Calcul matriciel et syst`emes linéaires

Calcul matriciel et syst`emes
lin´eaires
Jocelyne Erhel Nabil Nassif Bernard Philippe
INSA
Ann´ee 2012
Rennes

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Contents
1 Bases de l’alg`ebre lin´eaire 5
1.1 Espaces vectoriels et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Matrices et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Matrices carr´ees et matrices particuli`eres . . . . . . . 5
1.2.2 Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Matrices sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Partitions par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Produit scalaire et normes vectorielles . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Orthogonalit´e dans Rn...................... 9
1.6 Image, noyau, rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Matrices de rang k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6.2 Matrices de rang 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Notions de complexit´e et de performances . . . . . . . . . . . 13
1.8 Biblioth`eques BLAS et LAPACK . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.1 Op´erations BLAS1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.2 Op´erations BLAS2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8.3 Op´erations BLAS3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.4 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8.5 biblioth`eque LAPACK . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 R´esolution de syst`emes lin´eaires par des m´ethodes directes 19
2.1 Inverse d’une matrice carr´ee et syst`emes lin´eaires . . . . . . . 19
2.1.1 Inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Matrices particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 R´esolution d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . 21
2.2 FactorisationLU ......................... 21
2.2.1 Pivot partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Factorisation par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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4CONTENTS
2.3 Factorisation de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Algorithme de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Stabilit´e num´erique de Cholesky . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Conditionnement d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Lien avec le r´esidu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 R´esidu it´eratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 M´ethodes directes pour des syst`emes lin´eaires de grande
taille 31
3.1 Stockage des matrices creuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Produit matrice-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Factorisation de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Stockages bande et profil . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Remplissage dans le stockage compact . . . . . . . . . 33
3.3.3 Factorisation symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.4 Renum´erotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.5 Factorisation num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.6 R´esolution......................... 36
3.4 Factorisation LU ......................... 36
3.5 Exemples de logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chapter 1
Bases de l’alg`ebre lin´eaire
Ce chapitre introduit les notations et les op´erations de base sur l’alg`ebre des
matrices. Il se termine par des notions de complexit´e et de performances et
par la description des biblioth`eques BLAS et LAPACK.
1.1 Espaces vectoriels et vecteurs
On note Rnun espace vectoriel de dimension n.
La base canonique de Rnest (e1, . . . , en).
Un vecteur x∈Rn, de composantes x1, . . . , xn, est not´e x= (xi).
Les vecteurs sont not´es verticalement.
1.2 Matrices et vecteurs
Une matrice A∈Rm×nest not´ee A= (aij ).
Le jeme vecteur colonne de Aest aj=Aej.
Un syst`eme de nvecteurs u1, . . . , un∈Rmest not´e sous forme matricielle
U= (u1. . . un)∈Rm×n, avec ujle jeme vecteur colonne de U.
On note V ect(U) le sous-espace vectoriel (sev) engendr´e par les vecteurs
colonnes de U.
Si Uest un syst`eme libre de kvecteurs, V ect(U) est un sev de dimension k.
1.2.1 Matrices carr´ees et matrices particuli`eres
Une matrice A∈Rm×nest carr´ee d’ordre nsi n=m.
La trace d’une matrice carr´ee Ad’ordre nest la somme de ses ´el´ements
diagonaux : tr(A) = Pn
i=1 aii.
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