Aide-mémoire pour le cours de mécanique

Aide-mémoire pour le cours de
mécanique
Frédéric Chardard
2012-2013, Université Jean-Monnet,
5ème semestre de licence de mathématiques
1 Calcul différentiel
Définition 1 Une application fest dite différentiable en
xsi il existe une application linéaire dfxtelle que f(x+
h)−f(x)=dfx(h) + o(khk).
Définition 2 Soient E, F des espaces de Banach. Soit Ω
un ouvert de E. On dit que f: Ω →Fest de classe C1si f
est différentiable et si l’application df:(Ω→ L(E, F )
x→dfx
est continue.
Définition 3 Soient E, F des espaces de Banach. Soit U
un ouvert de Eet Vun ouvert de F. On dit que f:U→V
est un difféomorphisme si fest bijective et si fet f−1sont
de classe C1.
1

Théorème 4 (Inversion locale) Soient E, F des espaces
de Banach. Soit Ωun ouvert de E. Soit f: Ω →Fune
fonction de classe C1. Soit x0∈Ωtel que dfx0soit inver-
sible alors il existe Uouvert inclus dans Ωet Vouvert de
Ftel que ˜ f:(U→V
x7→ f(x)soit un difféomorphisme. De
plus :
d( ˜ f−1)y= (df˜
f−1(y))−1
2 Équations différentielles
Définition 5 Soient Iun espace topologique, Ωun ouvert
d’un espace vectoriel normé, Fun espace vectoriel normé,
f:I×Ω→Fune fonction. On dit que fest localement
lipschitzienne par rapport à la seconde variable si pour tout
(t0, x0)∈I×Ω, il existe un voisinage Ude (t0, x0)et k∈R
tel que :
∀(t, x),(t, x0)∈Ukf(t, x)−f(t, x0)k ≤ kkx−x0k
Dans toute cette section, on considère Ωun ouvert
de Rn,Iintervalle de Ret f:I×Ω→Rnune fonc-
tion continue localement lipschitzienne par rap-
port à la seconde variable. Soient t0∈Iet x0∈Ω.
Définition 6 On dit que x:J→Ωvérifie le problème de
Cauchy si xest dérivable, t0∈J,Jintervalle et :
(x(t0) = x0
x0(t) = f(t, x(t)) pour t∈J(1)
2

Théorème 7 (Cauchy-Lipschitz) Il existe un intervalle
Jtel que t0∈Jet Jest un ouvert de I, une fonction de
classe C1x:J→Ω, tel que xsoit solution du problème
de Cauchy.
De plus, si ˜ Jest un intervalle et si ˜x:˜ J→Ωvérifie le
problème de Cauchy, alors ˜x=xsur ˜ J∩J.
Définition 8 Une solution x:J→Ωdu problème de
Cauchy est dite maximale (Jintervalle inclus dans I) si
pour tout ˜x:˜ J→Ω(˜ Jintervalle inclus dans I) qui est
également solution du problème de Cauchy, on a ˜ J⊂J.
Théorème 9 (Cauchy-Lipschitz global) Il existe une
unique solution x:J→Ωmaximale au problème de Cau-
chy. De plus, Jest un ouvert de I.
Théorème 10 (Explosion) Soit x:J→Ωla solution
maximale du problème de Cauchy. Si J6=I, alors il existe
(tn)N∈JNtelle que l’une des deux propositions suivantes
soit vraie :
–limn→∞ kx(tn)k= +∞
–limn→∞ x(tn)∈∂Ω
3 Problème d’Euler-Lagrange
Lemme 11 Soit Fespace de dimension finie. Soit φ:
(R×F→R
(t, x)7→ φ(t, x)de classe C1. Soit Φ : (C0([a, b], F )→R u7→ Rb
aφ(t, u(t))dt.
3

Alors Φest différentiable et :
dΦu(v) = Zb
a∂φ
∂x (t, u(t)), v(t)dt
où ∂φ
∂x (t, x)∈L(F, R)est la différentielle de φen (t, x)par
rapport la seconde variable et h,ile crochet de dualité 1.
Proposition 12 Soit L:([a, b]×Rn×Rn→R
(t, x, ˙x)7→ L(t, x, ˙x)une
fonction de classe C1.
Soit A:(C1([a, b],Rn)→R
γ7→ Rb
aL(t, γ(t), γ0(t))dtune fonctionnelle
que l’on appelera action. Alors l’action Aest différentiable
1. Une autre façon d’écrire ce lemme est que si φ:
([a, b]×Rn→R
(t, x1, . . . , xn)7→ φ(t, x1, . . . , xn)est de classe C1, alors la fonc-
tionnelle Φ : (C1([a, b],Rn)→R
(u1, . . . , un)7→ Rb
aφ(t, u1(t), . . . , un(t)) est différen-
tiable et sa différentielle est :
dΦu1,...,un(h1, . . . , hn) = Zb
a
n
X
j=1
∂φ
∂xj
(t, u1(t), . . . , uj(t))hj(t)dt
4

et 2:
dAu(v) = Zb
a∂L
∂x (t, u(t), u0(t)), v(t)+∂L ∂˙x(t, u(t), u0(t)), v0(t)dt
Lemme 13 (du Bois-Reymond) Soit u∈C0([a, b],Rn)
telle que :
∀v∈C1([a, b],Rn)v(a) = v(b) = 0 ⇒Zb
ahu(t), v0(t)idt= 0
Alors fest un fonction affine.
Définition 14 (Problème d’Euler-Lagrange) On dit
que γ∈C1([a, b],Rn)est solution du problème d’Euler-
Lagrange si :
∀v∈C1([a, b],Rn)v(a) = v(b) = 0 ⇒dAγ(v)=0
2. Une autre formulation est que si L:
([a, b]×Rn×Rn→R
(t, x1, . . . , xn,˙x1,..., ˙xn)7→ L(t, x1, . . . , xn,˙x1,..., ˙xn)est de
classe C1, alors A:(C1([a, b],R)×Rn
(γ1, . . . , γn)7→ Rb
aφ(γ1(t), . . . , γn(t), γ0
1(t), . . . , γ0
n(t))dt
est différentiable et :
dAu(v) = Zb
a
n
X
j=1
∂L
∂xj
(t, u1(t), . . . , un(t), u0
1(t), . . . , u0 n(t))vj(t)
+∂L
∂˙xj
(t, u1(t), . . . , un(t), u0
1(t), . . . , u0 n(t))v0 j(t)dt
5