Tronc Commun Mathématiques - Université Blaise Pascal, Clermont

Tronc Commun Math´ ematiques
Licence 1
2013–2014
Universit´ e Blaise Pascal - Clermont-Ferrand
UFR Sciences et Technologies
D´ epartement de Math´ ematiques

Ce document constitue le polycopi´e de l’enseignement de tronc commun math´ematiques, qui est suivi
par tous les ´etudiants inscrits en 1`ere ann´ee de licence `a l’UFR Sciences et Technologies de l’Uni-
versit´e Blaise Pascal. Il contient l’ensemble des notions math´ematiques abord´ees dans ce cours, et
forme une base de connaissances en math´ematiques jug´ees n´ecessaires pour pouvoir pr´etendre `a la
poursuite d’´etudes solides en sciences.
Ce polycopi´e a ´et´e ´ecrit par 5 enseignants de math´ematiques (Nicolas Billerey, Kamal Boussaf,
Laurent Chupin, Fran¸cois Martin et Claude Tricot), en ´etroite collaboration avec des enseignants de
toutes les disciplines scientifiques de l’UFR (biologie, chimie, informatique, physique et sciences de
la terre). Il a ´et´e r´edig´e de fa¸con `a rendre les notions math´ematiques pr´esent´ees les plus conformes
possibles `a leur utilisation dans les diff´erents domaines scientifiques.
Ce polycopi´e contient essentiellement des d´efinitions, des explications et des r´esultats. Il n’y a quasi-
ment aucune d´emonstration math´ematique. Il se veut r´esolument pratique et a vocation `a ˆetre utilis´e
comme un outil de r´ef´erence tout au long du cursus d’un ´etudiant `a l’UFR Sciences et Technologies.
Il comporte 4 parties principales (voir table des mati`eres ci-apr`es). Une partie des notions abord´ees
a d´ej`a ´et´e vue en Terminale S (avec les programmes de terminale mis en place `a la rentr´ee 2012),
mais il y a plusieurs notions nouvelles et certains outils math´ematiques sont r´eintroduits, compl´et´es
et ´etendus par rapport `a la terminale. A la fin ont ´et´e ajout´ees 3 annexes recensant quelques formules
utiles.
Bonne lecture !

Table des mati`eres 3
Table des mati`eres
I Fonctions d’une variable 5
I.1 Rappels sur les nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1.1 Repr´esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.1.2 Propri´et´es locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2 Rappels sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2.1 D´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2.2 Parit´e, p´eriodicit´e, extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.2.3 Op´erations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I.2.4 Fonctions r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.3 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.3.1 La fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.3.2 Les fonctions puissances, premier ´episode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.3.3 Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.3.4 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.3.5 Les fonctions puissances, second ´episode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.3.6 Les fonctions trigonom´etriques et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
I.4 Limites et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.4.2 Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.4.3 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.4.4 Limite `a l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
I.4.5 Propri´et´es et r`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I.4.6 Limites des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I.4.7 Continuit´e....................................... 32
I.5 D´eriv´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
I.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I.5.2 D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
I.5.3 D´eriv´ees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I.5.4 Approximation affine d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.6 ´ Etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.6.1 Sens de variation et recherche d’extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.6.2 Concavit´e, convexit´e, point d’inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II Vecteurs et fonctions de plusieurs variables 43
II.1 Vecteurs du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II.1.1 Produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II.1.2 Divers emplois du produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
II.2 Vecteurs de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49