PDF /UPL54871_SHaroche_291002

Chaire de physique quantique. Année 2002-2003. Deuxième leçon (29 Octobre 2002)
Survol de l ’optique quantique
Les superpositions macroscopiques d ’états (SME) que nous considèrerons dans ce cours
impliquent soit des photons, soit des bosons condensés. Pour comprendre ces systèmes, le
formalisme de l’optique quantique joue donc un rôle essentiel, soit de façon directe (cas des
photons) soit en raison de l’analogie entre condensats atomiques et champs
électromagnétiques (cas des bosons).
Cette leçon est donc consacrée à un survol du formalisme utile de l ’optique quantique. Nous
commencerons par rappeler l ’analogie entre le champ électromagnétique et un ensemble
d ’oscillateurs harmoniques quantifiés caractérisés par leurs opérateurs de création et
d ’annihilation de photons. Nous introduirons ensuite les observables importantes du champ
(énergie, nombre de photons et quadratures). Puis nous décrirons des états du champ
associés à un seul mode, en insistant particulièrement sur les états cohérents ou états quasiclassiques du champ et sur leurs superpositions (états « chats de Schrödinger »). Nous
rappellerons ensuite comment on peut décrire le couplage du champ avec des atomes et nous
montrerons comment une source atomique permet de générer des photons uniques alors
qu ’une source de courant classique crée des champs cohérents. Nous présenterons enfin un
modèle simple de détecteur de photons et parlerons de signaux de comptage de photons
simple et double.
Décomposition du champ électromagnétique libre en ondes planes

ik j .r
* * − ik j .r 
A(r,t) = ∑ A j  a j ε j e
(2 − 1)
+ ajε j e



j
E(r,t) = −
Potentiel
vecteur
dA(r,t)


= i ∑ E j a j ε j e ik j .r − a*j ε*j e− ik j .r  ; (E j = ω j A j ) (2 − 2)


dt
j
Champ électrique
 E j 

B(r,t) = ∇ × A(r,t) = i∑  a j κ j × ε j e i k j .r − a*jκ j × ε*j e− ik j .r 

c 
j 
(2 − 3)
Champ magnétique
εj
kj
εj ’
κj = kj / | kj |
ωj = c |kj|
aj ( t ) = aj ( 0 ) e- i ωj t : variables normales
Le champ est une somme d ’oscillateurs harmoniques
indépendants
Somme discrète de modes
(« boîte de quantification »)
Hamiltonien (énergie) du champ:
2
ε0
 2
2
3
3
2
*
*
H = ∫∫∫  E + c B  d r = ε 0 L ∑ E j (a j a j + a j a j ) (2 − 4)


2
j
!ω j
!ω j
*
*
E
H =∑
a j a j + a j a j ) (2 − 5) avec:
j =
3
(
2
L
ε
0
2
j
H = ∑ !ω j (X j + P j ) (2 − 6)
j
a j = mω j / 2! x j + (i / 2m!ω j ) p j = X j + iPj (2 − 7)
2
L
Kx = nx 2π / L,
ky = ny 2π / L,
kz = nz 2π / L
Σj
 L 3
←
→ 2  ∫∫∫ d 3 k
 2π 
2
Quantification (opérateurs d ’annilation et
de création de quanta):
x → xˆ j ; p j → pˆ j
j
[
]
avec
i
→ Xˆ j , Pˆk = δ jk →
2
[xˆ
j
, pˆ k ] = i! δ jk
[aˆ
ˆ
j , a k ] = δ jk
+
(2 − 8)
(2 − 9)
Les opérateurs sont représentés «sans chapeau»
dans la suite
Quantification en onde plane ou ondes stationnaires d’une cavité
Au lieu de décomposer le champ en ondes planes,
on le décompose alors sur les ondes stationnaires
qui satisfont les conditions aux limites de la cavité.
Le champ dans un de ces modes s ’écrit (point de
vue de Schrödinger):
Opérateurs associé à un mode (k, ε) dans
le point de vue de Heisenberg:
( )
a( t) = a (0 ) e−
iω t
(2 − 10)
! ω 
+
−ik .r 
i k.r
 (2 − 11)
ε
−
E r, t = i
a(t)
e
a
e
(t)
3 

2ε 0 L
()
 +
1
=
ω

+
 (2 − 12)
H ! a a

2
( Dans le point de vue de Schrödinger où E ne dépend
pas de t, le champ est donné par les expressions cidessus où a(t) est remplacé par a)
E0 =
!ω
2 ε0 L3
(2 −13)
Fluctuations du vide ou
« champ par photon » dans la
boîte de quantification de
volume V=L3
L est souvent un paramètre de quantification que
l ’on fait tendre vers l ’infini à la fin des calculs, de
façon à retrouver un continuum de modes. Le
champ par photon tend alors vers 0. Dans le cas
de l ’Electrodynamique en cavité, le volume V de
quantification reste fini et a un sens physique
précis: c ’est le volume physique de la cavité réelle
dans laquelle le champ est confiné.
()


+ *
E (r) = i E 0 ε  a f r − a f r  (2 − 14)
où f (r) est la fonction décrivant la variation
spatiale du champ dans le mode.Le volume du
mode est:
V=
∫∫∫
()
2
f r d 3r
et le champ par photon:
(2 − 15)
E0 =
!ω
2 ε0V
(2 − 16)
Cavité Fabry-Perrot: le mode de symétrie
cylindrique correspond à une onde sinusoidale
stationnaire le long de 0z multipliée par une
Gaussienne de
z
largeur w dans la
L=pλ/2
r direction transverse
2
2
f ( r, z = 0) = exp (− r / w );
w
π
2
V = Lw
4
Opérateurs quadrature du champ
Base des états propres d ’une
(
quadrature
Opérateurs qui dans chaque mode correspondent aux
observables X et P de l’oscillateur:
a + a+
X=
2
a − a + e −iπ / 2 a + e iπ / 2 a +
=
;P =
2i
2
analogie avec un oscillateur mécanique)
L ’état propre de la quadrature Xϕ
correspondant à la valeur propre réelle
(2 − 17)
continue x sera noté |x>ϕ :
et de façon plus générale les combinaisons de a et a+
dépendant d ’une phase ϕ de la forme
Xϕ =
e
−iϕ
iϕ
a+e a
e
;Xϕ + π /2 =
2
+
−iϕ
iϕ
a −e a
2i
+
(2 − 18)
qui satisfont les relations de commutation:
[Xϕ , Xϕ + π / 2 ] =
i
2
(2 − 19)
correspondant aux «relations d ’incertitude»:
∆Xϕ ∆Xϕ + π /2
1
≥
4
(2 − 20)
Si on préfère introduire des quantités ayant la
dimension d ’un champ électrique, on écrira plutôt:
X
E
ϕ
= E 0 Xϕ ; [X , X
E
ϕ
2
0
E
ϕ+ π /2
] = iE / 2 = i !ω 4ε 0V
E
E
E
X
X
∆ ϕ ∆ ϕ + π /2 ≥
= ! ω 8ε 0V
4
2
0
(2 − 21)
Voir plus loin comment on mesure ces observables
Xϕ x
ϕ
=xx
(2 − 22)
ϕ
Les états |x>ϕ , non normalisables, obéissent aux
relations d’orthogonalité et de fermeture:
ϕ
x x' ϕ = δ ( x − x');
∫
x
ϕϕ
x dx = 1 (2 − 23)
et le passage d ’une base | x>ϕ à la base de
l ’observable conjuguée | x>ϕ+π/2 s ’écrit
(transformation de Fourier) :
x
ϕ + π /2
=
=
∫ dy y
1
π
ϕϕ
y x
ϕ+π /2
∫ dy e 2i x y y
ϕ
(2 − 24)
Facteur 2 à cause du choix de normalisation des
variables conjuguées (1/2 dans Eq.2-19)
Etats propres du nombre de photons a+a dans un mode
Le vide: a+a |0> = 0
Etat de Fock à n photons
(énergie (n+1/2)hω):
Etat à zéro photon: état fondamental du champ
dans le mode (d ’énergie !ω / 2 ) et état
propre de valeur propre 0 de a:
a |0> = 0
(2-25)
Valeurs moyennes nulles des quadratures
du champ dans cet état:
0 Xϕ 0 = 0
(2 − 26)
Fluctuation de la quadrature:
∆Xϕ( 0 ) =
0 Xϕ2 0 = 1 / 2
(2 − 27)
(Le vide a des fluctuations isotropes «minimales»)
an =
a+a |n> = n+ |n> (2-29)
n n −1
; a n = n +1 n +1
a +n
n =
0
n!
(2 − 30)
(2 − 31)
Valeur moyenne et fluctuation des quadratures:
1
(n )
2
n Xϕ n = 0 ; ∆ Xϕ = n Xϕ n =
2 n + 1 (2 − 32)
2
(un état de Fock de n > 0 a des fluctuations
isotropes non minimales)
Distribution de probabilité P(0)(x) de la mesure d ’une
La distribution de probabilité P(n)(x) de la mesure
quadrature Xϕ dans le vide (analogie avec l ’état
d ’une quadrature Xϕ dans l ’état |n> s’obtient à partir
fondamental d ’un oscillateur mécanique):
de l ’expression déduite de l ’analogie avec un
1 /2
oscillateur:
2
 2
(0 )
−2 x 2
2
(2 − 28)
P ( x) = ϕ x 0 =   e
π
P (n ) ( x) = ϕ x n =
Le vide présente des fluctuations gaussiennes et
isotropes du champ autour de 0.
 2 1 /2 1 −2 x 2
e
Hn (x 2 )
 
 π  2 n n!
(
)
2
(2 − 33)
où Hn(x) est le polynôme d ’Hermite de rang n.
Représentation graphique qualitative des fluctuations de
quadrature dans un état de Fock
Le vide présente des fluctuations
gaussiennes et isotropes du champ
autour de 0. La largeur de la distribution
de ces fluctuations est (en unité de
champ E0 ) égale à 1/2.
Xπ/2
Xϕ
ϕ
X0
Xπ/2
X0
Représentation dans
l’espace des phases
de la quadrature Xϕ
comme un axe faisant
l ’angle ϕ avec l’axe
X0. Un ensemble de
mesures de Xϕ dans
le vide donne une
distribution
gaussienne de points.
Il est naturel de
représenter le vide
comme un cercle de
diamètre unité centré
à l ’origine de l’espace
des phases
Distribution de
la quadrature
Xϕ pour les
états de Fock n
= 0, 1, 2 et 3
Représentation
qualitative dans
l ’espace des phases
de l ’état de Fock
n
= 2: l ’intersection
avec l ’axe Xϕ indique
les segments
correspondant aux
valeurs x les plus
probables...
Xπ/2
Xϕ
X0
Etats cohérents d’ un mode du champ
(voir leçon 3 du cours 2001-2002)
L’opérateur unitaire D (α) = exp[α a+-α∗a] décrit une translation dans l’espace des
phases dans la direction dont les projections sur X0 et Xπ/2 sont α1 = Re(α) et α2 =
Im(α). Lorsqu’on applique cette translation au vide, le paquet Gaussien centré à
l’origine est déplacé. Il se met ensuite à tourner dans l’espace des phases sans se
déformer. Il s’agit d ’un état cohérent quasi-classique, la meilleure approximation
possible d’un oscillateur classique.
Xπ/2 ( P )
|Ψ(0) > = | α > = D(α)| 0 > = exp (α a+- α* a) | 0 > (2 - 34)
A partir du théorème de Glauber (e A + B = e A e Be - [A , B] / 2 si [A,B]
commute avec A et B), on montre:
X0 (X)
D(α ) = e
−iα 1α 2
Déphasage
ω
exp( 2i α 2 X 0 )
Translation de α2 le
long de la
quadrature Xπ/2
exp( − 2iα 1 X π / 2 )
(2 − 35)
Translation de α1 le
long de la
quadrature X0
Evolution:
|Ψ(t)>=e - i ω t /2 | αe-i ω t >
(2−36)
Interprétation simple en terme d ’oscillateur mécanique
Rappel des propriétés des états cohérents
*
D(α ) = exp [α a − α a ] =
+
exp( −
α
2
2
+
) exp( αa ) exp( −α a)
*
(2 − 37)
Décomposition sur les états | n > et l ’ évolution dans le temps de l ’état cohérent:
2
α = ∑n Cn (α ) n
α
αn
C n (α ) = exp( −
)
n!
2
avec
α ( t) = ∑
n
α n − i( n +1/ 2 )ωt
e
n = e− iω t /2 α e −iω t
n!
P(n)
La loi de Poisson pour la distribution de n:
n=α
2
1
∆n 1
= =
n
α
n
;
(2 − 38)
(2 − 39)
n
∆n
| α > est état propre de a avec la v.p. a (attention: a non hermitique et les | a > non orthogonaux):
aα = α α
α a+ = α α *
et
Produit scalaire:
αβ =
−α
(
e
2
(2 − 40)
Relation de fermeture:
/2 − β
2
/2 + α * β
)
;
αβ
2
= e− α− β
Etats quasi - orthogonaux lorsque | α − β | >> 1
2
(2 − 41)
1 ;
dα1 dα 2 α α
∫∫
π
= 1 (2 − 42)
Distribution de la quadrature X0 dans un état cohérent:
L ’amplitude de probabilité de trouver x lorsqu ’on mesure X0 dans l ’état | α > est :
x α = x D(α ) 0 =
exp (−iα 1α 2 ) x exp(2iα 2 X 0 ) x x exp(− 2iα 1 X π / 2 ) 0
x α = exp(− iα 1α 2 )exp(2i α 2 x) ∫ dy
(2 − 43)
Relation de fermeture sur la base |y>π/2
des états propres de Xπ/2
0
xy
π/2
exp( −2iα 1 y)π /2 y 0
Utiliser eq (2-24):
 2 1/4
1
exp(− iα 1α 2 )exp(2i α 2 x) ∫ dy exp[2i(x − α 1)y)]  exp(− y 2 )
=
π 
π
(2 − 44)
L ’intégration sur y fait apparaître la Gaussienne translatée le long de la quadrature X0:
 2 1/4
2
x α =   exp( −iα 1α 2 )exp(2iα 2 x)exp[−(x − α 1 ) ] (2 − 45)
π
Modulation exprimant la
translation le long de Xπ/2
D’où la distribution de probabilité de X:
 2 1/2
2
P(x) =   exp −2(x − α1 )
(2 − 46)
π 
[
]
et son évolution temporelle:
 2 1/2
2
P(x) =   exp −2(x − α 1 cosωt − α 2 sinω t)
π 
[
La rotation de l ’état cohérent dans le plan de phase entraîne une oscillation du centre du
paquet Gaussien le long de X0 (ainsi que dans n ’importe quelle autre direction de
quadrature)
]
(2 − 47)
X0
Superposition d’ états cohérents
Parmi les états du rayonnement, nous allons nous intéresser particulièrement aux superpositions de deux
états cohérents quasi-orthogonaux, représentés par deux cercles disjoints de l ’espace des phases. Ces
états seront des prototypes des « chats de Schrödinger ». Nous verrons plus loin comment on peut les
préparer et les étudier et s ’en servir pour analyser le phénomène de décohérence. Nous nous limiterons ici
à en donner quelques propriétés remarquables.
−β
β réel:
β=β1;β2=0
β
Ο
Ψchat
Exemple de « chat de phase »: superposition de
deux états cohérents quasi-orthogonaux de phases
opposées:
Xπ/2
X0
β + −β
=
≈ (1/ 2)( β + −β
−2 β 2 


21+ e


Distribution de la quadrature X0:
(chat )
0
P
( x) ≈
(2 − 48)
Ou encore sous forme d ’opérateur densité:
1
ρ chat ≈ ( β β + − β −β + β −β + −β β ) (2 − 49)
2
Termes de cohérence


1
 ρ chat ≠ ρ mélange = ( β β + −β − β )


2
(2 − 50)
Somme de deux gaussiennes symétriques par
rapport à x=0. Pas d ’interférence.
Distribution de la quadrature Xπ/2:
)
Pπ(chat
x) ≈
/2 (
)
2
−2( x + β ) 
1  −2(x− β )2
e
+e

2π 

avec:
π/2
π /2
x β =0 x βe
soit:
(chat )
π /2
P
1
2
x β + π /2 x − β
− iπ / 2
1 /2
e
−2 x 2
(2 − 51)
= 0 x − iβ =
 2 1 /4
  exp( −2iβ x) exp( − x 2 )
π 
 2
≈ 
π
2
(1 + cos 4 βx)
(2 − 52)
(2 − 53)
Gaussienne centrée en x=0, modulée par un terme
d ’interférence avec franges de période 1/4β
d ’autant plus petite que β est plus grand.
Evolution en fonction de ϕ de la distribution de quadrature
Xϕ pour un chat de phase
La quadrature en phase (ou en opposition de
phase) avec les deux composantes du chat a une
distribution correspondant à la somme de deux
Gaussiennes disjointes.
Lorsqu ’on mesure une quadrature faisant un
angle non nul avec la direction précédente, les
deux Gaussiennes se rapprochent
symétriquement.
Lorsqu’on atteint un angle ϕ voisin de π/2, les deux
Gaussiennes se chevauchent et interfèrent. Les franges
résultantes sont d ’autant plus fines que les deux
composantes sont plus séparées. L ’interférence, qui
ne se produit pas pour un mélange statistique, est
une signature du caractère cohérent de la
superposition.
Au lieu de faire tourner la quadrature à t fixé, on peut décrire de même l ’évolution d ’une
quadrature en fonction du temps: image de deux paquets d ’onde Gaussiens qui oscillent
en opposition de phase et interfèrent quand ils se croisent en x =0
Couplage entre champ et charges: modèles de sources et de
détecteurs
Le champ interagit avec des particules chargées
Si le mouvement des charges est imposé
(électrons atomiques, courants…) et ces interactions (indépendant du champ) et classique (fluctuations
négligeables des ri et pi ), le Hamiltonien du champ
sont essentielles pour décrire l ’émission du champ
(sources) et sa mesure (détecteurs). Le Hamiltonien se réduit à:

1
décrivant l ’évolution du système « charges + champ » H sources classiques
= ∑ ! ω j  a +j a j +  − ∫∫∫ d 3 r A (r). j(r, t)
champ
peut s ’écrire en jauge de Coulomb et à la limite non
2
j
relativiste:
dr
j(r, t) = ∑ q i v i (t) δ r − ri ;
vi = i
(2 − 55)
2
dt
i
1
Hch arg es+ champ = ∑
i
2mi
(p − q A(r )) + U (r,r ,...,r ,...)
i
i
 +
1
a
a
!
+ ∑ ω j j j + 

2
j
i
1
2
( )
i
(2 − 54)
Les qi, mi, ri, pi sont respectivement la charge, masse,
position et impulsion de la particule i. U est le
potentiel Coulombien des charges, qui ne dépend
que de leurs positions. La version classique de ce
Hamiltonien redonne l ’équation dynamique des
charges sous l ’effet de la force de Lorentz produite
par le champ, et les équations de Maxwell décrivant
l ’évolution des champs produits par la distribution de
charges et de courants.
J(r,t) est la distribution classique de courants. Ce
Hamiltonien peut s ’obtenir à partir de l ’expression
du Lagrangien classique du champ. On peut
également le retrouver à partir de l ’expression
générale de Hcharges+champ en y faisant tendre les mi
vers l ’infini tout en maintenant les pi /mi =vi finis.
Le mouvement des charges ne dépend plus alors
de A. Il faut cependant garder le terme linéaire en
A du Hamiltonien pour décrire l ’action des
courants imposés sur le champ. Le terme
d ’interaction devient:
H int = − ∑ q i v i ( t).A( ri (t))
i
(2 − 56)
ce qui est bien identique au terme de (2-55).
Source atomique de photon: oscillation de Rabi et préparation
d ’un état de Fock n=1 dans une cavité
Atome à un électron couplé à un mode du champ dans une cavité. Processus résonnants ou
résonnants à 1 photon (on néglige le terme en A2 qui crée ou annihile 0 ou 2 photons):
quasi-
H ch arg es+ champ = H at + H champ + H int
 +
p2
1
H at =
+ U (r) ; Hchamp = !ω  a a + 

2m
2
q E
H int = −
[(p.ε) a f (r) + ( p.ε * ) a + f * (r)] (2 − 57)
mω
Hat a deux niveaux d ’énergie |e> et |g> tels que la transition e → g est résonnante (ou quasirésonnante) avec le champ. L ’approximation du champ tournant («RWA ») permet d ’écrire:
q E
[ f (r) ( p.ε) eg e g a + f * (r)(p.ε* )ge g e a + ] (2 − 58)
mω
Absorption de photon
Émission de photon
Hint ≈ −
Soit, en introduisant la fréquence de Rabi Ω(r) :
!Ω
+
[ e g a + g e a ];
2
q
2
Ω(r) = − f (r)(p.ε )eg
m
!ω ε0V
Hint ≈
Emission et absorption réversible d’un photon à
résonance exacte (atome en r=0; on pose Ω (0) = Ω)
Ψ(0) = e 0 →
(2 − 59)
(on peut prendre sans perte de généralité f et (p.ε)eg réels).
Ψ( t) = cos(Ωt / 2) e 0 − i sin(Ω t / 2) g 1
(2 − 60)
Oscillation de Rabi et Intrication atome-champ.
Pour Ω t = π ,création d ’un état de Fock à un
photon dans le mode
Atome à deux niveaux et continuum de modes: émission
spontanée de photon dans l ’espace libre
Hamiltonien à l ’approximation RWA:
Hint = −
Ej
q
ik .r
(p.ε j ) eg e j e g a j
∑
m j ωj
−
Ej
q
− ik .r
( p.ε *j ) ge e j g e a +j
∑
m j ωj
(2 − 61)
Solution de l’équation d ’évolution en représentation d ’interaction (d ’après Wigner-Weisskopf, on néglige
le terme de Lambshift de déplacement des niveaux, qui renormalise leurs énergies):
−Γt / 2
Ψ(0) = e,0 → Ψ (t) = e
1
1 − e −Γt /2 e ( eg j )
e,0 +  ∑ g,1 j H int e,0
g,1 j
 i!  j
i(ω eg − ω j − iΓ / 2)
− i ω −ω
t
(2 − 62)
Γ est la largeur naturelle de l ’état e, qui s’exprime simplement en fonction de (p.ε)eg et ωeg.
Au bout d ’un temps t>>1/Γ, le champ est décrit par une superposition d ’états |1j> à un photon, (distribution
Lorentzienne en fréquence de largeur Γ). Le paquet d’onde à un photon correspondant s’écrit (on laisse au
lecteur le calcul de l ’expression des cj à partir de 2-61 et 2-62):
+
Ψ(t >> 1 / Γ) = ∑c j a j 0
(2 − 63)
j
Paquet d ’onde d ’un photon dont la distribution
angulaire est déterminée par (p.ε)eg dont les cj
dépendent.
On décrit de même une source
atomique pouvant émettre une
paire de photons en
coïncidence, sur une cascade
de deux transitions
Source de courant classique: génération d’ états cohérents et
translation du champ dans l ’espace des phases
Hamiltonien du champ couplé à un courant classique:
Hchamp = H libre −
∫∫∫ d r j(r,t).A(r)
(2 − 64)
3
D ’où l ’évolution du champ à partir du vide à t=0:
˜ ( t) = e
Ψ
Considérons le cas où un courant monochromatique de
densité:
j(r,t) = j0 (r)cos ω t
excite un mode résonnant du champ dans une cavité. En
faisant l ’approximation RWA, on met l’interaction sous la
forme:
3
Hint = − ∫∫∫ d r j(r,t).A(r) ≈
!
s0 =
8ε 0ωV
∫∫∫ d
3
(
) (2 − 66)
r f (r) j 0 (r).ε
et en passant en représentation d ’interaction:
− iHlibre t /
= e iH libre t / H int e
int
= D(is 0 t / ! ) 0 = α = is 0 t / !
(2 − 68)
Le courant classique génère un état cohérent dans le
mode, dont l ’amplitude croît proportionnellement au
temps (nombre moyen de photons en t2).
!ω
t
is 0 t / !
=
2 ε0V
4 ε 0V
décrit le recouvrement du mode avec la distribution de courant
source.
H˜
 i s 0 t a+i s *0 t a + 
0
!
0 = e !




L ’amplitude moyenne du champ généré est:
− (s0 e iωt a + s0*e −iωt a+ ) (2 − 65)
où
−i H˜ int t /!
= −(s0 a + s*0 a
+
)
(2 − 67)
∫d
3
(
r f ( r) j0 (r).ε
)
(2 − 69)
qui est une quantité indépendante de h (c ’est
l’amplitude donnée par un calcul entièrement
classique): le champ rayonné par une source
classique imposée est un état cohérent dont
l ’amplitude est donnée par le calcul classique
correspondant. Il correspond à une translation du
vide et possède les mêmes fctuations que celui-ci.
Translation du champ dans l ’espace des phases par action
d ’une source classique pendant un temps donné t
Une translation quelconque D(γ) d ’un champ dans l’espace des phases est réalisée par
l ’application pendant un temps t donné d ’une source classique d ’amplitude et de phase
appropriées (γ = i s0t / h ).
Translation d ’un champ cohérent:
˜ (0) = β → Ψ
˜ (t) = D(γ = is t / !) β
Ψ
0
a + − γ * a) exp(βa + − β * a) 0 = e
exp(
=
γ
i (β 1γ 2 − β 2γ 1 )
β +γ
(2 − 70)
(translation du vecteur représenté par le complexe γ accompagnée d ’un
déphasage global de l ’état)
Translation d ’un chat de phase (β = β1 réel, β2=0):
˜ (0) =  1 ( β + −β → Ψ
˜ ( t) =  1 ei (β γ 2 ) β + γ + e −i ( βγ 2 ) −β + γ  (2 − 71)
Ψ

 2
 2 
Cas particulier γ = β :
 1 
˜
(t)
Ψ
=  [ 2β + 0
 2
]
(2 − 72)
Chat de phase transformé en chat d ’amplitude (voir
leçon 1)
Modèle de compteur de photons
Atome possédant un niveau
fondamental g et un
« continuum » de niveaux excités
i (modèle de photo-ionisation).
ei
g
Processus d ’absorption gouverné par le terme d ’interaction champ-atome (RWA):
Hint
Ej
q
q
i k .r
a je j + h.c. (2 − 73)
≈ − p.A(r) ≈ − ∑ (p.ε ) ig e i g ∑
m
m i
j ωj
On a représenté ici l ’interaction d ’un champ multi-mode de polarisation donnée e avec l ’atome. On
notera que le processus résonnant concerne essentiellement des modes dont la fréquence ωj est voisine
de la fréquence moyenne ω0 de la « bande d ’absorption ». On peut donc écrire:
H int ≈ − ∑
i
q
( p.ε ) ig e i g
im ω 0
∑ iE
j
aje
ik j .r
+ h.c . (2 − 74 )
j
κig
E+(r)
Il est commode de séparer les parties de fréquence positive et négatives du champ électrique:
E (r) = i ∑ E j a j e
+
j
ik j .r
; E (r) = −i ∑ E j a j e
−
+
j
−i k j .r
(2 − 75)
Modèle de compteur de photons (suite)
E+ et E- annihilent et créent respectivement des photons. En définissant les coefficient de couplage
kig, on met le terme d ’interaction sous la forme:
(
H int = − ∑ κ ig ei
i
+
−
g E (r) − κ ig g e i E (r)
*
) (2 − 76)
Passons enfin en représentation d ’interaction par rapport à l ’hamiltonien non couplé:
i(H
H
i( H
H
)t /
)t /
H˜ int = e at + champ Hint e − at + champ
(
= − ∑ κ ig ei
i
g e ω ig E + (r,t) − κ *ig e − ω ig g ei E − (r,t)
i
t
i
t
) (2 − 77)
ce qui fait apparaître E+ et E- dans le point de vue de Heisenberg (opérateurs dépendant du
˜ (0) = gonΨ
˜obtient au
Ψ
temps). En supposant qu ’à t=0 le système est dans l ’état
champ
premier ordre de la théorie des perturbations l’état à l’instant t:
1 t
˜
˜
˜
Ψ(t) ≈ g Ψchamp + ∫ dt' H˜ int (t') g Ψ
champ
0
i!
t
1
iω t'
˜
˜
e
dt'e ig E + (r,t') Ψ
= g Ψ
−
κ
∑
champ
ig i ∫0
champ
i! i
(2 − 78)
On obtient alors la probabilité totale de photo-ionisation à l ’instant t en sommant les
contributions de tous les états finals:
˜ (t) e e Ψ
˜ (t)
Pe (t) = ∑ Ψ
i
i
i
(2 − 79)
Taux de comptage de photons simple et double
La probabilité totale d ’excitation de l ’atome à l’instant t , Pe(t), s ’écrit:
Pe (t) = ∑
i
˜ (t) e e Ψ
˜ (t) = 1 ∑ κ
Ψ
i
i
! 2 i ig
2
∫∫
t
t
0
0
dt' dt''e
iω ig ( t'− t")
˜
˜
E − (r,t")E + (r,t') Ψ
Ψ
champ
champ
(2 − 80)
La sommation sur les états finals i de l ’atome est assimilable à une intégration sur un continuum. On
suppose la variation du couplage |κig|2 suffisamment lente pour le remplacer par une constante |κ0|2 sur la
largeur du continuum. L’intégration de l ’exponentielle sur ωig fait alors apparaître la fonction 2π δ (t’-t ’’). On
obtient donc finalement:
2 t
2π
˜ champ E − (r,t')E + (r,t') Ψ
˜ champ
Pe (t) = 2 κ 0 ∫0 Ψ
!
(2 − 81)
La dérivée dPe (t)/dt représente la probabilité de
détecter un processus de photo-ionisation par unité de
temps à l ’instant t, à l ’aide d’un atome en r. C’est le
taux de comptage simple w1 (r,t):
2
dP (t) 2π
˜ champ E − (r,t)E + (r,t) Ψ
˜ champ
w1 (r,t) = e = 2 κ 0 Ψ
dt
!
(2 − 82)
w1 (r,t) est proportionnel à la valeur moyenne dans
l ’état du champ de l ’opérateur hermitique
E(r,t)E+(r,t), produit des parties de fréquence négative
et positives du champ électrique (attention à l ’ordre:
la partie de fréquence positive est à droite).
Si l’état du champ est connu par son opérateur
densité ρchamp, le taux de comptage devient:
[
]
2π
2
Tr ρ champ E − (r, t) E + (r, t)
κ
2
0
!
(2 − 83)
w1 (r, t) =
On définit de même le taux de comptage double
décrivant la probabilité de détecter une photoionisation au point r, dans un intervalle de temps
unité autour de t et une photo-ionisation au point
r’, dans l ’intervalle unité autour de t’:
w 2 ( r, t; r', t')
∝ Tr
[ρ
champ
E − ( r, t) E − ( r', t')E + ( r', t') E + (r, t)
(2 − 84)
]