PDF /UPL54871_SHaroche_291002

Chaire de physique quantique. Année 2002-2003. Deuxième leçon (29 Octobre 2002)
Survol de l ’optique quantique
Les superpositions macroscopiques d ’états (SME) que nous considèrerons dans ce cours
impliquent soit des photons, soit des bosons condensés. Pour comprendre ces systèmes, le
formalisme de l’optique quantique joue donc un rôle essentiel, soit de façon directe (cas des
photons) soit en raison de l’analogie entre condensats atomiques et champs
électromagnétiques (cas des bosons).
Cette leçon est donc consacrée à un survol du formalisme utile de l ’optique quantique. Nous
commencerons par rappeler l ’analogie entre le champ électromagnétique et un ensemble
d ’oscillateurs harmoniques quantifiés caractérisés par leurs opérateurs de création et
d ’annihilation de photons. Nous introduirons ensuite les observables importantes du champ
(énergie, nombre de photons et quadratures). Puis nous décrirons des états du champ
associés à un seul mode, en insistant particulièrement sur les états cohérents ou états quasi-
classiques du champ et sur leurs superpositions (états « chats de Schrödinger »). Nous
rappellerons ensuite comment on peut décrire le couplage du champ avec des atomes et nous
montrerons comment une source atomique permet de générer des photons uniques alors
qu ’une source de courant classique crée des champs cohérents. Nous présenterons enfin un
modèle simple de détecteur de photons et parlerons de signaux de comptage de photons
simple et double.

Décomposition du champ électromagnétique libre en ondes planes
ε
jkj
ε
j’
κ
j= kj/ | kj|
aj( t ) = aj( 0 ) e-i
ω
jt:variables normales
ω
j= c |kj|
Potentiel
vecteur
Champ électrique
Champ magnétique
A
(
r
,
t
)
=
A
j
a
j
ε
j
e
i
k
j
.
r
+
a
j
*
ε
j
*
e
−
i
k
j
.
r
j
∑
(
2
−
1
)
E
(
r
,
t
)
= −
d
A
(
r
,
t
)
dt
=
i
E
j
a
j
ε
j
e
i
k
j
.
r
−
a
j
*
ε
j
*
e
−
i
k
j
.
r
j
∑
;
(
E
j
= ω
j
A
j
)
(
2
−
2
)
B
(
r
,
t
)
= ∇×
A
(
r
,
t
)
=
i
E
j
c
a
j
κ
j
× ε
j
e
i
k
j
.
r
−
a
j
*
κ
j
× ε
j
*
e
−
i
k
j
.
r
j
∑
(
2
−
3
)

L
Σ
j
← → 
2
L
2
π
3
d
3
k
∫∫∫
Kx= nx2
π
/ L,
ky= ny2
π
/ L,
kz= nz2
π
/ L
Somme discrète de modes
(« boîte de quantification ») Hamiltonien (énergie) du champ:
E
j
=
!
ω
j
2
ε
0
L
3
avec:
Quantification (opérateurs d ’annilation et
de création de quanta):
Les opérateurs sont représentés «sans chapeau»
dans la suite
Le champ est une somme d ’oscillateurs harmoniques
indépendants
H
=
ε
0
2
E
2
+
c
2
B
2
∫∫∫
d
3
r
= ε
0
L
3
E
j
2
j
∑
a
j
a
j
*
+
a
j
*
a
j
( )
(
2
−
4
)
H
=
!
ω
j
2
j
∑
a
j
a
j
*
+
a
j
*
a
j
( )
(
2
−
5
)
H
=
!
ω
j
j
∑
X
j
2
+
P
j
2
( )
(
2
−
6
)
a
j
=
m
ω
j
/
2
!
x
j
+
(
i
/
2
m
!
ω
j
)
p
j
=
X
j
+
iP
j
(
2
−
7
)
x
j
→
ˆ
x
j
;
p
j
→
ˆ
p
j
avec
ˆ
x
j
,
ˆ
p
k
[ ]=
i
!
δ
jk
(
2
−
8
)
→
ˆ
X
j
,
ˆ
P
k
[ ]=
i
2
δ
jk
→
ˆ
a
j
,
ˆ
a
k
+
[ ]=
δ
jk
(
2
−
9
)

Quantification en onde plane ou ondes stationnaires d’une cavité
r
L=p
λ/2
Opérateurs associé à un mode (k
, ε)
dans
le point de vue de Heisenberg:
Fluctuations du vide ou
« champ par photon » dans la
boîte de quantification de
volume V=L3
L est souvent un paramètre de quantification que
l ’on fait tendre vers l ’infini à la fin des calculs, de
façon à retrouver un continuum de modes. Le
champ par photon tend alors vers 0. Dans le cas
de l ’Electrodynamique en cavité, le volume V de
quantification reste fini et a un sens physique
précis: c ’est le volume physique de la cavité réelle
dans laquelle le champ est confiné.
( Dans le point de vue de Schrödinger où E ne dépend
pas de t, le champ est donné par les expressions ci-
dessus où a(t) est remplacé par a)
a
t
( )=
a
0
( )
e
−
i
ω
t
(
2
−
10
)
E
r
,
t
( )=
i
!
ω
2
ε
0
L
3
ε
a
(
t
)
e
i
k
.
r
−
a
+
(
t
)
e
−
i
k
.
r
(
2
−
11
)
H
=
!
ω
a
+
a
+
1
2
(
2
−
12
)
E
0
=
!
ω
2
ε
0
L
3
(
2
−
13
)
Au lieu de décomposer le champ en ondes planes,
on le décompose alors sur les ondes stationnaires
qui satisfont les conditions aux limites de la cavité.
Le champ dans un de ces modes s ’écrit (point de
vue de Schrödinger):
où f (r) est la fonction décrivant la variation
spatiale du champ dans le mode.Le volume du
mode est:
et le champ par photon:
z
f
(
r
,
z
=
0
)
=
exp
−
r
2
/
w
2
( )
;
Cavité Fabry-Perrot: le mode de symétrie
cylindrique correspond à une onde sinusoidale
stationnaire le long de 0z multipliée par une
Gaussienne de
largeur wdans la
direction transverse
w
V
=
π
4
Lw
2
E
(
r
)
=
i
E
0
ε
a
f
r
()−
a
+
f
*
r
()
(
2
−
14
)
V
=
f
r
()
∫∫∫
2
d
3
r
(
2
−
15
)
E
0
=
!
ω
2
ε
0
V
(
2
−
16
)

;
Opérateurs quadrature du champ
Opérateurs qui dans chaque mode correspondent aux
observables Xet Pde l’oscillateur:
et de façon plus générale les combinaisons de a et a+
dépendant d ’une phase
ϕ
de la forme
qui satisfont les relations de commutation:
Si on préfère introduire des quantités ayant la
dimension d ’un champ électrique, on écrira plutôt:
X
ϕ
E
=
E
0
X
ϕ
Voir plus loin comment on mesure ces observables
correspondant aux «relations d ’incertitude»:
X
=
a
+
a
+
2
;
P
=
a
−
a
+
2
i
=
e
−
i
π
/
2
a
+
e
i
π
/
2
a
+
2
(
2
−
17
)
X
ϕ
=
e
−
i
ϕ
a
+
e
i
ϕ
a
+
2
;
X
ϕ + π
/
2
=
e
−
i
ϕ
a
−
e
i
ϕ
a
+
2
i
(
2
−
18
)
X
ϕ
,
X
ϕ + π
/
2
[ ]=
i
2
(
2
−
19
)
∆
X
ϕ
∆
X
ϕ + π
/
2
≥
1
4
(
2
−
20
)
X
ϕ
E
,
X
ϕ + π
/
2
E
[ ]=
iE
0
2
/
2
=
i
!
ω
4
ε
0
V
∆
X
ϕ
E
∆
X
ϕ + π
/
2
E
≥
E
0
2
4
=
!
ω
8
ε
0
V
(
2
−
21
)
Base des états propres d ’une
quadrature (
analogie avec un oscillateur mécanique)
L ’état propre de la quadrature X
ϕ
correspondant à la valeur propre réelle
continue x sera noté |x>
ϕ :
Les états |x>
ϕ
, non normalisables, obéissent aux
relations d’orthogonalité et de fermeture:
et le passage d ’une base | x>
ϕ
à la base de
l ’observable conjuguée | x>
ϕ+π/2
s ’écrit
(transformation de Fourier) :
X
ϕ
x
ϕ
=
x
x
ϕ
(
2
−
22
)
ϕ
x
x
'
ϕ
= δ
(
x
−
x
'
);
x
∫
ϕ ϕ
x
dx
=
1
(
2
−
23
)
x
ϕ + π
/
2
=
dy
y
∫
ϕϕ
y
x
ϕ + π
/
2
=
1
π
dy
e
2
i
x
y
y
∫
ϕ
(
2
−
24
)
Facteur 2 à cause du choix de normalisation des
variables conjuguées (1/2 dans Eq.2-19)