Réseau atomique unidimensionnel

1 réseau atomique unidimensionnel
Réseau atomique unidimensionnel
On considère une chaîne indéfinie de particules identiques, de masse m séparées par une distance a,
le paramètre de maille, et liées par des interactions harmoniques dont la portée est limitée aux plus
proches voisins. La position de la particule numérotée n est repérée à l’équilibre par n
x et son
déplacement par rapport à sa position d’équilibre par n
u. On note e K la constante élastique
correspondant à l’intensité de l’interaction (en N/m).
1. Etablissez l’équation différentielle en n
u du mouvement de la particule n.
2. On se propose de chercher des solutions harmoniques de cette équation différentielle, telles que
toutes les particules vibrent à la même fréquence et avec la même amplitude :
()
it
nn0
ut ue
ω
=, n∗ ∈»,
où n0
u est un nombre complexe. On cherchera des solutions en ondes progressives :
()
()
itkna
n0
ut ae
ω−
=,
où 0
a est une amplitude de déplacement réelle et k a la dimension d’un vecteur d’onde.
2.1. Montrez que cette hypothèse conduit à une relation entre ω et k que l’on appelle relation de
dispersion du milieu :
()
0ka
ksin
2
ω=Ω  .
Exprimez 0
Ω en fonction de m et e K . Représentez la courbe de dispersion, ω en fonction de k, pour
[]
ka,a∈−π π .
2 .2. Quel est le sens physique de la transformation de k en k− ? Quel est la signification physique de
la pulsation 0
Ω ?
3. On se limitera dans les questions suivantes au cas où k0>. Donnez les expressions de la vitesse
de phase vk
ϕ=ω et de la vitesse de groupe g
vddk=ω en fonction de 0 Ω, de a et de k. Tracez les
courbes donnant vϕ et g
v en fonction de k, pour
[]
k0,a∈π. Commentez.
4. Limite du milieu continu. Montrez que pour aλ∩, on peut linéariser la relation de dispersion. Que
peut-on alors dire de vϕ et g
v ? Lorsque aλ∩, il est facile de se rendre compte que le déphasage
entre des particules voisines est extrêmement faible. Dans ces conditions, réécrivez l’équation
différentielle du paragraphe 1. en effectuant un développement de Taylor au deuxième ordre pour les
O
O
x
x
n1
x−n
xn1
x+
n1
u−n
un1
u+
à l’équilibre
à t quelconque

réseau atomique unidimensionnel 2
0
Ω
()
kω
k
a−π aπ
1
è
re zone de Brillouin
fonctions
()
ux a,t+ et
()
ux a,t− à définir, et déduisez-en l’équation différentielle en
()
ux,t.
Commentez.
solution
1. Le principe fondamental de la dynamique, appliqué à la particule n s’écrit :
()()
2nen1n en1n
2
du
mKuuKuu
dt −+
=−+−.
Et donc :
()
2nen1 n1 n
2
du
m Kuu2u
dt +−
=+−.
2. Solutions harmoniques.
2.1. A partir de l’expression de
()
n
u t , on calcule sa dérivée seconde par rapport au temps :
() ()
2n2n
2
du t ut
dt =−ω ,
et on remplace cette expression dans l’équation différentielle. Après simplification par
()
expi t knaω−
on obtient :
()
2ikaika
e
Kee2
m−
−ω = + − .
Mais :
()
ika ika
ee2coska
−+= et
()
2ka
1coska 2sin 2
−= .
On en déduit la relation de dispersion :
()
0ka
ksin
2
ω=Ω  avec e
0K
2m Ω= .
Le milieu est dispersif car ω et k ne sont pas reliés par une relation linéaire du type ckω= .

3 réseau atomique unidimensionnel
2.2. Si k 0> l’onde se propage dans le sens des x 0>, et si k 0< elle se propage en sens inverse.
Aucune onde progressive de pulsation supérieure à 0
Ω ne peut se propager le long de la chaîne. 0 Ω
est une pulsation de coupure.
3. La vitesse de phase est vk
ϕ=ω , ou :
()
()
0sin ka 2
a
v2ka2
ϕ=Ω .
C’est la fonction sinuscardinal.
La vitesse de groupe est g
vddk=ω , et donc :
g0
aka
vcos
22
=Ω 
.
Les vitesses vϕ et g
v diffèrent sauf pour les ondes de petit k. La vitesse de propagation de
l’information est la vitesse de groupe g
v.
Pour ka=π
()
2aλ= , on est au bord de la zone de Brillouin et g v0=. Ceci correspond à une onde
stationnaire. Il ne peut pas y avoir d’ondes progressives de longueur d’onde 2aλ< . Dans ce cas,
()
n1 n
uuexpi
+=−π ; L’atome n et l’atome n+1 vibrent en opposition de phase. La pulsation de l’onde
stationnaire est
()
0
aωπ =Ω.
4 . A l’inverse, quand aλ∩, ka 2 a 1=πλ et au premier ordre en ka, la relation de dispersion
s’écrit :
()
0ka
k2 ω=Ω .
Elle est linéaire et le milieu est non dispersif. La vitesse de phase et la vitesse de groupe sont
confondues, égales à la célérité de l’onde g0
vv a2
ϕ==Ω qui ne dépend pas de la fréquence.
L’équation différentielle du paragraphe 1. s’écrit :
()
2nen1 n1 n
2
du
m Kuu2u
dt +−
=+−,
avec
() ( )
n
ut ux,t=,
() ( )
n1
utuxa,t
+=+ et
() ( )
n1
utuxa,t
−=− . Développons
()
ux a,t+ et
()
ux a,t−
en x :
k
aπ
vϕ
g
v
0a2Ω
0aΩπ
vitesse

réseau atomique unidimensionnel 4
()()() ()
()()() ()
2
2
2
2
2
2
u x,t u x,t
a
ux a,t ux,t a x2
x
ux,t ux,t
a
ux a,t ux,t a x2
x
∂∂
+= + +
∂∂
∂∂
−= − +
∂∂
.
On remplace dans l’équation différentielle et finalement :
() ()
22
2
e
22
ux,t ux,t
Ka
m
tx
∂∂
=
∂∂
.
C’est une équation de propagation. La célérité de l’onde est :
e0
K
ca a
m2
Ω
==.