Résumé du chapitre 6 de la classe de Première S

CLASSE : Première S – Chapitre 6 : Trigonométrie
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Chapitre 6 : Trigonométrie
1ère S
1°) Rappels
Le plan est muni d’un repère orthonormé
(O; ; )ij
. Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1et de centre O,
affecté arbitrairement d’un sens de rotation, positif (ou direct) dans le sens antihoraire et négatif (ou indirect) dans le
sens horaire.
Soit M un point du cercle trigonométrique et soit x la mesure de l’arc
IM
. On dit que le point M est le point image du
réel x sur le cercle trigonométrique. Puisque le cercle trigonométrique a pour périmètre
2π
, tous les réels
2πxk
(avec
k
) on aussi le point M pour point image sur le cercle trigonométrique.
Le réel x est aussi la mesure de l’angle
IOM
exprimée en radians. Pour effectuer des conversions entre les degrés et
les radians, on utilisera le fait que ces deux unités sont proportionnelles et que :
π
radians = 180°
2°) Angle orienté d’un couple de vecteurs
Soient
u
et
v
deux vecteurs non nuls du plan. En positionnant les deux vecteurs, comme sur la figure ci-dessous, de
manière à ce qu’ils aient la même origine, on obtient le résultat suivant : le réel x est la mesure de l’angle orienté du
couple de vecteurs
( ; )uv
 Module 1 : Angle orienté d’un couple de vecteurs 
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Chapitre 6 : Trigonométrie
1ère S
3°) Mesure principale d’un angle orienté
Soient
u
et
v
deux vecteurs non nuls du plan. Si x est une mesure de l’angle orienté du couple
( ; )uv
alors, quel que
soit
k
:
2πxk
est aussi une mesure de l’angle orienté du couple
( ; )uv
On notera :
( ; ) 2 π ( ) ou ( ; ) 2πu v x k k u v x   
(cette dernière expression se lit « x modulo
2π
»)
 Définition : la mesure principale de l’angle orienté
( ; )uv
est celle qui est comprise dans l’intervalle
π; π
 Méthode : comment trouver la mesure principale d’un angle orienté ?
On cherche la mesure principale d’un angle orienté égal à
23π
4
On constate que
8π
2π4
(car il faut 8 fois
π
4
pour faire un tour complet correspondant à
2π
)
On calcule le quotient :
23
8
et on arrondit à l’entier le plus proche. On obtient :
23 3
8
La mesure principale cherchée est :
23ππ
32π
44
1°) Propriétés des angles orientés
 Propriété 1 : Soit
u
un vecteur non nul du plan :
; 0 2πuu
 Propriété 2 : Soit
u
un vecteur non nul du plan :
;π 2πuu
 Propriété 3 : Soient
etuv
deux vecteurs non nuls du plan et soit k un réel non nul :
; ( ; ) 2πku kv u v
2°) Angles orientés et colinéarité
 Propriété 1 : Soient
etuv
deux vecteurs non nuls colinéaires et de même sens :
; 0 2πuv
 Propriété 2 : Soient
etuv
deux vecteurs non nuls colinéaires et de sens contraires :
;π 2πuv
3°) Propriétés des angles associés
Soient
etuv
deux vecteurs non nuls du plan
 Propriété 1 :
; ; 2πv u u v
 Propriété 2 :
;;π 2πu v u v  
 Propriété 3 :
;;π 2πu v u v  
 Propriété 4 :
; ; 2πu v u v  
 Module 2 : Propriétés des angles orientés 
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1ère S
4°) Relation de Chasles
Soient
; et trois vecteurs non nuls du planu v w
:
; ; ; 2πu v v w u w
Remarque : la relation de Chasles permet de démontrer un résultat connu depuis le collège : la somme des angles d’un
triangle est égale à
π 2π
radians
1°) Cosinus et sinus d’un nombre réel (rappels)
 Propriétés de base
Soit x un nombre réel et soit M le point image du réel x sur le cercle trigonométrique. Nous avons la propriété
fondamentale suivante :
M(cos ; sin )xx
Comme, par ailleurs, x est aussi la mesure, en radians, de l’angle orienté du couple de vecteurs
OI ; OM
, soit
OI ; OMx
, nous avons :
Mcos OI ; OMx
et
Msin OI ; OMy
 Module 3 : Cosinus et sinus 
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1ère S
 Valeurs remarquables :
 Propriétés vues en seconde
Quel que soit le nombre réel x :
22
cos sin 1xx
cos( 2 π) cos et sin( 2 π) sinx k x x k x   
cos ( ) cos et sin( ) sinx x x x    
2°) Formules de symétrie
Quel que soit le nombre réel x :
cos(π ) cos et sin(π ) sinx x x x    
cos(π ) cos et sin(π ) sinx x x x     
ππ
cos( ) sin et sin( ) cos
22
x x x x   
3°) Formules d’addition
Soient a et b deux nombres réels :
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
4°) Formules de duplication
Quel que soit le réel x :
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos
x x x x x
x x x
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1ère S
1°) Résolution des équations trigonométriques
 Equations de la forme :
cos ( 1 1)x a a
où a désigne un réel connu
Pour résoudre une équation de cette forme, il suffit de trouver un réel (en général à l’aide des valeurs
remarquables) vérifiant :
cos a
Les solutions de l’équation sont les réels x tels que
2π ou 2πxx
Exemple : On désire résoudre l’équation :
1
cos 2 x
. D’après le tableau des valeurs remarquables, on constate que :
π1
cos 32
. Nous avons trouvé
π
3
.
Les solutions de l’équations sont les réels x tels que :
ππ
2π ou 2π
33
xx  
 Equations de la forme :
sin ( 1 1)x a a
où a désigne un réel connu
Pour résoudre une équation de cette forme, il suffit de trouver un réel (en général à l’aide des valeurs
remarquables) vérifiant :
sin a
Les solutions de l’équation sont les réels x tels que
2π ou π 2πxx
Exemple : On désire résoudre l’équation :
1
sin 2 x
. D’après le tableau des valeurs remarquables, on constate que :
π1
sin 62
. Nous avons trouvé
π
6
.
Les solutions de l’équation sont les réels x tels que :
π π π 5π
2π ou π 2π soit 2π ou 2π
6 6 6 6
x x x x    
2°) Résolution des inéquations trigonométriques
La résolution des inéquations trigonométriques est basées sur les mêmes principes que la résolution des équations. On
est amené à sélectionner une portion du cercle trigonométrique et à sélectionner les abscisses des points correspondant
à la portion sélectionnée.
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 Module 4 : Equations et inéquations trigonométriques 