angles trigonométriques -nombres

Cours : MCR 3U
Domaine : Trigonométrie
Leçon : 4.1 et 4.2
4.1 et 4.2
Un angle est trigonométrique lorsque son sommet est à l’origine et que le côté initial est fixé sur
la partie positive de l’axe des x. La rotation de l’angle se fait dans le sens inverse des aiguilles
de l’horloge pour les angles positifs.
II
I
T
III
IV
Étant donné un angle trigonométrique T :
P(x,y)
r
y
T
x
Cela forme un triangle rectangle. Et donc, le théorème de Pythagore s’applique.
r 2 x2 y2
r
x y ,r ! 0
2
2
La valeur de r est toujours
positive.
Compare ceci
avec
SOHCAHTOA
Rapports trigonométriques fondamentaux
sin T
y
r
cosT
x
r
tan T
y
x
Ex : Le point (3, 4) appartient au côté terminal de l’angle T. Calcule les rapports
trigonométriques de l’angle (sin, cos, tan).
Ex : Le point (-8, 15) est un point du côté terminal de l’angle T. Calcule ses rapports
trigonométriques.
La règle C.A.S.T.
S
A
T
C
Chaque lettre représente quel rapport
trigonométrique sera POSITIF pour un angle
trigonométrique ayant son côté terminal dans le
quadrant.
C – cosinus
A – « All » (les trois sont +)
S – sinus
T - tangente
Ex :
Quadrant
«T»
Donc, seulement le rapport de la tangente de cet
angle sera positif. Le sinus et le cosinus seront
négatifs.
Ex : Soit un angle T positif du troisième quadrant et cos T
8
. Calcul ses rapports
17
trigonométriques fondamentaux.
Ex : Calcule cos T sachant que T est positif et sin T
3
.
5
N.B. La question n’indique pas dans quel quadrant se retrouve l’angle T.
Ex : Soit un angle positif T dont sin T
1
. Calcule cosT et tan T .
2
Rapports trigonométriques : 30°, 45° et 60°
Afin de représenter l’angle 45°, on trace un triangle isocèle sur le côté positif de l’axe
des x. L’hypoténuse représente r. Les côtés égaux (x et y) ont des longueurs de 1.
Longueur de r
r
45°
y=1
45°
r 2 x2 y2
x=1
r
x2 y2
r
12 12
r
2
Donc, à partir de ce diagramme, on obtient les rapports trigonométriques suivants :
sin 45q
y
r
1
2
cos 45q
x
r
1
2
tan 45q
y
1
x
30° et 60°
Pour représenter ces angles, on trace un triangle équilatéral sur la partie positive de l’axe des x.
Chaque côté aura une longueur de 2. On trace ensuite une ligne du sommet supérieur du
triangle jusqu’à sa base, la coupant en deux. Cela produira 2 triangles congrus ayant des angles
de 30°, 60° et 90°.
Pour calculer x :
2
2
30°
Puisque la base a une longueur de
2 et on la divise au milieu :
y
60°
x
x=1
Pour calculer y : Théorème de
Pythagore :
y
r 2 x2
y
2 2 12
y
3
À partir de ce diagramme, on obtient les rapports trigonométriques suivants :
60°
sin 60q
3
2
cos 60q
1
2
tan 60q
3
tan 30q
1
3
30°
sin 30q
1
2
cos 30q
3
2
Ex : Calcule :
sin 45q cos 45q cos 30q tan 60q
Ex : Calcule la valeur de sin 225q.
Ex : Si 0q d A d 360q
et que sin A
1
2
a. Place l’angle dans le plan cartésien à l’aide de la règle C.A.S.T.
b. Identifie le triangle remarquable avec lequel tu travails.
c. Détermine la mesure de l’angle (part de la partie positive de l’axe des x, dans le sens antihoraire).
Devoirs
Pg 237 #1 à 15