Examen final

– Ecole Nationale de la Statistique et de l’Administration Economique –
Année 2011-2012, Deuxième Année
Macroéconomie 1
Examen final
Durée : 2 heures
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Le barème, susceptible d’être modifié, est précisé uniquement à titre indicatif.
1
Questions de cours (6 points)
Répondre brièvement aux questions suivantes, sans utiliser d’équation.
Question 1
Enoncer le premier théorème du bien-être.
Question 2 Parmi les modèles vus en cours, lesquels ne satisfont pas les conditions
d’application du premier théorème du bien-être, et pourquoi ?
Question 3 Dans une situation où l’investissement de chaque entreprise augmente la
productivité de toutes les entreprises, y a-t-il trop ou trop peu d’investissement par rapport
à l’optimum social, et pourquoi ?
Question 4 Définir l’effet d’échelle (concernant le taux de croissance d’une économie).
Cet effet est-il vérifié empiriquement ?
Question 5 Définir l’équivalence ricardienne. Pourquoi n’est-elle pas satisfaite dans le
modèle à générations imbriquées ?
Question 6 Qu’impose la contrainte budgétaire intertemporelle du gouvernement ? A
quelle condition est-elle satisfaite ?
2
Exercice 1 : comportement de consommation lorsque la
fonction d’utilité est exponentielle (4 points)
On considère une économie peuplée de ménages à durée de vie infinie. Le taux de croissance de la population est nul. Le temps est continu, indicé par t. Le ménage représentatif
offre inélastiquement un flux de travail d’une unité à chaque instant t, rémunéré au salaire
wt . On note bt la quantité d’actifs qu’il détient (en unités de bien par tête), et rt le taux
de rendement de ces actifs. Son utilité intertemporelle à la date 0 est
Z +∞
U0 ≡
e−ρt u(ct )dt
0
1
où ct est la consommation par tête, ρ le taux de préférence pour le présent (ρ > 0),
et u la fonction d’utilité instantanée. On suppose que cette dernière est exponentielle :
1
u(x) ≡ −αe− α x , où α > 0.
Question 7
Quelles propriétés usuelles vérifie cette fonction u ? En particulier, que
traduit sa stricte concavité ?
Question 8 Ecrire la contrainte budgétaire instantanée du ménage représentatif, puis
obtenir sa contrainte budgétaire intertemporelle et sa condition de solvabilité.
Question 9 Ecrire le programme de maximisation du ménage représentatif. Résoudre ce
·
programme pour obtenir l’équation d’Euler suivante :
ct
ct
=
α
ct (rt
− ρ).
Question 10 En supposant que rt dépend du stock de capital de la même façon que dans
le modèle de Cass-Koopmans-Ramsey (vu en cours), peut-on avoir un taux de croissance de
la consommation strictement positif et constant à long terme ? Interpréter en commentant
la valeur prise par l’élasticité de substitution intertemporelle.
3
Exercice 2 : politique budgétaire dans le modèle de SolowSwan (10 points)
On considère une économie peuplée de ménages à durée de vie infinie. Le temps est
continu, indicé par t. Le taux de croissance de la population est constant, égal à n >
0. Chaque ménage a une offre de travail inélastique égale à un. La quantité de travail
agrégée est donc égale à Lt = L0 ent , où L0 > 0 est la population initiale (exogène). La
consommation agrégée des ménages est notée Ct (endogène).
La production agrégée Yt (endogène) est donnée par AYt Lt t = f ( AKt Lt t ), où Kt est le
stock de capital agrégé (endogène pour t > 0, exogène pour t = 0) et At le paramètre
de productivité (exogène). On suppose que K0 > 0 et que At = A0 egt , avec A0 > 0 et
g > 0. La fonction de production f est strictement croissante et strictement concave, vérifie
f (0) = 0, et satisfait les conditions d’Inada (1963) : lim f 0 (x) = +∞ et lim f 0 (x) = 0.
x→0
x→+∞
Le gouvernement fait des dépenses publiques agrégées Gt , lève un impôt forfaitaire
t
agrégé Tt sur les ménages, et émet de la dette publique agrégée Dt . On note ct ≡ C
Lt ,
Gt
Tt
Dt
Ct
Kt
t
kt ≡ K
Lt , gt ≡ Lt , tt ≡ Lt , dt ≡ Lt les grandeurs par tête, et γt ≡ At Lt , κt ≡ At Lt ,
Gt
Tt
Dt
χt ≡ At Lt , ψt ≡ At Lt , φt ≡ At Lt les grandeurs par unité de travail efficace.
On suppose que les ménages épargnent une fraction constante 0 < s < 1 de leur revenu
net d’impôt. L’épargne agrégée est donc St = s(Yt − Tt ), et la consommation agrégée
Ct = (1 − s)(Yt − Tt ). On note It l’investissement agrégé en capital. On suppose par
ailleurs qu’une fraction constante δ du stock de capital disparaît à chaque unité de temps
(à cause de la dépréciation du capital). On note rt le taux de rendement du capital net de
sa dépréciation.
Il n’est pas nécessaire d’avoir traité la section 3.1 pour traiter la section 3.2, ni d’avoir
traité les sections 3.1 et 3.2 pour traiter la section 3.3 : dans les deux cas, il suffit d’admettre
le système d’équations différentielles donné dans la section 3.1.
2
3.1
Système d’équations différentielles
Question 11
(a) Sans considérer le programme des entreprises, expliquer pourquoi
rt = f 0 (κt ) − δ, puis pourquoi, à l’équilibre, le taux d’intérêt sur la dette publique est égal
à rt . (b) Ecrire alors la contrainte budgétaire instantanée du gouvernement. (c) En déduire
l’équation différentielle
·
φt = [f 0 (κt ) − (n + g + δ)]φt + χt − ψt .
(1)
Question 12 (a) Ecrire la condition d’équilibre sur le marché des biens. (b) En déduire
que tout déficit public primaire Gt − Tt doit être compensé par un excès d’épargne par
rapport à l’investissement : Gt − Tt = St − It . (c) Ecrire l’équation d’évolution du capital.
(d) En déduire l’équation différentielle
·
κt = sf (κt ) − (n + g + δ)κt + (1 − s)ψt − χt .
3.2
(2)
Dépenses publiques financées entièrement par impôt
Dans cette section, on suppose que la dette publique initiale est nulle (φ0 = 0) et que
les dépenses publiques sont financées entièrement par impôt (ψt = χt à chaque date t).
Question 13 (a) Qu’implique alors l’équation différentielle (1) pour la dynamique de la
dette publique ? (b) Représenter la courbe sf (κt ) et la droite (n + g + δ)κt dans le plan
d’abscisse κt . (c) En déduire graphiquement, lorsque χt est constamment nul, la dynamique
de κt , pour un κ0 = AK0 L0 0 donné, et sa valeur à l’état régulier.
Question 14 On suppose dans cette question qu’il existe une date t0 > 0 telle que (i)
∀t ∈ [0; t0 [, χt = 0 et l’économie est à l’état régulier correspondant, et (ii) le gouvernement
annonce à t0 que ∀t ≥ t0 , χt = χ > 0, et met en œuvre la politique annoncée.
(a) Représenter, sur le graphique précédent, la courbe sf (κt ) − sχ lorsque χ est suffisamment faible pour qu’il existe au moins un état régulier non dégénéré (c’est-à-dire un
état régulier avec un stock de capital non nul). (b) En déduire graphiquement la dynamique de κt . (c) La consommation agrégée Ct augmente-t-elle, reste-t-elle inchangée, ou
diminue-t-elle en t0 ? Et entre t0 et le long terme ? Interpréter ces résultats. (d) Comment
ces résultats sont-ils modifiés lorsque le gouvernement annonce dès la date 0 que ∀t ≥ t0 ,
χt = χ > 0 ?
Question 15 On suppose dans cette question que les dépenses publiques par unité de
travail efficace sont constantes et strictement positives (χt = χ > 0 à chaque date t).
(a) Ecrire la consommation par unité de travail efficace à l’état régulier, γ ∗ , en fonction
du stock de capital à l’état régulier, κ∗ , sans faire intervenir le taux d’épargne s. (b) En
déduire la règle d’or d’accumulation du capital, qui définit la valeur κor de κ∗ qui maximise
γ ∗ . (c) En supposant qu’il y a inefficience dynamique due à une sur-accumulation du capital
lorsque χ = 0, existe-t-il une valeur χor > 0 de χ telle que la règle d’or d’accumulation du
capital soit satisfaite ? (d) Choisir χ = χor permet-il de maximiser γ ∗ ?
3
3.3
Dépenses publiques financées partiellement par impôt
Dans cette section, on suppose que les dépenses publiques par unité de travail efficace
sont constantes et strictement positives (χt = χ > 0 à chaque date t).
Question 16 On suppose dans cette question que le gouvernement fixe à chaque date t
les impôts forfaitaires selon la règle suivante : ψt = ψ + µφt , où 0 < ψ < χ et µ > 0.
(a) Réécrire les équations différentielles (1) et (2) sous une forme qui ne fait intervenir
que φt , κt et leurs dérivées par rapport au temps. (b) Montrer qu’il existe une valeur κ > 0
telle que f 0 (κt ) < min[ n+g+δ
, n + g + δ + µ] ⇔ κt > κ. (c) Représenter, dans le plan
s
·
·
(κt , φt ), pour κt > κ, les courbes φt = 0 et κt = 0, en ne montrant préalablement que leur
croissance ou décroissance dans ce plan et en supposant qu’elles ont un point d’intersection.
On suppose dans le reste de la section que κt reste supérieur à κ à chaque date t et que
les deux courbes ont toujours un point d’intersection.
(d) Représenter également, sous la forme de flèches verticales et horizontales, les sens
de variation dans le temps de κt et φt dans chacun des quatre quadrants définis par ces
deux courbes. (e) Le système d’équations différentielles admet-il un sentier-selle ? κt et φt
convergent-ils vers un état régulier ? Quelle est la forme générale des trajectoires ?
Question 17 On suppose dans cette question qu’il existe une date t0 > 0 telle que
(i) ∀t ∈ [0; t0 [, ψt = ψ + µφt et l’économie est à l’état régulier correspondant, et (ii) le
gouvernement annonce à t0 que ∀t ≥ t0 , ψt = ψ 0 + µφt , avec ψ 0 < ψ, et met en œuvre la
politique annoncée.
(a) Comment évoluent le déficit public primaire à t0 et la dette publique juste après
·
·
t0 ? (b) Quel effet cette politique a-t-elle sur les courbes φt = 0 et κt = 0 ? (c) Sauf cas
particulier de mesure nulle, κt varie-t-il entre t0 et le long terme ? (d) En conclure s’il y a
équivalence ricardienne dans le modèle de Solow-Swan, et expliquer pourquoi.
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