Aide-mémoire pour le cours de mécanique

Aide-mémoire pour le cours de
mécanique
Frédéric Chardard
2012-2013, Université Jean-Monnet,
5
semestre de licence de mathématiques
ème
1
Calcul différentiel
Définition 1 Une application f est dite différentiable en
x si il existe une application linéaire dfx telle que f (x +
h) − f (x) = dfx (h) + o(khk).
Définition 2 Soient E, F des espaces de Banach. Soit Ω
un ouvert de E. On dit que f : Ω → F est(de classe C 1 si f
Ω → L(E, F )
est différentiable et si l’application df :
x → dfx
est continue.
Définition 3 Soient E, F des espaces de Banach. Soit U
un ouvert de E et V un ouvert de F . On dit que f : U → V
est un difféomorphisme si f est bijective et si f et f −1 sont
de classe C 1 .
1
Théorème 4 (Inversion locale) Soient E, F des espaces
de Banach. Soit Ω un ouvert de E. Soit f : Ω → F une
fonction de classe C 1 . Soit x0 ∈ Ω tel que dfx0 soit inversible alors il existe
( U ouvert inclus dans Ω et V ouvert de
U →V
F tel que f˜ :
soit un difféomorphisme. De
x 7→ f (x)
plus :
d(f˜−1 )y = (dff˜−1 (y) )−1
2
Équations différentielles
Définition 5 Soient I un espace topologique, Ω un ouvert
d’un espace vectoriel normé, F un espace vectoriel normé,
f : I × Ω → F une fonction. On dit que f est localement
lipschitzienne par rapport à la seconde variable si pour tout
(t0 , x0 ) ∈ I×Ω, il existe un voisinage U de (t0 , x0 ) et k ∈ R
tel que :
∀(t, x), (t, x0 ) ∈ U
kf (t, x) − f (t, x0 )k ≤ kkx − x0 k
Dans toute cette section, on considère Ω un ouvert
de Rn , I intervalle de R et f : I × Ω → Rn une fonction continue localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable. Soient t0 ∈ I et x0 ∈ Ω.
Définition 6 On dit que x : J → Ω vérifie le problème de
Cauchy si x est dérivable, t0 ∈ J, J intervalle et :
(
x(t0 ) = x0
(1)
x0 (t) = f (t, x(t)) pour t ∈ J
2
Théorème 7 (Cauchy-Lipschitz) Il existe un intervalle
J tel que t0 ∈ J et J est un ouvert de I, une fonction de
classe C 1 x : J → Ω, tel que x soit solution du problème
de Cauchy.
De plus, si J˜ est un intervalle et si x̃ : J˜ → Ω vérifie le
problème de Cauchy, alors x̃ = x sur J˜ ∩ J.
Définition 8 Une solution x : J → Ω du problème de
Cauchy est dite maximale (J intervalle inclus dans I) si
pour tout x̃ : J˜ → Ω (J˜ intervalle inclus dans I) qui est
également solution du problème de Cauchy, on a J˜ ⊂ J.
Théorème 9 (Cauchy-Lipschitz global) Il existe une
unique solution x : J → Ω maximale au problème de Cauchy. De plus, J est un ouvert de I.
Théorème 10 (Explosion) Soit x : J → Ω la solution
maximale du problème de Cauchy. Si J 6= I, alors il existe
(tn )N ∈ J N telle que l’une des deux propositions suivantes
soit vraie :
– limn→∞ kx(tn )k = +∞
– limn→∞ x(tn ) ∈ ∂Ω
3
Problème d’Euler-Lagrange
Lemme
11 Soit F espace de dimension(finie. Soit φ :
(
R×F →R
C 0 ([a, b], F ) → R
Rb
de classe C 1 . Soit Φ :
(t, x) 7→ φ(t, x)
u 7→ a φ(t, u(t))dt
3
.
Alors Φ est différentiable et :
Z b
∂φ
dΦu (v) =
(t, u(t)), v(t) dt
∂x
a
où ∂φ
(t, x) ∈ L(F, R) est la différentielle de φ en (t, x) par
∂x
rapport la seconde variable et h, i le crochet de dualité 1 .
(
[a, b] × Rn × Rn → R
une
Proposition 12 Soit L :
(t, x, ẋ) 7→ L(t, x, ẋ)
1
fonction de
( classe C .
C 1 ([a, b], Rn ) → R
Rb
Soit A :
une fonctionnelle
γ 7→ a L(t, γ(t), γ 0 (t))dt
que l’on appelera action. Alors l’action A est différentiable
( 1. Une autre façon d’écrire ce lemme est que si φ :
[a, b] × Rn → R
est de classe C 1 , alors la fonc(t, x1 , . . . , xn ) 7→ φ(t, x1 , . . . , xn )
(
C 1 ([a, b], Rn ) → R
Rb
tionnelle Φ :
est différen(u1 , . . . , un ) 7→ a φ(t, u1 (t), . . . , un (t))
tiable et sa différentielle est :
Z bX
n
∂φ
(t, u1 (t), . . . , uj (t))hj (t)dt
dΦu1 ,...,un (h1 , . . . , hn ) =
∂x
j
a j=1
4
et 2 :
Z b
dAu (v) =
a
∂L
∂L
0
0
0
(t, u(t), u (t)), v(t) +
(t, u(t), u (t)), v (t) dt
∂x
∂ ẋ
Lemme 13 (du Bois-Reymond) Soit u ∈ C 0 ([a, b], Rn )
telle que :
Z b
1
n
hu(t), v 0 (t)idt = 0
∀v ∈ C ([a, b], R ) v(a) = v(b) = 0 ⇒
a
Alors f est un fonction affine.
Définition 14 (Problème d’Euler-Lagrange) On dit
que γ ∈ C 1 ([a, b], Rn ) est solution du problème d’EulerLagrange si :
∀v ∈ C 1 ([a, b], Rn ) v(a) = v(b) = 0 ⇒ dAγ (v) = 0
Une
autre
formulation
est
que
si
L
:
( 2.
[a, b] × Rn × Rn → R
est de
(t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn ) 7→ L(t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn )
(
C 1 ([a, b], R) × Rn
Rb
classe C 1 , alors A :
(γ1 , . . . , γn ) 7→ a φ(γ1 (t), . . . , γn (t), γ10 (t), . . . , γn0 (t))dt
est différentiable et :
Z
dAu (v) =
n
bX
a j=1
+
∂L
(t, u1 (t), . . . , un (t), u01 (t), . . . , u0n (t))vj (t)
∂xj
∂L
(t, u1 (t), . . . , un (t), u01 (t), . . . , u0n (t))vj0 (t)dt
∂ ẋj
5
où A est une fonctionnelle action du type de celle de la
proposition 12.
Théorème 15 (Équation d’Euler-Lagrange) γ ∈ C 1 ([a, b], Rn )
est solution problème d’Euler Lagrange si et seulement
si 3 :
0
L(t, γ(t),
– t 7→ ∂L
∂ ẋ
γ (t)) est dérivable, dont on notera la
d ∂L
dérivée t 7→ dt ∂ ẋ (t).
–
∂L
d ∂L
(t, γ(t), γ 0 (t))
(t) =
dt ∂ ẋ
∂x
( 3. Une autre façon d’écrire ces équations est que si L :
R × Rn × Rn → R
est de
(t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn ) 7→ L(t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn )
classe C 1 , et si
∀v ∈ C 1 ([a, b], Rn ) v(a) = v(b) = 0 ⇒ dAγ (v) = 0
(
C 1 ([a, b], Rn ) → R
Rb
avec A :
(γ1 , . . . , γn ) 7→ a φ(γ1 (t), . . . , γn (t), γ10 (t), . . . , γn0 (t))dt
(t, γ1 (t), . . . , γn (t)) est dérivable
alors pour j ∈ {1, . . . , n}, t 7→ ∂∂L
h ẋj i
∂L
d
de dérivée que l’on note t 7→ dt
∂ ẋj (t) et qui vérifie :
d ∂L
∂L
(t) =
(t, γ1 (t), . . . , γn (t), γ10 (t), . . . , γn0 (t))
dt ∂ ẋj
∂xj
6
4
Théorème de Noether
Définition 16 Soit L un lagrangien de classe C 1 . On dit
que L est invariant par un difféomorphisme θ : Rn → Rn
si :
∀(x, ẋ) ∈ (Rn )2
L(t, x, ẋ) = L(t, θ(x), dθx (ẋ))
Proposition 17 Soit γ une solution du problème d’EulerLagrange pour un lagrangien invariant par un difféomorphisme θ. Alors θ ◦ γ est aussi une solution du problème
d’Euler-Lagrange.
Théorème
( 18 (Noether) Soient L un lagrangien de classe
R × Rn → Rn
3
de classe C 2 tels que :
C ,h:
(s, x) → h(s, x)
– pour tout s, h(s, .) est un difféomorphisme
– h(0, x) = x
– h(s + r, .) = h(s, h(r, .))
– L soit invariant par h(s, .) pour tout s
Soit 4 I(t, x, ẋ) = h ∂L
(t, x, ẋ), ∂h
(0, x)i.
∂ ẋ
∂s
2
Soit γ une solution C du problème d’Euler-Lagrange, alors
I(t, γ(t), γ 0 (t)) est constante.
Théorème 19 (Conservation de l’énergie) Soit L un
4. Composante par composante,
Pncela donne :
∂hk
I(t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn ) = k=1 ∂∂L
ẋk (t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn ) ∂s (0, x1 , . . . , x
7
lagrangien de classe C 3 indépendant du temps. Soit 5 E(x, ẋ) =
h ∂L
, ẋi − L(t, x, ẋ).
∂ ẋ
Si γ est une solution C 2 du problème d’Euler-Lagrange,
alors E(γ, γ 0 ) est une constante.
5
Équations de Hamilton
(t, x, ẋ)
Théorème 20 Soit L un lagrangien C 3 tel que ẋ 7→ ∂L
∂ ẋ
soit un difféomorphisme de Rn dans Rn (en identifiant
L(Rn , R) et Rn ) pour tout(x et tout t.
R × Rn × Rn → R
On peut alors définir H :
comme
(t, q, p) 7→ H(t, q, p)
la fonction telle que :
∂L
∂L
H(t, x,
(t, x, ẋ)) = h (t, x, ẋ), ẋi − L(t, x, ẋ)
∂ ẋ
∂ ẋ
Alors, si γ est solution des équations d’Euler-Lagrange
si
∂L
0
et seulement si (q(t), p(t)) = γ(t), ∂ ẋ (t, γ(t), γ (t)) est
solution des équations de Hamilton 6 :
∂H
∂H
(t, q(t), p(t)), q 0 (t) =
(t, q(t), p(t))
p0 (t) = −
∂q
∂p
5. Composante
par P composante,
cela
donnne
n
E(x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn ) = k=1 ∂∂L
(t,
x
,
.
.
.
,
x
,
ẋ
,
.
.
.
,
ẋ
1
n
1
n )ẋk −
ẋk
L(t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn )
6.
Composante
par
composante,
il
faut
supposer
que
(ẋ1 , . . . , ẋn )
7→
∂L
(t,
x
,
.
.
.
,
x
,
ẋ
,
.
.
.
,
ẋ
),
.
.
.
,
(t,
x
,
.
.
.
,
x
,
ẋ
,
.
.
.
,
ẋ
))
( ∂∂L
1
n
1
n
1
n
1
n
ẋ1
∂ ẋn
est un difféomorphisme de Rn et que le lagrangien L est C 3 .
Le Hamiltonien est alors défini comme étant la fonction telle
8
Réciproquement, si (q, p) est solution des équations de Hamilton, alors γ = q est solution des équations d’EulerLagrange.
Proposition 21 Soit f : Rn → Rn de classe C 2 telle
que :
∀x ∈ Rn ∀v ∈ Rn d2 fx (v, v) ≥ αkvk2
(
Rn → Rn
Alors df :
est un difféomorphisme (en idenx 7→ dfx
tifiant L(Rn , R) et Rn ).
que :
(
pk = ∂∂L
ẋk (t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn )
Pn
H(t, x1 , . . . , xn , p1 , . . . pn ) = k=0 pk ẋk − L(t, x1 , . . . , xn , ẋ1 , . . . , ẋn )
Composante par composante, les équations de Hamilton s’écrivent :
(
∂H
(t, q1 (t), . . . , qn (t), p1 (t), . . . , pn (t))
p0k (t) = − ∂q
k
∂H
0
qk (t) = ∂pk (t, q1 (t), . . . , qn (t), p1 (t), . . . , pn (t))
Si
(γ1 , . . . , γn )
est
solution
des
équations
d’EulerLagrange
alors
(γ1 , . . . , γn , u1 , . . . , un )
(avec
uk
=
∂L
0
0
(t,
γ
(t),
.
.
.
,
γ
,
γ
(t),
.
.
.
,
γ
(t)))
est
solution
des
équations
1
n
n
1
∂ ẋk
de Hamilton.
Réciproquement si (q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) est solution des équations de Hamilton, alors (γ1 , . . . , γn ) = (q1 , . . . , qn ) est solution des
équations d’Euler-Lagrange.
9
6
Lois de Newton
Dans cette section on choisit une origine et on identifie les
points de l’espace affine avec son espace vectoriel.
Définition 22 (Produit vectoriel) Le produit vectoriel
étant défini comme l’opérateur bilinéaire ∧ : R3 ×R3 → R3
tel que hu, v ∧ wi = det(u, v, w) pour u, v, w ∈ R3 .
Ona alors
les propriétés
  suivantes:
 
x2 y3 − x3 y2
y1
x1





– x2 ∧ y2 = x3 y1 − x1 y3 
y3
x3
x1 y 2 − y 1 x2
– (Au) ∧ (Av) = Ã(u ∧ v) (Ã comatrice de A).
– (M u) ∧ (M v) = M (u ∧ v) si M M T = Id et det(M ) = 1.
Une force est définie par :
– le vecteur-force f~
– son point d’application ~x.
On appelle moment de cette force le vecteur ~x ∧ f~.
Proposition 23 (Première loi de Newton) Un point
matériel qui n’est soumis à aucune force est soit immobile,
soit en mouvement de translation rectiligne uniforme.
Proposition 24 (Deuxième loi de Newton) On considère un système physique. Alors il existe un vecteur p~ appelée quantité de mouvement cinétique telle que :
X
p~0 =
f~
(f~,~
x) force extérieure
10
Proposition 25 (Troisième loi de Newton) Soient SA
et SB deux systèmes physiques. Si SA exerce une force
f~A→B sur le système SB en ~xB , alors SB exerce une force
f~B→A sur le système SA et :
f~A→B + f~B→A = 0,
(~xB − ~xA ) ∧ f~A→B = 0.
Proposition 26 (Moment cinétique) On considère un
système physique. Alors il existe une quantité vectorielle
~σ telle que :
X
~x ∧ f~
~σ 0 =
(f~,~
x) force extérieure
Proposition 27 (Forces coulombiennes) Soient deux
particules A et B de charges qA et qB , de masses mA et
mB , situées en ~xA et ~xB . Alors elles exercent l’une sur
l’autre :
xA
– Une force électrostatique f~elec,A→B = −f~elec,B→A = qA qB 4π0~xk~Bx−~
xA k3
B −~
qui s’exercent en ~xB et ~xA .
−~
xA
– Une force de gravité f~grav,A→B = −f~grav,B→A = −GmA mB k~x~xBB−~
xA k3
qui s’exercent en ~xB et ~xA .
Proposition 28 (Point matériel) Un point matériel est
objet qui est entièrement décrit par sa masse m et sa trajectoire ~x(t). La quantité de mouvement cinétique et le
moment cinétique sont donnés par :
p~ = m~x0 ,
σ = ~x ∧ p~
11
Définition 29 On dit qu’un ouvert Ω de Rn est de classe
C 1 s’il existe G : Rn → R tel que Ω = G−1 (R) et dGx 6= 0
si G(x) = 0.
Le bord de Ω est alors ∂Ω = G−1 ({0}).
Pour ~x ∈ ∂Ω, on définit la normale extérieure par :
T
~ ~x = dGx
N
kdGx k
Proposition 30 (Forces de contact) On se place ici dans
le cas d’un point matériel P et d’un objet fixe Ω ouvert C 1
de R3 .
On dit qu’un point matériel P situé en ~x(t) est en contact
avec l’ouvert Ω de classe C 1 si ~x(t) ∈ ∂Ω.
~ ~x(t) + f~ la force exercée par l’objet Ω
On note f~Ω→P = αN
~ ~x(t) .
sur le point P , avec f~ orthogonal à N
Plusieurs types de contact sont possibles :
– Le contact adhérent. On a alors x0 (t) = 0. Il n’y a alors
aucune contrainte sur f~Ω→P .
– Le frottement avec glissement. On a alors x0 (t) 6= 0,
α ≥ 0, et 7 :
−~x0 (t)
~
µd kf~Ω→P k
f= 0
k~x (t)k
avec µs le coefficient de frottement avec glissement.
7. Si on note µ̃d = √ µd
1−µ2d
, alors µd kf~Ω→P k = µ̃d α.
12
– Le frottement statique. On a alors x0 (t) = 0, α ≥ 0 et 8 :
kf~k ≤ µs kfΩ→P k
avec µs le coefficient de frottement statique.
– Le glissement sans frottement. On a alors α ≥ 0 et f~ =
0.
Remarque : µs et µd sont des caractéristiques de l’objet Ω
et du point matériel.
7
Milieux continus
Proposition 31 (Représentation lagrangienne) Un milieu continu est un objet décrit par :
– Une distribution de masse µ : Ω → R dans un repère de
référence, avec Ω ouvert de R3 .
(
R × Ω → R3
– Un chemin de difféomorphismes ~x :
,
~ → ~x(t, X)
~
(t, X)
~ représente la trajectoire d’un des
tel que t → ~x(t, X)
~ → x(t, X)
~ soit un difféopoints du milieu continu et X
morphisme de Ω vers son image.
R
~ X.
~
La masse est donnée par m = Ω µ(X)d
R
~
~ X.
~
X)d
Le centre de gravité est donné par ~xG (t) = m1 Ω ~x(t, X)µ(
~ au temps t est donné
La vitesse du point situé en ~x(t, X)
x
~ La quantité de mouvement cinétique est donpar ∂~
(t, X).
∂t
8. Si on note µ̃s = √ µs
1−µ2s
, alors, kf~k ≤ µs kf~Ω→P k si et seule-
ment si kf~k ≤ µ̃s |α|.
13
née par :
Z
p~(t) =
Ω
~
µ(X)
∂~x ~ ~
(t, X)dX = m~x0G (t)
∂t
Le moment cinétique est donné par :
Z
~ x(t, X)
~ ∧ ∂~x (t, X)d
~ X
~
µ(X)~
~σ (t) =
∂t
Ω
L’énergie cinétique est donnée par :
2
Z
∂~x
1
~
~
~
µ(X) (t, X)
Ec (t) =
dX
2 Ω
∂t
Proposition 32 (Solide indéformable)R Quitte à trans~ Xd
~ X
~ =
later le repère de référence, on suppose que R3 µ(X)
0.
Un solide indéformable est un milieu continu tel que pour
tout temps, ~x(t, .) est un déplacement, c’est-à-dire qu’il
peut se mettre sous la forme :
~ = M (t)X
~ + ~xG (t),
~x(t, X)
M M T = Id,
det(M ) = 1
Soient : 


ν1 (t)
0
−ν3 (t)
0
T



ν3 (t)
0
−
– ~ν (t) = ν2 (t) le vecteur tel que M (t)M (t) =
ν3 (t)
−ν2 (t) ν1 (t)
soit la matrice de l’application ~x 7→ ~ν (t) ∧ ~x.
– I la matrice d’inertie définie comme étant la matrice
symétrique telle que :
Z
Z
~
~
~
~
~
~
~
~
~ X∧
~ Z,
~ X∧
~ Y~ idX
~
hZ, I Y i = hZ, µ(X)X∧(Y ∧X)dXi =
µ(X)h
Ω
Ω
14
On a alors :
∂~x ~
~ − ~xG (t))
(t, X) − ~x0G (t) = ~ν (t) ∧ (~x(t, X)
∂t
p~ = m~x0G
~σ = m~xG ∧ ~x0G + M IM T ~ν
~σ 0 = m~xG ∧ ~x00G + ~ν ∧ (M IM T ~ν ) + M IM T ~ν 0
1
1
Ec = mk~xG k2 + hM T ~ν , IM T ~ν i
2
2
Proposition 33 (Conservation de l’énergie) On considère un solide. Alors :
X
h~x0G (t) + ~ν (t) ∧ (~x − ~xG (t)), f~i.
Ec0 (t) =
(f~,~
x) force extérieure
15