
1, pr−1, p2
r−1. Donc 3 ×2r−1diviseurs positifs de n.
3