Le dixseptième chapitre, estimation et échantillonage, à

Chapitre 17
Estimations et échantillonnages.
I Intervalle de fluctuation asymptotique.
1 L’intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.
Xest une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p).
On note Fla suite définie sur les entiers 0, 1, ···,n, par F(K) = P(X6K). Dans votre calculatrice cette fonction F
est dans l’écran des distributions, DISTR ,B :binomFRép.
Utilisons le programme ci-dessous :
Algorithme : Programme pour Texas Instrument
Entrée : On demande le nombre d’essais N et la pro-
babilité d’un succès P.
Input "NB ESSAIS : ",N
Input "PROBA SUCCES : ",P
Initialisation : la variable K prend la valeur 0 0 →K
Traitement 1 :
Tant Que F(K)<0,025
la variable K prend la valeur K+1
Fin du Tant Que
While binomFRép(N,P,K) < 0.025
K+1 →K
End
Affichage 1 : on affiche K Disp "A=",K
Traitement 2 :
Tant Que F(K)60,975
la variable K prend la valeur K+1
Fin du Tant Que
While binomFRép(N,P,K) 60.975
K+1 →K
End
Affichage 2 : on affiche K Disp "B=",K
Que réalise ce programme, cet algorithme ? Vous pouvez l’utiliser avec la variable aléatoire Xqui suit la loi B(100; 0,6).
Ainsi, les nombres A et B affichés vérifient :
177

178 CHAPITRE 17. ESTIMATIONS ET ÉCHANTILLONNAGES.
wP(X < A)<0,025 et P(X6A)>0,025.
wP(X6B)60,975 et P(X > B)>0,975.
wAinsi P(A6X6B)>0,95.
soit ici wP(X < ···)<0,025 et P(X6···)>0,025.
wP(X6···)60,975 et P(X > ···)>0,975.
wAinsi P(······6X6······)>0,95.
On définit la variable aléatoire Fpar F=X
n, donc, avec l’exemple précédent, F=X 100. Cette variable aléatoire
représente les fréquences de la variable aléatoire X. Avec les notation précédentes :
A6X6B
A
n6X n6B n
Ainsi, PA
n6F6B n>0,95. On peut aussi écrire en utilisant un intervalle PF∈A n;B n>0,95.
Définition Cet intervalle est l’intervalle de fluctuation de Fau seuil de 95%.
Donner l’intervalle de fluctuation obtenue avec le programme précédent :
⋆Remarque Si on définit une suite de variables aléatoires Xnoù nest un entier naturel strictement positif, Xn
suivant la loi binomiale B(n;p), on obtient ainsi une suite d’intervalles au seuil de 95%. Le problème ici, c’est que
nous n’avons aucune formule explicite qui permette de déterminer cette suite d’intervalles.
2 Avec le théorème de Moivre-Laplace.
On rappelle ce théorème :
♣Théorème pest un nombre réel de l’intervalle ]0; 1[.Zest une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0; 1).
6On définit une suite de variables aléatoires Xnoù nest un entier naturel strictement positif. Quel que soit le nombre
entier naturel n>1,Xnsuit la loi binomiale B(n;p).
6Pour tout entier naturel n,µ=Xn=np et σ=pnp(1 −p).
6Pour tout entier n>1, on note Znla variable centrée réduite associée à la variable aléatoire Xn,Zn=Xn−np
pnp(1 −p).
Alors, quels que soient les nombres réels aet b(a < b),
lim
n→+∞P(a < Zn< b) = P(a < Z < b) = Zb
a
1
√2πe−x2
2dx

I. INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE. 179
On peut réécrire ce théorème en introduisant la suite de variables aléatoires (Fn)définie pour tout entier n>1par
Fn=Xn
n, pour un encadrement du type −u < Zn< u. On a alors :
wOn note alors que :
P(−u < Zn< u) = P −u < Xn−np
pnp(1 −p)< u!
P(−u < Zn< u) = P−upnp(1 −p)< Xn−np < upnp(1 −p)
P(−u < Zn< u) = Pnp −upnp(1 −p)< Xn< np +upnp(1 −p)
P(−u < Zn< u) = P p−upnp(1 −p)
n< Fn< p +upnp(1 −p) n!
P(−u < Zn< u) = P p−upp(1 −p)
√n< Fn< p +upp(1 −p) √n!
wEn écrivant ces inégalités sous forme d’intervalle, on obtient :
P(Zn∈[−u;u]) = P Fn∈"p−upp(1 −p)
√n;p+upp(1 −p) √n#!
wOn peut alors appliquer le théorème de Moivre-Laplace :
lim
n→+∞P p−upp(1 −p)
√n< Fn< p +upp(1 −p) √n!=P(−u < Z < u)
Où bien, avec des intervalles :
lim
n→+∞P Fn∈"p−upp(1 −p)
√n;p+upp(1 −p) √n#!=P(Z∈[−u;u])
On rappelle que Zsuit la loi normale N(0; 1).
♣Théorème pest un nombre réel de l’intervalle ]0; 1[.Zest une variable aléatoire qui suit la loi normale N(0; 1).
6On définit une suite de variables aléatoires Xnoù nest un entier naturel strictement positif. Quel que soit le nombre
entier naturel n>1,Xnsuit la loi binomiale B(n;p).
6La suite de variables aléatoires (Fn)est définie pour tout entier n>1par Fn=Xn
n.
6αest un nombre réel, 0< α < 1. On note ul’unique réel qui vérifie P(−u6Z6u) = 1 −α.
6On note Inl’intervalle "p−upp(1 −p)
√n;p+upp(1 −p) √n#.
Alors lim
n→+∞P(Fn∈In) = P(−u < Z < u) = 1 −α.
Définition L’intervalle In="p−upp(1 −p)
√n;p+upp(1 −p) √n#est l’intervalle de fluctuation asymptotique de
Fn=Xn
nau seuil de 1−α. C’est à dire que, Fnappartient à l’intervalle Inavec une probabilité proche de 1−α.
En utilisant le cours sur la loi normale N(0; 1) :
6avec α= 0,05, on a vu que u= 1,96 ;
6avec α= 0,01, on a vu que u= 2,58.
On obtient deux intervalles de fluctuation asymptotiques de référence :

180 CHAPITRE 17. ESTIMATIONS ET ÉCHANTILLONNAGES.
6In ="p−1,96 pp(1 −p)
√n;p+ 1,96 pp(1 −p) √n#est l’intervalle de fluctuation asymptotique
de Fn=Xn
nau seuil de 95% ;
6In ="p−2,58 pp(1 −p)
√n;p+ 2,58 pp(1 −p) √n#est l’intervalle de fluctuation asymptotique
de Fn=Xn
nau seuil de 99%
On peut l’illustrer avec un tableur :
Exercice sur le livre : faire l’exercice n◦7 page 444.
3 L’intervalle de fluctuation vu en seconde.
⋆Remarque On note que les bornes supérieures et inférieures des intervalles de fluctuation asymptotiques au seuil
de 95% dépendent de la fonction f:p7−→ 1,96pp(1 −p)où 0< p < 1. On peut étudier cette fonction pour la
majorer.

I. INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE. 181
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
−0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0−0.2
On peut voir sur la représentation graphique de fque le maximum est inférieur à 1. On fait une étude des variations
pour le prouver. On note que f(p) = 1,96pp−p2.
f′(p) = 1,96 1−2p
2pp−p2. On voit que cette dérivée est du signe de 1−2p.
Le tableau de variation de fest :
p01
21
signe de f′(p) + 0 −
f1
2
f(p)✑
✑✸ ◗
◗s
0 0
Le maximum est f1
2= 1,96r1 2−1 4= 1,96 ×1 2= 0,98.
Ainsi, pour tout p∈]0; 1[,1,96pp(1 −p)<1. L’intervalle Jn=p−1
√n;p+1 √ncontient l’intervalle In. L’intervalle
de fluctuation du cours de seconde est plus grand que celui de terminale, c’est pourquoi :
PFn∈p−1
√n;p+1 √n>0,95
4 En pratique.
6Ces intervalles de fluctuation asymptotique peuvent être utilisés dès que n>30,np >5et n(1 −p)>5.
6On les utilise aussi quand on veut estimer si une probabilité p0est égale où pas à une valeur donnée connue
autrement p. Autrement dit, est ce que l’hypothèse p=p0est vraie ou pas ?
La méthode de prise de décision au seuil de 95 % est la suivante :