Algèbre linéaire

Algèbre linéaire
A Définition
Définition : Une matrice n × p est un tableau de valeurs réelles à n lignes et à p colonnes.
Etant donnée une n × p matrice M , on note mij l’élément se trouvant à la ligne i et à la
colonne j :
M =
€
m11 ... m1j... m1p
M M M
mi1... mij ... mip
M M M
mn1... mnj ... mnp
Par exemple, la matrice A =
€
2−1
2 7
1 4
est une matrice 3 × 2 avec
€
a11 =2a12 =−1
a21 =2a21 =7
a31 =1a32 =4
Remarques : - Si n = p, alors on dit que que la matrice est carrée et que n est son ordre.
€
0 3 −5
5 8 3
−6−7 1
est une matrice carrée d’ordre 3.
- Une matrice à 1 ligne ou 1 colonne est un vecteur :
€
−5
6
4
et
€
1 0 −1 1
( )
sont deux vecteurs.
B Opérations sur les matrices
1/Addition
méthode : La somme C de 2 matrices A et B de mêmes dimensions n × p est une matrice
n × p telle que ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , p},
€
cij =aij +bij
Autrement dit, on additionne entre elles toutes les composantes de mêmes coordonnées.
Par exemple : si A =
€
2−1
2 7
1 4
et B =
€
4−6
−3 1
0 8
alors A+B =
€
2+4−1−6
2−3 7 +1
1+0 4 +8
=
€
6−7
−1 8
1 12
Attention : il n’est possible d’additionner que des matrices de mêmes dimensions.
2/ Multiplication par un scalaire
Le produit d’une matrice A de dimensions n × p par un réel λ est une matrice B = λA de
dimensions n × p telle que ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , p},
€
bij = λ aij
chapitre 9 matrices
1

Autrement dit, on multiplie toutes les composantes de A par λ.
Par exemple : si A =
€
2−1
2 7
1 4
et
€
λ =3
, 3A=
€
3×2 3 × −1
3×2 3 ×7
3×1 3 ×4
=
€
6−3
6 21
3 12
3/ Transposition
Définition : Etant donnée une matrice A de dimensions n × p, la transposée de A, notée
At, est une matrice p × n telle que ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , p},
€
aij
t=aji
Autrement dit, on transpose une matrice en la retournant autour de l’axe formé par la
diagonale :
Par exemple : si A =
€
2−1
2 7
1 4
,alors At =
€
2 2 1
−1 7 4
Remarque : Une matrice égale à sa transposée est une matrice symétrique. Les matrices
symétriques sont nécessairement carrées.
4/ Produit de deux matrices
a) méthode : Etant données deux matrices A et B de dimensions respectives n × p et p×q,
le produit de A par B est une matrice C = A.B de dimensions n×q vérifiant : ∀i∈ {1, . . . , n},
∀j∈{1, . . . , q},
€
cij =aikbkj
k=1
p
∑
Par exemple : pour A=
€
2−1
2 7
1 4
et B=
€
1 0 2
−6 1 −1
, on positionne bien les 2 matrices
B
€
1 0 2
−6 1 −1
A A
€
×
B
€
2−1
2 7
1 4
€
1×2+(−1) ×(−6) 0 ×2+1×(−1) 2 ×2+(−1) ×(−1)
1×2+7×(−6) 0 ×2+1×7 2 ×2+(−1) ×7
1×1+4×(−6) 0 ×1+1×4 2 ×1+4×(−1)
donc A
€
×
B =
€
8−1 5
−40 7 −3
−23 4 −2
Attention : pour qu’il soit possible de multiplier deux matrices, il faut que le nombre de
colonnes de la première soit égal au nombre de lignes de la deuxième. La matrice produit a
alors autant de lignes que la première matrice et autant de colonnes que la deuxième.
chapitre 9 matrices
2

b) Propriétés
Propriétés : A, B et C sont 3 matrices telles que les produits indiqués existent et
€
λ
est un
nombre réel.
€
A×(B ×C) =(A ×B) ×C
€
A×(B +C) =A×B + A ×C
€
(A +B) ×C=A×C + B ×C
€
A× λ B= λ (A ×B)
Remarques : Attention
 la multiplication de 2 matrices n’est pas commutative : en général
€
A×B≠B×A
€
A×B =
0 0
0 0
n’implique pas forcément que A=
€
0 0
0 0
ou B=
€
0 0
0 0
Exemple : Avec A=
€
1 0
0 0
et B=
€
0 0
1 1
, après calcul, on trouve AB=
€
0 0
0 0
et BA=
€
0 0
1 0
donc AB
€
≠
BA
de plus
€
A×B =
0 0
0 0
avec A
€
≠
€
0 0
0 0
et B
€
≠
€
0 0
0 0
c) Matrice Identité
Définition : La matrice identité d’ordre n est la matrice carrée d’ordre n dont tous le
coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1. On la note I.
Remarque : Pour toute matrice carrée M, on a MI = IM.
Exemple : Avec A=
€
1 3
2 0
on a bien I
€
×
A =
€
1 3
2 0
et A
€
×
I=
€
1 3
2 0
d) Matrice inverse
Définition : Soit M, une matrice carrée, sous certaines conditions, il peut exister une
matrice notée M-1 telle que MM -1 = M -1 M = I. On dit alors que M -1 est inversible de
matrice inverse M -1.
Exemple : Pour montrer que
€
B=1 0,5
0 0,5
est la matrice inverse de A =
€
1 -1
0 2
, on calcule
AB. On trouve AB =
€
1 0
0 1
. Donc A et B sont deux matrices inverses.
Remarque : ces propriétés sur le calcul matriciel permettent d’obtenir des résultats sur une
matrice A sans avoir à effectuer des calculs sur les coefficients.
Exemple : Si une matrice carrée vérifie A2=-4A+2I, alors A est inversible et A -1=0,5A+2I
En effet A2+4A=2I donc 0,5A2+2A=I et A(0,5A+2I)=I
chapitre 9 matrices
3

C Résolution de systèmes d’équations linéaires.
Définition :  Résoudre un système de n équations à p inconnues revient à
déterminer l’ensemble des p-uplets de Rp qui vérifient en même temps les n équations.
 Deux systèmes sont équivalents s’ils admettent le même ensemble de solutions.
1/ Les systèmes triangulaires
€
−x+2y−z=3L1
4y−3z=10 L2
−5z=10 L3
avec x, y et z réels
Un tel système est appelé système triangulaire. Sa résolution est simple et se fait en
remontant.
On trouve
€
z
en résolvant L3
puis on trouve
€
y
résolvant L2 après avoir remplacé
€
z
par la valeur trouvée
et enfin on trouve
€
x
en résolvant L1 après avoir remplacé
€
y
et
€
z
par les valeurs trouvées
2/ Le Pivot de Gauss
La méthode de pivot de Gauss est une méthode permettant de transformer tout système
ayant une solution en un système triangulaire ayant la même solution.
Les opérations suivantes permettant de modifier les équations du système sans changer la
solution de ce système :
La multiplication par un scalaire
La multiplication par un réel k d’une équation d’un système n’en change pas la solution.
(remplacer L1 par -L1)
La combinaison linéaire
On obtient une combinaison linéaire de deux équations en les pondérant par des réels et
en les additionnant. (remplacer L2 par 2 L2-3 L1)
Par exemple,
€
2x+3y+5z=8L1
x+4y+5z=2L2←L1−2L2
x+y−10z=2L3←L1−2L3
€
⇔
€
2x+3y+5z=8L1
−5y−5z=4L2
y+25z=4L3←L2+5L3
€
⇔
€
2x+3y+5z=8
−5y−5z=4
120z=24
On conserve la 1ère ligne et on On conserve la deuxième ligne et on
supprime les x des autres lignes supprime le y de la 3ème
€
⇔
€
2x+3y+5z=8
−5y−5z=4
z=0,2
€
⇔
€
2x+3y+5z=8
y=−1
z=0,2
€
⇔
€
x=5
y=−1
z=0,2
On résout ensuite les équations en commençant par z, puis en remontant
chapitre 9 matrices
4
Ce système
admet comme
solution le
triplet (5;-1;0,2)