Sésamath Exercice 38 D`après Métropole 2013 1

Terminale S - Travailler en autonomie - P4 - Échantillonnage et estimation - Sésamath
Exercice 38 D’après Métropole 2013
1. On répète nexpériences successives indépendantes identiques, qui consistent à extraire une pièce.
Elles ont deux issues : la pièce elle est conforme avec une probabilité de 0,9ou elle est non conforme,
probabilité 0,1.Xnest le compteur de pièces conformes.
Donc Xnsuit la loi binomiale de paramètres net p= 0,9, ce qu’on peut noter X∼ B(n,0,9).
2. Si n= 150 >30,np = 135 >5et n(1 −p) = 15 >5donc l’intervalle de fluctuation asymptotique Iest
défini par I="p−1,96rp(1 −p)
n;p+ 1,96rp(1 −p) n#, on calcule avec p= 0,9et n= 150 on trouve
1,96rp(1 −p)
n≃0,048, donc I≃[0,852 ; 0,948].
3. Ici on a (150 −21) pièces conformes donc Fn=129
150 =43 50 soit Fn= 0,86.
Au regard de l’intervalle de fluctuation de la question ci-dessus, ce test ne remet pas en cause le réglage de
la machine Acar 0,86 ∈[0,852 ; 0,948], soit Fn∈I.
Exercice 39 D’après Centres étrangers 2015
1. La probabilité qu’un cadenas soit défectueux est p= 0,03.
La taille de l’échantillon est n= 500. On a n= 500 >30,np = 15 >5et n(1 −p) = 485 >5.
Les conditions sont alors vérifiées pour appliquer la formule donnant l’intervalle de fluctuation asymptotique
au seuil de 95 % : I500 ="p−1,96pp(1 −p)
√n;p+ 1,96pp(1 −p) √n#
I500 =0,03 −1,96√0,03 ×0,97
√500 ; 0,03 −1,96√0,03 ×0,97 √500 , soit environ [0,015 ; 0,045] .
La fréquence observée de cadenas défectueux est f=19
500 =38 1 000 = 0,038 ∈I500 .
Ce contrôle ne remet donc pas en cause, au risque de 95 %, l’affirmation du fournisseur.
2. La fréquence de cadenas défectueux est f=39
500 =78 1 000 = 0,078 .
La taille de l’échantillon est n= 500. On a n= 500 >30,nf = 39 et n(1 −f) = 461 >5.
Les conditions sont réunies pour appliquer la formule donnant l’intervalle de confiance au seuil de 95 %.
I′
500 =f−1
√n;f+1 √n=0,078 −1 √500 ; 0,078 + 1 √500 ≈[0,033 ; 0,123] .
Exercice 40 D’après Amérique du Nord 2014
On a n= 140 >30, f =99
140 donc nf = 99 >5et n(1 −f) = 41 >5.
Ainsi, f−1
√n;f+1 √nsoit [0,622; 0,792] est donc un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion
de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.
Exercice 41 D’après Polynésie 2015
Lors du dépistage précédent, la prise de sang est effectuée chez des sujets à jeun.
Les données montrent que 82 % des patients malades ont un dépistage positif.
Pour améliorer le confort des personnes susceptibles de subir cet examen sanguin, on souhaite vérifier si le fait
d’être à jeun est une condition indispensable dans le protocole.
On considère un groupe de 300 personnes malades sur lesquelles la prise de sang n’est pas effectuée à jeun.
La proportion pde patients malades qui ont un dépistage positif est égale à 0,82 ; l’échantillon est de taille n= 300.
Donc n= 300 >30 ;np = 300 ×0,82 = 246 >5et n(1 −p) = 300 ×0,18 = 54 >5

Les conditions sont donc vérifiées pour que l’on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %
de la fréquence des patients malades qui ont un test positif dans un échantillon de taille 300 :
I="0,82 −1,96p0,82 ×0,18
√300 ; 0,82 + 1,96p0,82 ×0,18 √300 #≈[0,77 ; 0,87]
Le dépistage se révèle positif pour 74 % de personnes à jeun soit avec une fréquence de f= 0,74.
f= 0,74 6∈ Idonc il ne faut pas pratiquer le test sur des personnes qui ne sont pas à jeun.
Exercice 42 D’après Nouvelle-Calédonie 2014
Partie A
1. La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux et on suppose que les 2 000 tirages sont indépen-
dants les uns des autres. De plus, la probabilité qu’un cône soit défectueux est de 0,003.
On peut donc dire que la variable aléatoire Xsuit la loi binomiale de paramètres n= 2 000 et p= 0,003.
2. P(X611) ≃0,98007 à la calculatrice. Donc la probabilité qu’un lot ne soit pas échangé est 0,980 à10−3.
Partie B
On sait que la probabilité de l’événement « une glace est commercialisable » est 0,98, ce qui signifie que P(104 6
Y6116) = 0,98.
D’après le cours, on sait que, si Ysuit la loi normale de paramètres µ= 110 et σ, alors la loi Z=Y−110
σsuit la
loi normale centrée réduite (de moyenne 0 et d’écart type 1).
104 6Y6116 ⇐⇒ −66Y−110 66⇐⇒ −6
σ6Y−110 σ66 σ
donc
P(104 6Y6116) = 0,98 ⇐⇒ P−6
σ6Z66 σ= 0,98
On peut représenter la situation par le graphique ci-contre.
−6
σ
6
σ
98 %
1 %1 %
On peut en déduire que PZ66
σ= 0,99.
On cherche donc la valeur ttelle que P(Z6t) = 0,99 sachant que la variable aléatoire Zsuit la loi normale centrée
réduite ; on trouve à la calculatrice t≈2,326.
On a donc : 6
σ≈2,236 ⇐⇒ 6 2,236 ≈σ⇐⇒ σ≈2,6.
Partie C
On a n= 900 et p= 0,84 donc np = 756 >5et n(1 −p) = 144 >5. L’intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95 % du pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces en 2000 est :
I="0,84 −1,96p0,84 ×0,16
√900 ; 0,84 + 1,96p0,84 ×0,16 √900 #≈[0,816 ; 0,864]
En 2010, sur 900 personnes interrogées, 795 d’entre elles déclarent consommer des glaces, ce qui fait une proportion
de f=795
900 ≈0,883 . Or f6∈ Idonc on ne peut pas affirmer, au niveau de confiance de 95 %, que le pourcentage
de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre 2000 et 2010.

Exercice 43 D’après Liban 2015
1. On obtient l’arbre ci-contre
2. (a) D’après l’arbre :
p(V) = p(V∩A) + p(V∩B)
p(V)= 0,47 ×0,90 + 0,53 ×0,80 = 0,847.
(b) pV(A) = p(V∩A)
p(V)=0,47 ×0,90 0,847 = 0,499.
3. La personne interrogée vote effectivement pour le can-
didat A si elle dit la vérité et dit voter pour le candidat
A ou bien si elle ment et dit voter pour le candidat
B, soit d’après l’arbre :
p(A∩V) + p(B∩V) = 0,47 ×0,90 + 0,53 ×0,20
p(A∩V) + p(B∩V) = 0,529.
A
0,47
V
0,90
V
0,10
B
0,53 V
0,80
V
0,20
4. On détermine un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95%, par
I=0,529 −1
√1200 ; 0,529 + 1 √1200=0,500 1; 0,557 9
Les conditions d’applications étant vérifiées
1200 >30 et 1200 ×0,557 9 >5et 1200 ×0,442 1 >5.
La borne inférieur de l’intervalle de confiance au seuil de 95% étant supérieure à 0,5, le candidat A peut
raisonnablement croire qu’il sera élu.
5. Par demi-heure, il y a en moyenne 0,4×10 = 4 personnes qui répondent, soit 8 personnes par heure.
Pour parvenir à 1 200 réponses, il faudra en moyenne 1 200
8= 150 heures.