Sésamath Exercice 38 D`après Métropole 2013 1

Terminale S - Travailler en autonomie - P4 - Échantillonnage et estimation - Sésamath
Exercice 38
D’après Métropole 2013
1. On répète n expériences successives indépendantes identiques, qui consistent à extraire une pièce.
Elles ont deux issues : la pièce elle est conforme avec une probabilité de 0,9 ou elle est non conforme,
probabilité 0,1. Xn est le compteur de pièces conformes.
Donc Xn suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,9, ce qu’on peut noter X ∼ B(n,0,9).
2. Si n = 150 > 30,
> 5 et n(1 − p) = 15 > 5 donc
# l’intervalle de fluctuation asymptotique I est
" np = 135
r
r
p(1 − p)
p(1 − p)
, on calcule avec p = 0,9 et n = 150 on trouve
; p + 1,96
défini par I = p − 1,96
n
n
r
p(1 − p)
1,96
≃ 0,048, donc I ≃ [0,852 ; 0,948].
n
43
129
=
soit Fn = 0,86.
3. Ici on a (150 − 21) pièces conformes donc Fn =
150
50
Au regard de l’intervalle de fluctuation de la question ci-dessus, ce test ne remet pas en cause le réglage de
la machine A car 0,86 ∈ [0,852 ; 0,948], soit Fn ∈ I.
Exercice 39
D’après Centres étrangers 2015
1. La probabilité qu’un cadenas soit défectueux est p = 0,03.
La taille de l’échantillon est n = 500. On a n = 500 > 30, np = 15 > 5 et n(1 − p) = 485 > 5.
Les conditions sont alors vérifiées
pour
"
p donnant#l’intervalle de fluctuation asymptotique
p appliquer la formule
p(1 − p)
p(1 − p)
√
√
; p + 1,96
au seuil de 95 % : I500 = p − 1,96
n
n
√
√
0,03 × 0,97
0,03 × 0,97
√
√
I500 = 0,03 − 1,96
; 0,03 − 1,96
, soit environ [0,015 ; 0,045] .
500
500
19
38
La fréquence observée de cadenas défectueux est f =
=
= 0,038 ∈ I500 .
500
1 000
Ce contrôle ne remet donc pas en cause, au risque de 95 %, l’affirmation du fournisseur.
78
39
=
= 0,078 .
2. La fréquence de cadenas défectueux est f =
500
1 000
La taille de l’échantillon est n = 500. On a n = 500 > 30, nf = 39 et n(1 − f ) = 461 > 5.
Les conditions
sont réuniespour
appliquer la formule donnant l’intervalle de confiance au seuil de 95 %.
1
1
1
1
′
I500
= f−√ ; f+√
; 0,078 + √
= 0,078 − √
≈ [0,033 ; 0,123] .
n
n
500
500
Exercice 40
D’après Amérique du Nord 2014
99
On a n = 140 > 30, f =
donc nf = 99 > 5 et n(1 − f ) = 41 > 5.
140
1
1
soit [0,622; 0,792] est donc un intervalle de confiance au seuil de 95 % de la proportion
Ainsi, f − √ ; f + √
n
n
de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème.
Exercice 41
D’après Polynésie 2015
Lors du dépistage précédent, la prise de sang est effectuée chez des sujets à jeun.
Les données montrent que 82 % des patients malades ont un dépistage positif.
Pour améliorer le confort des personnes susceptibles de subir cet examen sanguin, on souhaite vérifier si le fait
d’être à jeun est une condition indispensable dans le protocole.
On considère un groupe de 300 personnes malades sur lesquelles la prise de sang n’est pas effectuée à jeun.
La proportion p de patients malades qui ont un dépistage positif est égale à 0,82 ; l’échantillon est de taille n = 300.
Donc n = 300 > 30 ; np = 300 × 0,82 = 246 > 5 et n(1 − p) = 300 × 0,18 = 54 > 5
Les conditions sont donc vérifiées pour que l’on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %
de la fréquence des patients malades qui ont un test positif dans un échantillon de taille 300 :
"
#
p
p
0,82 × 0,18
0,82 × 0,18
√
√
I = 0,82 − 1,96
; 0,82 + 1,96
≈ [0,77 ; 0,87]
300
300
Le dépistage se révèle positif pour 74 % de personnes à jeun soit avec une fréquence de f = 0,74.
f = 0,74 6∈ I donc il ne faut pas pratiquer le test sur des personnes qui ne sont pas à jeun.
Exercice 42
D’après Nouvelle-Calédonie 2014
Partie A
1. La variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux et on suppose que les 2 000 tirages sont indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu’un cône soit défectueux est de 0,003.
On peut donc dire que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 2 000 et p = 0,003.
2. P (X 6 11) ≃ 0,98007 à la calculatrice. Donc la probabilité qu’un lot ne soit pas échangé est 0,980 à 10−3 .
Partie B
On sait que la probabilité de l’événement « une glace est commercialisable » est 0,98, ce qui signifie que P (104 6
Y 6 116) = 0,98.
Y − 110
suit la
D’après le cours, on sait que, si Y suit la loi normale de paramètres µ = 110 et σ, alors la loi Z =
σ
loi normale centrée réduite (de moyenne 0 et d’écart type 1).
6
Y − 110
6
98 %
104 6 Y 6 116 ⇐⇒ −6 6 Y − 110 6 6 ⇐⇒ − 6
6
σ
σ
σ
donc
1%
1%
6
6
P (104 6 Y 6 116) = 0,98 ⇐⇒ P − 6 Z 6
= 0,98
σ
σ
6
− σ6
On peut représenter la situation
par le graphique ci-contre.
σ
6
= 0,99.
On peut en déduire que P Z 6
σ
On cherche donc la valeur t telle que P (Z 6 t) = 0,99 sachant que la variable aléatoire Z suit la loi normale centrée
réduite ; on trouve à la calculatrice t ≈ 2,326.
6
6
On a donc : ≈ 2,236 ⇐⇒
≈ σ ⇐⇒ σ ≈ 2,6.
σ
2,236
Partie C
On a n = 900 et p = 0,84 donc np = 756 > 5 et n(1 − p) = 144 > 5. L’intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95 % du pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces en 2000 est :
"
I = 0,84 − 1,96
p
0,84 × 0,16
√
; 0,84 + 1,96
900
p
#
0,84 × 0,16
√
≈ [0,816 ; 0,864]
900
En 2010, sur 900 personnes interrogées, 795 d’entre elles déclarent consommer des glaces, ce qui fait une proportion
795
de f =
≈ 0,883 . Or f 6∈ I donc on ne peut pas affirmer, au niveau de confiance de 95 %, que le pourcentage
900
de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre 2000 et 2010.
Exercice 43
D’après Liban 2015
1. On obtient l’arbre ci-contre
2. (a) D’après l’arbre :
p(V ) = p(V ∩ A) + p(V ∩ B)
p(V ) = 0,47 × 0,90 + 0,53 × 0,80 = 0,847.
0,47 × 0,90
p(V ∩ A)
=
= 0,499.
p(V )
0,847
3. La personne interrogée vote effectivement pour le candidat A si elle dit la vérité et dit voter pour le candidat
A ou bien si elle ment et dit voter pour le candidat
B, soit d’après l’arbre :
p(A ∩ V ) + p(B ∩ V ) = 0,47 × 0,90 + 0,53 × 0,20
(b) pV (A) =
V
0,90
A
0,10
V
0,47
0,53
V
0,80
B
p(A ∩ V ) + p(B ∩ V ) = 0,529.
0,20
V
4. On détermine un intervalle de confiance au seuil de confiance de 95%, par
1
1
I = 0,529 − √
; 0,529 + √
= 0,500 1; 0,557 9
1200
1200
Les conditions d’applications étant vérifiées
1200 > 30 et 1200 × 0,557 9 > 5 et 1200 × 0,442 1 > 5.
La borne inférieur de l’intervalle de confiance au seuil de 95% étant supérieure à 0,5, le candidat A peut
raisonnablement croire qu’il sera élu.
5. Par demi-heure, il y a en moyenne 0,4 × 10 = 4 personnes qui répondent, soit 8 personnes par heure.
1 200
Pour parvenir à 1 200 réponses, il faudra en moyenne
= 150 heures.
8