Réseau atomique unidimensionnel

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réseau atomique unidimensionnel
Réseau atomique unidimensionnel
On considère une chaîne indéfinie de particules identiques, de masse m séparées par une distance a,
le paramètre de maille, et liées par des interactions harmoniques dont la portée est limitée aux plus
proches voisins. La position de la particule numérotée n est repérée à l’équilibre par xn et son
déplacement par rapport à sa position d’équilibre par un . On note K e la constante élastique
correspondant à l’intensité de l’interaction (en N/m).
O
à l’équilibre
à t quelconque
xn −1
xn
xn +1
x
x
O
un −1
un
un +1
1. Etablissez l’équation différentielle en un du mouvement de la particule n.
2. On se propose de chercher des solutions harmoniques de cette équation différentielle, telles que
toutes les particules vibrent à la même fréquence et avec la même amplitude :
un ( t ) = un0 eiωt ,
n ∈ »∗ ,
où un0 est un nombre complexe. On cherchera des solutions en ondes progressives :
un ( t ) = a0 e (
i ωt −kna )
,
où a0 est une amplitude de déplacement réelle et k a la dimension d’un vecteur d’onde.
2.1. Montrez que cette hypothèse conduit à une relation entre ω et k que l’on appelle relation de
dispersion du milieu :
 ka 
ω ( k ) = Ω0 sin   .
 2 
Exprimez Ω0 en fonction de m et K e . Représentez la courbe de dispersion, ω en fonction de k, pour
k ∈ [ −π a, π a ] .
2 .2. Quel est le sens physique de la transformation de k en −k ? Quel est la signification physique de
la pulsation Ω0 ?
3. On se limitera dans les questions suivantes au cas où k > 0 . Donnez les expressions de la vitesse
de phase v ϕ = ω k et de la vitesse de groupe v g = dω dk en fonction de Ω0 , de a et de k. Tracez les
courbes donnant v ϕ et v g en fonction de k, pour k ∈ [0, π a ] . Commentez.
4. Limite du milieu continu. Montrez que pour λ ∩ a , on peut linéariser la relation de dispersion. Que
peut-on alors dire de v ϕ et v g ? Lorsque λ ∩ a , il est facile de se rendre compte que le déphasage
entre des particules voisines est extrêmement faible. Dans ces conditions, réécrivez l’équation
différentielle du paragraphe 1. en effectuant un développement de Taylor au deuxième ordre pour les
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fonctions u ( x + a,t ) et u ( x − a,t ) à définir, et déduisez-en l’équation différentielle en u ( x,t ) .
Commentez.
solution
1. Le principe fondamental de la dynamique, appliqué à la particule n s’écrit :
m
d2un
m
d2un
= K e ( un−1 − un ) + K e ( un+1 − un ) .
dt 2
Et donc :
= K e ( un+1 + un−1 − 2un ) .
dt 2
2. Solutions harmoniques.
2.1. A partir de l’expression de un ( t ) , on calcule sa dérivée seconde par rapport au temps :
d2un ( t )
dt
2
= −ω2 un ( t ) ,
et on remplace cette expression dans l’équation différentielle. Après simplification par expi ( ωt − kna )
on obtient :
−ω2 =
(
)
K e −ika
e
+ eika − 2 .
m
Mais :
e −ika + eika = 2cos ( ka )
et
 ka 
1 − cos ( ka ) = 2 sin2  .
 2 
On en déduit la relation de dispersion :
 ka 
ω ( k ) = Ω0 sin  
 2 
avec
Ω0 = 2
Ke
.
m
Le milieu est dispersif car ω et k ne sont pas reliés par une relation linéaire du type ω = c k .
ω (k )
Ω0
k
−π a
πa
ère
1
zone de Brillouin
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réseau atomique unidimensionnel
2.2. Si k > 0 l’onde se propage dans le sens des x > 0 , et si k < 0 elle se propage en sens inverse.
Aucune onde progressive de pulsation supérieure à Ω0 ne peut se propager le long de la chaîne. Ω0
est une pulsation de coupure.
3. La vitesse de phase est v ϕ = ω k , ou :
v ϕ = Ω0
a sin ( ka 2 )
.
2 ( ka 2 )
C’est la fonction sinuscardinal.
La vitesse de groupe est v g = dω dk , et donc :
v g = Ω0
a
 ka 
cos   .
2
 2 
vitesse
Ω0 a 2
vϕ
Ω0 a π
vg
k
πa
Les vitesses v ϕ et v g diffèrent sauf pour les ondes de petit k. La vitesse de propagation de
l’information est la vitesse de groupe v g .
Pour k = π a ( λ = 2a ) , on est au bord de la zone de Brillouin et v g = 0 . Ceci correspond à une onde
stationnaire. Il ne peut pas y avoir d’ondes progressives de longueur d’onde λ < 2a . Dans ce cas,
un+1 = un exp ( − iπ ) ; L’atome n et l’atome n+1 vibrent en opposition de phase. La pulsation de l’onde
stationnaire est ω ( π a ) = Ω0 .
4 . A l’inverse, quand λ ∩ a , k a = 2 π a λ 1 et au premier ordre en ka, la relation de dispersion
s’écrit :
ω ( k ) = Ω0
ka
.
2
Elle est linéaire et le milieu est non dispersif. La vitesse de phase et la vitesse de groupe sont
confondues, égales à la célérité de l’onde v ϕ = v g = Ω0 a 2 qui ne dépend pas de la fréquence.
L’équation différentielle du paragraphe 1. s’écrit :
m
d2un
dt 2
= K e ( un+1 + un−1 − 2un ) ,
avec un ( t ) = u ( x,t ) , un+1 ( t ) = u ( x + a,t ) et un −1 ( t ) = u ( x − a,t ) . Développons u ( x + a,t ) et u ( x − a,t )
en x :
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u ( x + a,t ) = u ( x,t ) + a
u ( x − a,t ) = u ( x,t ) − a
∂u ( x,t )
∂x
∂u ( x,t )
∂x
+
2
a2 ∂ u ( x,t )
2
∂x 2
2
a2 ∂ u ( x,t )
+
2
∂x 2
On remplace dans l’équation différentielle et finalement :
∂ 2u ( x,t )
∂t 2
=
2
K e a2 ∂ u ( x,t )
.
m
∂x 2
C’est une équation de propagation. La célérité de l’onde est :
c=a
Ke
Ω
=a 0 .
m
2
.