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UNIVERSITÉ PAUL SABATIER
ALGÈBRE LINÉAIRE
ET
BILINÉAIRE
(Résumé de cours)
Claude WAGSCHAL

Avertissement
Ce texte est un résumé du cours d’algèbre linéaire et bilinéaire de la Licence
(L2). Ce texte ne comporte aucune démonstration.

Chapitre 1
Rappels et Notations
1.1 Espaces vectoriels
Tous les espaces vectoriels seront des espaces vectoriels (en abrégé e.v.) sur un
corps Kqui sera soit le corps Rdes nombres réels, soit le corps Cdes nombres
complexes.
Si Eest un e.v., un sous-espace vectoriel (en abrégé s.e.v.) est une partie non
vide F⊂Estable par les opérations de E, c’est-à-dire
(x, y)∈F×F⇒x+y∈Fet (λ, x)∈K×F⇒λx ∈F.
L’addition (resp. la multiplication par les scalaires) par restriction à F×F(resp.
K×F) définissent une structure vectorielle sur F.
Si Best une partie de E, il existe un plus petit (pour l’inclusion) sous-espace
vectoriel contenant B, appelé sous-espace vectoriel engendré par Bque nous no-
terons s.e.v.(B). Ce sous-espace vectoriel coïncide avec l’ensemble des combi-
naisons linéaires (finies) d’éléments de B.
Une partie Bde Eest dite libre si pour toute famille finie (xi)i∈Id’éléments
distincts de Bet toute famille (λi)i∈Ide scalaires
X
i∈I
λixi= 0 ⇒λi= 0 pour tout i∈I.
On dit qu’une famille (xi)i∈Id’éléments de Eest libre si, pour toute partie finie

4 CHAPITRE 1 RAPPELS ET NOTATIONS
Jde Iet toute famille (λi)i∈Jde scalaires
X
i∈J
λixi= 0 ⇒λi= 0 pour tout i∈J.
Ceci signifie que les xisont distincts et que la partie Si∈I{xi}est libre.
On dit qu’une partie Bde Eengendre E, ou que Best une partie génératrice,
si tout x∈Epeut s’écrire comme une combinaison linéaire d’éléments de B, soit
x=X
i∈I
λixioù Iest un ensemble fini, xi∈B, λi∈K.
Une partie libre qui engendre l’espace Eest appelée une base de E.
Si un e.v. admet une base finie admettant néléments, toute autre base est fi-
nie et admet néléments. Cet entier nest alors appelé la dimension de E, il sera
noté dim KEou simplement dim Es’il n’y a pas d’ambiguïté sur le corps. Si
B= (e1, . . . , en)[on notera que nous avons ordonné les vecteurs de base, ceci est
essentiel pour l’écriture matricielle des applications linéaires] est une base d’un
espace de dimension n, tout xde Es’écrit d’une seule façon
x=
n
X
i=1
xieioù xi∈K.
Dans un e.v. de dimension n, toute partie libre admet au plus néléments ; toute
partie libre admettant néléments est une base et toute partie libre est contenue dans
une base (théorème de la base incomplète).
Si un e.v. Eadmet une partie génératrice finie M, alors Eest de dimension fi-
nie et Mcontient une base de E. De plus, si Eest de dimension finie n, toute partie
génératrice admet au moins néléments et c’est une base si elle admet exactement
néléments.
Tout sous-espace vectoriel Fd’un e.v. Ede dimension finie est de dimension
finie et dim F≤dim E; de plus,
E=F⇐⇒ dim E=dim F.
1.2 Application linéaire
Étant donné deux e.v. Eet F, on note L(E;F)l’espace vectoriel des applica-
tions linéaires de Edans F. Lorsque E=F, une aplication linéaire de Edans E
est appelée un endomorphisme de Eet on pose L(E) = L(E;E).
Rappelons qu’une algèbre Aest un e.v. muni d’une loi de composition interne
(x, y)7→ xy associative et bilinéaire. Une algèbre est dite unitaire s’il existe un
élément e∈Atel que ex =xe =xpour tout x∈A. Par exemple, L(E)
est pour la composition des endomorphismes une algèbre unitaire (e=IE) non
commutative si dim E≥2.
Soit T∈L(E;F), on définit le noyau et l’image de Tpar
Ker T=T−1(0) = {x∈E;T x = 0}et Im T=T(E).