La loi multinomiale

Probabilités – La loi multinomiale
Dans de nombreuses applications une épreuve globale se décompose en n épreuves partielles successives.
Les issues possibles de l’univers E attaché à l’épreuve globale sont alors des n-uplets (a1,a2,a3,…,an).
Exemple 1 :
Une urne contient 3 boules blanches et 4 boules noires. On tire successivement 3 boules de l’urne,
sans remise.
a) Construire l’arbre illustrant l’épreuve globale.
b) Calculer la probabilité de l’événement A = {(b,b,n)}, notée pour la suite par abus de langage A = (b,b,n)
c) Calculer la probabilité de tirer une blanche en dernier.
d) Calculer la probabilité de tirer une noire en dernier si l’on a d’abord tiré deux blanches.
Rappel : Dans un arbre :
Règle 1 : La somme des probabilités des branches qui "partent" d'un nœud de l'arbre est égale à 1 (axiome).
Règle 2 : La probabilité d’un "chemin" est égale au produit des probabilités des branches
qui forment ce "chemin". (théorème page 45)
Règle 3 : La probabilité d’un événement qui est la réunion de plusieurs chemins est égale à la somme des
probabilités de ces chemins (car deux chemins différents sont toujours incompatibles - axiome).
Lorsqu’une épreuve globale est formée d’une succession d’épreuves indépendantes les unes des autres,
ce qui constitue un cas particulier du cas précédent, on peut décrire une loi de probabilité appelée
loi multinomiale.
* Commençons par étudier le cas particulier de la loi binomiale, lorsqu’à chaque tirage on a deux issues
possibles, c'est-à-dire que les ai sont soit un résultat, soit sa négation.
Exemple 2 :
Une urne contient 10 boules, dont 6 sont rouges et 4 sont vertes. On tire une boule de l’urne, on note sa
couleur, puis on remet la boule dans l’urne. On répète cette épreuve cinq fois de suite.
Calculer la probabilité :
a) d’obtenir 2 boules rouges et 3 boules vertes.
b) d’obtenir au moins une boule verte.
La loi binomiale : Dans une distribution binomiale, la probabilité p[(a1,a2,a3,…,an)] qu’un événement A de
probabilité p se présentent k fois dans une série de n épreuves successives indépendantes est donnée par :
p[(a1,a2,a3,…,an)] =
n
k
 
p k (1  p )( n  k ) = B(k,n,p)
Exemple 3 :
Dans une ville, 55% des électeurs votent à gauche et 45% à droite. A la sortie du bureau de vote on interroge
7 électeurs. Quelle est la probabilité que 4 électeurs aient voté à droite ?
Exemple 4 :
On jette 15 fois une pièce de monnaie, quelle est la probabilité d’obtenir 10 fois pile ?
* La loi multinomiale : D'une manière plus générale imaginons qu'une urne contienne des boules
de k couleurs différentes : c1, c2, c3, … ck . Supposons que les probabilités de tirer une boule de
couleur c1, respectivement c2, c3, … , c1k, à la ième épreuve soient pi(c1) = p1,
respectivement pi(c2) = p2 , … , pi(ck) = pk . On a évidement p1 + p2 + … + pk = 1.
Proposons-nous d'effectuer n tirages successifs intépendants (donc avec remise) et cherchons la
probabilité de l'événement A : " tirer au total n1 boules de couleur c1, n2 boules de couleurs c2, … , nk boules
de couleurs ck."
On a n1 + n2 + … + nk = n . Calculer p(A) =
Exemple 5 : Dans une ville, 50% des électeurs votent à gauche, 30% au centre et 20% à droite.
Quelle probabilité y a-t-il que sur 10 électeurs tirés au hasard il y en ait 5 qui votent à gauche,
3 au centre et 2 à droite ?
Exemple 6 : On jette une pièce de monnaie 10 fois de suite. Quelle probabilité a-t-on d'avoir
1
1
1
respectivement 4, 5, 6 fois pile, c'est-à-dire B(4,10, ) , B(5,10, ) , B(6,10, ) ?
2
2
2
Mais ces calculs s'avèrent longs et fastidieux. Peut-on calculer B(k-1,n,p) si l'on connaît B(k,n,p) ?