Probabilités, variables aléatoires discrètes

ECS2, Exercices chapitre 11 Décembre 2010
Probabilités, variables aléatoires discrètes
1 Exercice Quelques exemples parmi les grands classiques
1. On tire une main de 5 cartes d’un jeu “normal” de 32 cartes. (il y a 8 niveaux : A, R, D, V, 10 ,9, 8, 7 et 4 couleurs).
Quelles sont les probabilités des événements :
a il y a un full” (3 cartes de même niveau et 2 cartes de même niveau,
b. “il y a une paire” (2 cartes de même niveau et 3 autres cartes de niveaux différents).
c. “il y a deux paires” (donc 2 fois 2 cartes d’un même niveau et une 5
i`eme
carte d’un 3
i`eme
niveau) .
d. Est-il normal qu’au poker une quinte (5 cartes qui se suivent, de couleurs quelconques) soit moins forte qu’une couleur
(5 cartes de la même couleur) ?
2. On tire successivement nboules d’une urne, en les remettant après chaque tirage.
L’urne contient 20% de boules rouges, 30% de boules vertes et 50% de bleues. Si a,bet csont trois entiers tels que
a+b+c=n, on note E(a, b, c)l’événement: “au cours des ntirages, on a obtenu aboules rouges, bboules vertes et c
boules bleues”.Calculer les probabilités des événements : E(0,4,6) ;E(2,3,5) ;E(a, b, c).
3. On dispose de dés cubiques normaux, et on effectue des lancers successifs.
a. On effectue une suite de nlancers d’un dé, on note p
n
la probablité d’obtenir au moins une fois un “as”.
b. On effectue une suite de nlancers de 2 dés, on note p
′
n
la probabilité d’obtenir au moins une fois “2 as”.
c. On effectue une suite de 2nlancers d’un dé, on note p
′′
n
la probabilité d’obtenir au moins 2 fois un “as”.
Calculer p
n
, p
′
n
et p
′′
n
. Le problème du chevalier de Méré est le suivant : est-ce que p
′
n
=p
′′
n
?
4. L’urne Ucontient nboules blanches et 4nboules noires.
a. Si k∈ {0, ..., 4n}, on tire en une seule fois une poignée de kboules ;calculer la probabilité P
j
de l’événement : “il y
ajboules blanches parmi les kboules tirées”.
b. On choisit k=n: à l’aide de l’expression de P
j
en fonction de jet n, démontrer que :
n
j=0
n
j
∗
4n
j
=
5n
n
.
5. On range nlivres au hasard sur 3 étagères.
Si n≥3, on note E
n
l’événement “il y a au moins un livre sur chacune des 3 étagères ”.
a. Quelle est la probabilité de l’événement E
3
? celle de E
n
?
b. A partir de quelle valeur de n, cette probabilité est-elle supérieure à 0,9 ?
6. Six couples arrivent à une soirée pour danser
Pour une danse donnée, le choix des partenaires se fait au hasard : quelle est la probabilité pour que les 6 couples de départ
se retrouvent ? Qu’il y en ait 5 qui se retrouvent ? Qu’il y en ait 4 qui se retrouvent ? Qu’il y en ait 0 qui se retrouve ?
Indication : on suppose qu’il y a n couples en tout. On peut noter A
i
l’événement le couple n
◦
i se retrouve, calculer les probabilités P(A
i
) ,
P(A
i
1
∩A
i
2
) , P(A
i
1
∩A
i
2
∩... ∩A
i
k
) , pour i , i
1
...i
k
appartenant à {1, ..., n} , i
1
< ... < i
k
: la probabilité pour que 0 couple se
rencontre est : 1−P(A
1
∪A
2
∪... ∪A
n
), et il faut cribler...
Rép. 1. 8
4
3
7
4
2
/
32
5
;8
4
2
7
3
4
3
/
32
5
;
8
2
4
2
2
6 * 4/
32
5
;d. 5∗4
5
-16/
32
5
>4
8
5
-16/
32
5
2.
10
4
3
10
4
5
10
6
;
10
2
8
3
2
10
2
3
10
3
5
10
6
;
n
a
n−a
b
2
10
a
3
10
b
5
10
c
3. 1−
5
6
n
;1−
35
36
n
;1−
5
6
2n
−n
1
6
5
6
2n−1
.
4. a. P
j
=
k
j
4n
k−j
/
5n
k
;b- P
j
=
n
j
4n
n−j
/
5n
n
=
n
n−j
4n
j
/
5n
n
et
n
j=0
P
j
=
n
j
4n
j
/
5n
n
= 1...
5. P(E
3
) =
3!
3
3
, P (E
n
) = 1 +
3
3
n
−
3∗2
n
3
n
>0.9⇔n≥9.
6. p
6
=
1
6!
;p
5
=0 ;p
4
=
6
2
/6! ;p
3
=2 *
6
3
/6! (ça devient plus délicat après) ;P(A
i
) =
5!
6!
, P (A
i
∩A
j
) =
4!
6!
, ...,
p
0
= 1 −
6
1
5!
6!
+
6
2
4!
6!
−
6
3
3!
6!
+
6
4
2!
6!
−
6
5
1!
6!
+
1
6!
=
53
144
2 Exercice Probabilités conditionnelles, probabilités composées
1. On pioche successivement (sans remise) des cartes parmi les 52 cartes jusqu’à épuisement du paquet.
Déterminer les probabilités des événements qui suivent :
a. “ la k
i`eme
carte tirée est le roi de coeur ” (kétant compris entre 1 et 52).
b. “ la k
i`eme
carte tirée est le Roi de coeur, Dame et Valet de Coeur ayant été tirés auparavant” (k∈ {3, ..., 52}).
(Dans les premier cas la somme des probabilités trouvées p
k
est égale à 1, dans le deuxième, c’est
1
3
! Interpréter).
2. On effectue des tirages successifs sans remise dans une urne U.
L’urne Ucontient une boule blanche, trois boules noires et rboules rouges.
Si on a tiré la boule blanche, on a gagné. Si on a tiré une boule noire, on a perdu. Et si on a tiré une boule rouge, on retire
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

ECS2, Exercices chapitre 11 Probabilités, variables aléatoires discrètes 2
une autre boule. (La partie se termine en moins de r+ 4 coups).
a. Si p
r
désigne la probabilité de gagner lorsque l’urne contient rboules rouges, calculer p
0
et p
1
.
b. Démontrer l’égalité : ∀r∈N
∗
, p
r
=
1
r+4
+
r
r+4
p
r−1
. En déduire la valeur de p
r
en fonction de r.
3. Monsieur Xa deux enfants, madame Yle sait, mais ne sait pas si ce sont des filles ou des garçons.
On suppose que les probabilités pour chaque enfant d’être une fille est égale à 0,5 (de façon indépendante).
a. Quelle est la probabilité pour Monsieur Xait deux filles sachant que c’est une fille qui a ouvert la porte à Madame Y
lorsque celle-ci a sonné au domicile de Monsieur X?
b. Quelle est la probabilité pour Monsieur Xait deux filles sachant que Monsieur Xa au moins une fille ?
4. On veut mettre au point un test pour repérer les conducteurs de voiture en état d’ébriété. On a constaté :
* Si un individu est en état d’ébriété (>0.5 g/l d’alcool dans le sang) le test est positif dans 99% des cas.
* Dans le cas où un individu n’est pas en état d’ébriété, le test est négatif dans 96% des cas.
On estime que le pourcentage des conducteurs qui roulent en état d’ébriété est environ de 8% (cela a été mesuré grâce à des
tests plus précis, dans une région très précise, à certains horaires particuliers...).
Un conducteur est contrôlé positif : quelle est la probabilité qu’il soit réellement en état d’ébriété ?
5. Dans une famille de nenfants, on suppose que l’arrivée des garçons et des filles est équiprobables.
Comment faut-il choisir n(n≥2) pour que les événements A=“avoir au moins deux filles” et B=“n’avoir que des enfants
du même sexe” soient indépendants ?
Rép. 1.
51
52
∗
50
51
∗... ∗
53−k
54−k
∗
1
53−k
=
1
52
;
k−1
2
2∗1∗49∗48...(53−k)∗1
52∗51∗...∗(54−k)(53−k)
=
(k−1)(k−2)
52∗51∗50
et
52
k=2
(k−1)(k−2)
52∗51∗50
=
1
3
2. p
0
=
1
4
, p
1
=
1
5
+
1
5
1
4
,on tire la blanche ou une rouge et on recommence avec r−1rouges, p
r
=
1
4
.
3. P(FO) = P(F F ) + P(F G ∩F O) + P(GF ∩F O) =
1
4
+
1
2
1
4
+
1
2
1
4
=
1
2
⇒P
F O
(F F ) =
P(F F ∩F O)
P(F O)
=
1/4
1/2
=
1
2
.
P(au moins 1 F) = P(F F ) + P(F G) + P(GF ) =
3
4
, P (F F/au moins 1 F) =
1/4
3/4
=
1
3
.
4. On sait P
E
(+)=
P(+∩E)
P(E)
=0.99
P
E
(−) =
P
(
−∩E
)
P
(
E
)= 0.96,
P(E) = 0.08
P(+ ∩E)=0.0792 P(− ∩ E)=0.0008 P(E)=0.08
P+∩E=... P− ∩ E=0.96 ∗0.92 PE=0.92
P(+)=.... P(−)=0.884 1
P(−) = 0.884,
P(+) = 0.116,
P
+
(E)=
0.0792
0.116
≃0.6
8
5. P(A) =
2
n
−1−n
2
n
;P(B) =
2
2
n
;P(A∩B) =
2
n
−1−n
2
n
∗
2
2
n
=
1
2
n
,indépendants ⇔n= 3
3 Exercice Des espaces probabilisés non finis
On effectue des lancers successifs d’un dé cubique, dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note E
k
l’événement “le premier as est sorti au k
i`eme
essai”, et F
h
l’événement “le numéro pair est sorti au h
i`eme
essai”.
1. Quelles sont les probabilités des événements E
1
?F
1
?E
k
?F
h
?
2. Comment s’énonce les événements ∪
k∈N
∗
E
k
?∪
h∈N
∗
F
h
? et quelles sont leurs probabilités respectives ?
3. Mêmes questions avec ∪
k≥2
E
k
?∪
k≤n
E
k
?∪
k≥n+1
E
k
?∪
k∈N
∗
E
2k
?
4. Si h≤k, quelle est la probabilité de l’événement F
h
∩E
k
?
Énoncer et calculer les probabilités des événements A=F
h
∩∪
k>h
E
k
;A
′
=∪
h∈N
∗
(F
h
∩E
h+2
) ; A
′′
=∪
0<h<k
(F
h
∩E
k
).
Rép. 1.P(E
k
) = 
5
6
k−11
6
;P(F
h
) = 
1
2
h
;2. P∪
k∈N
∗
E
k
=P∪
h∈N
∗
F
h
= 1.
3.
+∞
k=2
P(E
k
) =
5
6
;
n
k=1
P(E
k
) = 1 −
5
6
n
;
+∞
k=n+1
P(E
k
) = 
5
6
n
;
+∞
k=1
P(E
2k
) =
5
11
.
4. P(F
h
∩E
k
)=
1
3
h−11
2
5
6
k−h−11
6
;P(A)=
1
3
h−11
2
;P(A
′
)=
5
48
;P(A
′′
)=
+∞
h=1
+∞
k=h+1
1
3
h−11
2
5
6
k−h−11
6
=
3
4
4 Exercice L’urne U, au contenu évolutif, contient au départ 1 boule blanche et nboules noires (n≥1).
1. On effectue des tirages successifs de la façon suivante :
– si au k
i`eme
tirage on tire la boule blanche, on s’arrête, on a gagné ;
– si au k
i`eme
tirage on tire une boule noire, alors on remet la boule noire dans l’urne, on ajoute une boule noire en plus dans
l’urne Uet on procède au (k+ 1)
i`eme
tirage.
On note B
k
(resp. N
k
) les événements “on a effectué (k−1) tirages sans obtenir la boule blanche, et le k
i`eme
tirage apporte
la boule blanche [resp. une boule noire]”. Calculer les probabilités des événements (après les avoir “renommé” ) :
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence.

ECS2, Exercices chapitre 11 Probabilités, variables aléatoires discrètes 3
B
k
;N
k
;∪
h≤k
B
h
;
c
(B
k
∪N
k
);∪
k≥1
N
k
;∪
k≥1
B
k
;∩
k≥1
N
k
.
2. L’urne Ucontient au départ 1 boule blanche et 1 noire, on répète les tirages jusqu’à ce qu’on obtienne la boule blanche, mais
ici on rajoute après le k
i`eme
tirage autant de boules noires en cas d’échec qu’il y avait de boules dans l’urne avant le k
i`eme
tirage (donc le nombre de boules double à chaque fois).
a. Écrire sous forme de produit les probabilités de B
k
;N
k
.
b. Montrer que la suite (ln(P(N
k
)))
k≥1
converge et en déduire que P∩
n≥1
N
k
>0. Iinterpréter.
Rép.1. P(B
k
)=
1
2
2
3
...
k−1
k
1
k+1
=
1
k(k+1)
;P(N
k
)=
1
k+1
;P(
c
(B
k
∪N
k
))=1-
1
k
;P∪
k≥1
N
k
=
1
2
;P∪
k≥1
B
k
=1;
P∩
k≥1
N
k
=0.2. P(B
k
) =
1
2
2
2
−1
2
2
...
2
k−1
−1
2
k−1
1
2
k
;P(N
k
) =
1
2
2
2
−1
2
2
...
2
k
−1
2
k
;ln(P(N
k
)) =
k
h=1
ln 1−
1
2
h
→
k→∞
≈ −1.24
5 Exercice Tournoi à 3 joueurs, chacun lance un dé normal à son tour, le gagnant est le premier qui obtient “6”.
On note A, B et C3 joueurs, qui jouent dans l’ordre A, B, C, A, B, ... jusqu
′
à ce que l’un obtienne un 6.
1. Quelle est la probabilités des événements : “Agagne au (3k+ 1)
`eme
coup”? “Bgagne au (3k+ 2)
`eme
coup”? “Cgagne au
(3k+ 3)
`eme
coup”? Agagne ? Bgagne ? Cgagne ? La partie se termine t-elle “ps” (presque sûrement) ?
2. Alance le premier et perd. Quelle est alors la probabilité des événements Agagne ? Bgagne ? Cgagne ?
Rép. 1. P(A
3k+1
) = 
5
6
3k1
6
, P (B
3k+2
) = 
5
6
3k+1 1
6
, P (C
3k+3
) = 
5
6
3k+2 1
6
, P (A) =
36
91
,P(B) =
30
91
, P (C) =
25
91
2. P
[A perd le 1er coup]
(A) =
25
91
, P
[A perd le 1er coup]
(B) =
36
91
, P
[A perd le 1er coup]
(C) =
30
91
6 Exercice Succès consécutifs
Un joueur lance une pièce qui donne “pile” avec la probabilité p, et “face” avec la probabilité q= 1 −p.
Le joueur veut réaliser l’événement suivant : “obtenir 2 fois pile à la suite”, et on note p
n
la probabilité de l’événement E
n
:
“le deuxième pile a été obtenu lors du n
i`eme
lancer”.
On note B
n
l’événement “on a obtenu au moins une fois 2 pile à la suite au cours des npremiers lancers.
1. a. Déterminer les probabilité p
1
, p
2
, p
3
, p
4
.
b. Calculer P(B
i
)pour i∈ {1,2,3,4}.Démontrer que la suite (B
n
)est une suite croissante d’événements.
2. a. Démontrer que p(B
n
) =
n
k=2
p
k
,et que p
n+3
=P(E
n+3
) = (1 −P(B
n
)) qp
2
.
b. En déduire que p
n+2
−p
n+3
=qp
2
p
n
.
3. a. Montrer que l’ensemble Udes suites numériques (u
n
)
n∈N
∗
qui vérifient la relation de récurrence :
“∀n∈N, u
n+3
−u
n+2
+qp
2
u
n
= 0” est muni d’une structure d’espace vectoriel de dimension 3.
b. Démontrer que la suite (r
n
)appartient à Usi et seulement si r
3
−r
2
=p
3
−p
2
.Démontrer que cette équation possède 3
racines réelles.
c. On choisit d’étudier le cas p=
3
7
: démontrer que les racines de cette équation sont p=
3
7
,
6
7
et −
2
7
.
En déduire pour cette valeur de pune base de U.
d. On donne 
1 1 1
3 6 −2
9 36 4
−1
=
4
5
4
15
−
1
15
−
1
4
−
1
24
1
24
9
20
−
9
40
1
40
: déterminer p
n
en fonction de n.
Rép. 1. p
1
= 0, p
2
=p
2
, p
3
=qp
2
, p
4
=qp
2
, P (B
n+1
) = P(B
n
) + p
n+1
.
3. r
3
−r
2
=p
3
−p
2
a pour racines p,
1−p+
√
1+2p−3p
2
2
,
1−p−
√
1+2p−3p
2
2
, p
n
=
1
7
n
a3
n−1
+b6
n−1
+c(−2)
n−1
,(n≥1)
(a, b, c)solution de 
1
3
1
6
1
−2
9 36 4
a
b
c
=
0
9
36
,et p
n
=
9
8
1
7
n
6
n−1
−(−2)
n−1
.
7 Exercice Q.C.M.
1. Pour un Q.C.M., un candidat doit répondre à 20 questions choisies parmi 100. Comme il n’a pas révisé, il répond au hasard,
il a trois chances sur quatre de se tromper. Il marque 1 point chaque fois qu’il donne la bonne réponse. Quelle est la loi de la
variable aléatoire Xindiquant sa note ? A quelle note doit-il s’attendre en moyenne ?
2. On suppose que le candidat a révisé et qu’il connaît les réponses de 40 questions parmi les 100 qu’il devait préparer.
On tire 20 questions parmi ces 100, le candidat donne la bonne réponse s’il la connaît, une réponse au hasard sinon.
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence

ECS2, Exercices chapitre 11 Probabilités, variables aléatoires discrètes 4
Combien va-t-il marquer de points en moyenne s’il y est tombé sur kquestions qu’il connaissait ?
Combien va-t-il marquer de points au total en moyenne ?
Rép X ֒→ B20,
1
4
, E (X) = 5, 2.(X−k)
[kréponses connues]
suit B20 −k,
1
4
, E X
[kréponses connues]
=k+
20−k
4
E[X] = 11.
8 Exercice Mémoire d’un rat de laboratoire
Un rat de laboratoire est dans une cage comportant quatre portes. Trois des quatre portes sont munies d’un dispositif envoyant
à l’animal une décharge électrique. La quatrième laisse le passage libre et l’animal veut sortir par celle-là...
Soit Xla variable aléatoire égale au nombre d’essais effectués par le rat jusqu’à ce qu’il trouve la bonne porte. Déterminer la
loi de Xet son espérance dans chacun des cas suivants :
1. Le rat n’a aucune mémoire : il recommence ses tentatives sans tenir compte des échecs passés.
2. Le rat a une mémoire immédiate : il ne tient compte que de l’échec précédant sa nouvelle tentative.
3. Le rat a une bonne mémoire : il élimine les portes où il a échoué.
Rép. 1. Xsuit G
1
4
, E [X] = 4 ;2. (X−1)
[X≥2]
suit G
1
3
, E (X) =
13
4
;3. Xsuit U
{1,...,4}
, E (X) =
5
2
.
9 Exercice Epuiser des couleurs
Une urne contient 1 boule rouge, 2 vertes et 3 bleues. On effectue Xtirages successifs sans remise dans cette urne jusqu’à ce
qu’ il ne reste que des boules de la même couleur dans l’urne. Quelle est la loi de X?
Rép.Xprend les valeurs 3,4,5,avec les probabilités
1
20
,
13
60
,
11
15
.
10 Exercice Meilleure stratégie (et probabilités conditionnelles)
Un individu possède un trousseau de quatre clés deux à deux identiques, et on sait que deux des quatre clefs ouvre une des
quatre boîtes aux lettres d’un immeuble, (les autres clefs autres servant pour une boîte aux lettres d’un autre immeuble). Comme
c’est la pénombre, il n’arrive pas à repérer les clefs identiques. On suppose que chacune des clefs et chacune des boîtes aux
lettres a autant de chances d’être la bonne.
1. L’individu essaye d’ouvrir avec la première clef choisie au hasard les 4 boîtes, recommence avec la 2
i`eme
clef, puis la 3
i`eme
jusqu’à l’ouverture de la boîte : Xindique le nombre total d’essais. Quelle est la loi et l’espérance de X?
2. L’individu essaye trois clefs successivement sur la première boîte aux lettres, puis sur la 2
i`eme
boîte... jusqu’à ce qu’il ouvre
la boîte aux lettres : Yindique le nombre d’essais effectués. Quelle est la loi et l’espérance de Y?
Rép. le nombre d’essai pour la boîte suit U
{1,...,4}
,pour la clef il y a 1, 2 ou 3 essais, probabilités
1
2
,
1
3
,
1
6.
;
E(X) =
31
6
, E (Y) =
37
6
11 Exercice Loi d’une somme, d’un écart
1. On lance deux fois de suite un dé cubique équilibré. Quelle est la loi de la variable aléatoire réelle Sindiquant la somme des
2 dés ? Représenter graphiquement la loi, et la fonction de répartition associées à S.
2. On désigne par Zla variable aléatoire réelle égale à l’écart entre le nombre de points ramenés par les deux dés.
Quelle est la loi de Z? Quelle est son espérance ?
Rép. S{Ω}={2,3, ..., 12},E(S) = 7, S{Ω}={0,1, ..., 5},probabilités
6
36
,
10
36
,
8
36
,
6
36
,
4
36
,
2
36
et E(Z) =
35
18
12 Exercice Pari anglais
Le joueur commence par miser 1 Euro. Puis il choisit un numéro entre 1 et 6, comme il veut. Il lance 3 dés, et si le numéro qu’il
a choisi apparaît on commence par lui rembouser sa mise, et on lui donne en plus autant d’Euros que le nombre qu’il a misé
apparaît de fois. Quelle est l’espérance du gain ?
Rép. P(X=3) =
1
216
, P (X=2) =
15
216
, P (X=1) =
75
216
, P (X=−1) =
125
216
, E (X) = −
17
216
.
13 Exercice Loi du numéro moyen, du plus grand du plus petit
Une boîte contient njetons, numérotés de 1 à n. On tire simultanément 3 jetons, et on note Xle plus petit numéro des 3 jetons
tirés, Zle plus grand des 3 numéros et Yle troisième numéro (ou numéro médian).
1. Déterminer la probabilité de l’événement Y=k, pour kentier.
(Exemple : si k= 4 , le nombre de cas où Y= 4 est le nombre de couples (x, z) tels que (x, z)∈ {1, ..., 3} × {5, ..., n} )
2. Si F
Z
est la fonction de répartition de Z, calculer F
Z
(k), pour kentier. En déduire la loi de Z.
Comment aurait-on pu trouver directement la probabilité P(Z=k)sans utiliser la fonction de répartition ?
3. En raisonnant de façon symétrique, donner la loi de X.
4. Déterminer la loi de l’écart E=Z−Xentre le plus grand et le plus petit des trois numéros. Remarque ?
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence.

ECS2, Exercices chapitre 11 Probabilités, variables aléatoires discrètes 5
Rép. P(Y=k)=
6(k−1)(n−k)
n(n−1)(n−2)
, P (Z=k) =
3(k−1)(k−2)
n(n−1)(n−2)
, P (X=k) =
3(n−k)(n−k−1)
n(n−1)(n−2)
, P (E=k) = P(Y=k)mais E=Y
14 Exercice Faut-il rejouer ?
Une boîte contient nnuméros compris entre 1et n(npair).On tire l’un des nnuméros, et on a le droit de retirer un autre
numéro (après avoir remis le premier dans la boîte) si on trouve que le premier numéro tiré est trop petit : le nombre Xde points
marqués est celui du numéro tiré dans le 1
er
cas du dernier numéro tiré dans le 2
`eme
.
Stratégiquement, on se fixe une barre b(b∈ {1, ..., n})telle que, si le premier numéro tiré est inférieur ou égal à b, on refait un
deuxième tirage, sinon on se contente du premier numéro.
1. Calculer en fonction de bla probabilité de l’événement X=k, en distinguant les cas où k≤bet k > b.
2. Calculer l’espérance de X. Comment choisir bpour que cette espérance soit maximale ?
1. Rép.
b
n
2
ou
n+b
n
2
suivant qu’on rejoue ou non 2. E(X) =
n
2
+n+bn−b
2
2n
,maximum b=
n
2
, E (X)=
5n+4
8
15 Exercice Épuisement des boules blanches
1. Démontrer que : 
n−1
n−1
+
n
n−1
+... +
2n−1
n−1
=
2n
n
.
(Indication : étudier le coefficient du terme de degré n−1 du polynôme
2n−1
k=0
(1 + X)
k
).
2. Une urne contient nboules blanches et nnoires. On tire les boules une à une sans remise. On note Xle rang de sortie de la
dernière boule blanche. Quelle est la loi et l’espérance de. X?
Rép. P(X=k) = 
k−1
n−1
/
2n
n
, E (X) = 2n−1 +
1
n+1
.
16 Exercice Formule et loi d’une variable aléatoire X, à valeurs dans N
Existe-t-il un réel atel que l’on puisse avoir : ∀k∈N, P (X=k) = (ak + 1)e
−k
?
Rép.
+∞
k=0
(ak + 1)e
−k
=
ae
(e−1)
2
+
e
e−1
= 1 ⇔a=
1
e
−1<0,ça ne colle pas.
17 Exercice Loi du maximum, du minimum, cas d’un dé.
On lance ndés normaux et on note Xle plus grand et Yle plus petit des nnuméros tirés. (On peut choisir n= 5 si on veut)
1. Si F
X
est la fonction de répartition de la v.a.r. X: calculer la probabilité F
X
(k)pour k∈ {1, ..., 6}.
2. En déduire la loi de X. De façon symétrique, déterminer la loi de Y.
Rép. F
X
(k) = 
k
6
n
et P(X=k) = 
k
6
n
−
k
6
n−1
;.P(Y=k) = 
7−k
6
n
-
6−k
6
n
18 Exercice 3 joueurs A, B, C, lancent chacun à son tour une pièce équilibrée.
Au départ la mise est de 50 Euros chacun, le premier qui obtient Pile gagne un gros lot de 100 Euros, le 2
`eme
gagne 50 Euros, et
le 3
`eme
ne gagne rien, on peut cumuler les gains. Quelle est la loi du gain Xdu premier joueur A, la loi Ydu gain du deuxième
joueur B, et la loi du gain Zdu troisième joueur C? Quelles sont les espérances ?
Rép. P(X= 100) =
+∞
k=0
1
2
3k+1 +∞
k=0
1
2
3k+3
=
4
7
1
7
=
4
49
, P (X= 50) =
4
7
6
7
=
24
49
, P (X= 0) =
2
7
2
7
+
1
7
4
7
=
8
49
, P (X=−50) =
2
7
5
7
+
1
7
3
7
=
13
49
,E(X) =
950
49
,de même E(Y) = −
50
49
, E (Z) = −
900
49
.
19 Exercice Score final.
Un joueur de tennis gagne le point contre un adversaire précis dans 60% des cas. Quelle est la loi de l’écart Xentre les nombres
de balles gagnées entre les deux joueurs à l’issue d’un jeu.
(Les scores s’écrivent 15,30,40, puis “jeu” ou “avantage” ou “égalité” suivant qu’il y a 2 balles gagnées de plus, ou 1 ou 0)
Rép. P(X= 4)=0.6
4
+0.4
4
=0.1552, P (X=3)=0.96 0.4
3
+0.6
3
= 0.2688, P (X=2)=10 ×0.4
2
×0.6
2
=0.576
La partie finit presque sûrement : lim
n→∞
P(X > 2n) = P(“égalité après 2ncoups”) = lim
n→∞
5
2
0.4
2
0.6
2
×0.48
n−2
= 0
20 Exercice Suite de variable aléatoire avec probabilités conditionnelles.
On dispose de 10 boules, 8 blanches et 2 noires. On met dans chacune des urnes U
1
et U
2
4 boules blanches et une boule noire.
Puis on effectue une suite de “néchanges” qui consistent à prendre au hasard une boule dans U
1
et une boule dans U
2
et à placer
la première dans U
2
et la deuxième dans U
1
.X
n
est la v.a.r. qui indique le nombre de boules noires dans l’urne U
1
, à l’issue des
néchanges . On pose P(X
n
= 0) = u
n
,P(X
n
= 1) = v
n
,P(X
n
= 2) = w
n
.
Luc Bouttier, Lycée Camille Vernet, Valence