x ↦→ sin x x ↦→ cos x −1 −7 −1 −7 f(x + t) = f(x) sin(x + 27) = sin(x

TaleS - Bilan chapitre 5 :
FONCTIONS TRIGONOM ´ ETRIQUES
Soit (O;~ı,~)un rep`ere orthonorm´e direct.
Soit xun nombre r´eel et soit Mle point associ´e au
nombre xsitu´e sur le cercle trigonom´etrique.
O
~ı
~M(associ´e `a x∈R)
cos x
sin x
xest une mesure en radians de l’angle (~ı,
−→
OM).
Dans le rep`ere (O;~ı,~):
– l’abscisse de Mest le cosinus de x.
– l’ordonn´ee de Mest le sinus de x.
Le th´eor`eme de Pythagore devient dans ce cadre :
1=cos2x+sin2x♥
Beaucoup d’autres propri´et´es ont ´et´e vues en 1`ereS,
nous reviendrons dessus ...
On appelle fonction sinus et fonction cosinus
les fonctions d´efinies sur Rpar :
x7→ sin x x 7→ cos x
Elles prennent leurs valeurs dans [−1; 1].
D´efinition
Repr´esentations graphiques
1
−1
π
2π3π 22π
−π
2
−π
O
SINUS
1
−1
π
2π3π 22π
−π
2
−π
O
COSINUS
Ces deux courbes sont des ≪sinuso¨ıdes ≫.
On dit qu’une fonction fest p´eriodique s’il
existe un nombre t>0 tel que :
pour x∈R,f(x+t) = f(x)
G´eom´etriquement :
Cfest invariante par translation de vecteur ~v t
0!.
Le plus petit nombre tpossible est not´e T;
ce nombre est appell´e p´eriode de f.
D´efinition
Les fonctions sin et cos sont p´eriodiques, de
p´eriode 2π:
pour tout x∈R,sin(x+2π) = sin(x)
cos(x+2π) = cos(x)
Propri´et´e
Cons´equence pour tout k∈Z:
sin(x+2kπ) = sin xcos(x+2kπ) = cos x
Soit fune fonction d´efinie sur un ensemble I
sym´etrique par rapport `a z´ero.
On dit que fest :
–paire si pour tout x∈I,f(−x) = + f(x)
–impaire si pour tout x∈I,f(−x) = −f(x)
D´efinition
Dans un rep`ere orthogonal (O;~ı,~),
la courbe d’une fonction :
– paire est sym´etrique par rapport `a (Oy)
– impaire est sym´etrique par rapport `a O.
Propri´et´e
– La fonction cosinus est paire :
pour tout x∈R, cos(−x) = + cos(x)
– La fonction sinus est impaire :
pour tout x∈R, sin(−x) = −sin(x)
Propri´et´e

Quelques formules de premi`ere ...
O
~ı
~M(associ´e `a x∈R)
cos x
sin x
cos(π+x) = −cos x
sin(π+x) = −sin x
cos(π−x) = −cos x
sin(π−x) = + sin x
cos(π
2+x) = −sin x
sin(π
2+x) = cos x
cos(π
2−x) = sin x
sin(π
2−x) = cos x
Formules d’addition
cos(a−b) = cos acos b+sin asin b♥
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+cos asin b
sin(a−b) = sin acos b−cos asin b♥
Formules de duplication
cos(2a) = cos2a−sin2a
=2 cos2a−1
=1−2 sin2a
sin(2a) = 2 sin acos a
Formules de lin´earisation
cos2a=1+cos(2a)
2sin2a=1−cos(2a) 2
lim
x→0
sin x
x=1
Propri´et´e
Remarque : Comme sin x
x=sin x−sin 0 x−0,
cette limite est le coefficient directeur de la tan-
gente `a la courbe de la fonction sinus au point
d’abscisse 0. Ci-dessous, on voit que cette tangente
passe par le point Pde coordonn´ees (1; 1).
1
−1
π
2π3π 22π
−π
2
−π
P
O
Les fonctions cos et sin sont d´erivables sur Ret :
sin′=⊕cos cos′=⊖sin
Th´eor`eme
1
−1
π
2π3π 22π
−π
2
−π
O
SINUS
1
−1
π
2π3π 22π
−π
2
−π
O
COSINUS
Signes et variations sur [0; π]
x
cos x= (sin x)′
sin x
0π
2π
+0−
00
11
00
x
sin x
−sin x= (cos x)′
sin x
0π
2π
0+ + 0
− −
11
−1−1
0
En utilisant les propri´et´es de ces fonctions (parit´e,
p´eriodicit´e), on obtient leurs variations sur R.
Un peu de physique ...
Un signal sinusoidal est un signal dont l’amplitude
(observ´ee `a un endroit pr´ecis) est du type :
f(t) = Acos(ωt+ϕ)(t=temps)
Un tel signal est caract´eris´e par :
– son amplitude maximale : A.
– sa pulsation ω: p´eriode T=2π
ωfr´equence f=1 T.
– son d´ephasage initial ϕ.
Un tel signal peut correspondre `a :
– une pression son.
– un d´eplacement de mati`ere corde vibrante.
– un d´eplacement d’´electrons courant ´electrique.
– une onde ´electromagn´etique ...