M4 - Éléments de mécanique du solide 1 Coefficient de frottements

Lycée Jean Perrin - Classe de TSI 1 - E. VAN BRACKEL TD de Physique-Chimie
TD
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M4 - Éléments de mécanique du solide
1 Coefficient de frottements
Un palet de masse m repose sur un plan incliné d’un angle αavec l’horizontale. On aug-
mente progressivement cet angle, et on observe que le palet finit par se mettre en mouve-
ment pour un angle minimal αm.
1. A partir de vos connaissances, déterminer le lien entre cet angle et le coefficient de
frottement statique.
2. Pour α > αm, déterminer la nature du mouvement.
2 Lip-stick
On va essayer de comprendre pourquoi une craie crisse lorsqu’elle est frottée à vitesse
constante contre un tableau. Pour cela, étudions dans un premier temps la situation sui-
vante : une masse m repose sur un tapis roulant animé d’une vitesse v constante par rapport
au sol et est reliée à un point fixe par un ressort de raideur k et de longueur à vide l0. On
caractérise le contact entre le solide et le tapis par µset µdrespectivement coefficient de
frottement statique et dynamique. Enfin, on repère la position de la masse par l’abscisse x
par rapport à sa longueur à vide dans le référentiel fixe du laboratoire.
1. On suppose qu’à t=0, x=0. La masse commence à être entraînée par le tapis à
vitesse constante v>0. Après avoir effectué une hypothèse sur le glissement/non-
glissement, en déduire une condition telle que cette hypothèse reste valide, de la
forme x<x1et t<t1que l’on exprimera en fonction des données du problème.
2. Pour t>t1, que se passe-t-il au niveau du ressort ? En déduire l’équation du mou-
vement, que l’on mettra sous la forme
d2x
dt2+ω2
0x = µdg
où l’on précisera la valeur de ω0.
3. On prend une nouvelle origine des temps t0= t −t1au début de cette nouvelle phase.
Donner la solution x(t0)en précisant bien les conditions initiales à t0= 0.
4. Déterminer la condition pour que l’on reste dans ce régime. On pensera à exploiter
la vitesse.
5. Montrer enfin qualitivement que le phénomène est périodique. On obtient une période
de l’ordre de T'mg(µs−µd)
kv
6. Revenons alors au crissement : la main entraîne la craie penchée à vitesse v sur
le tableau et en appuyant pour écrire, la déforme légèrement. Du fait de l’élasti-
cité, la craie réagit comme un ressort en essayant de lutter contre la déformation.
Sa constante de raideur est de l’ordre de kc'4103N.m−1. En prenant des ordres
de grandeurs cohérents (vitesse autour de 0,1 m.−1, pression de la main telle que
mg ∼1 N et (µs−µd)'0,040), en déduire la fréquence du crissement.
3 Levier
Archimède utilise un levier afin de soulever
un rocher de masse M = 200 kg. Les lon-
gueurs valent d1= 50 cm et d2= 1,5 m et
α= 60◦.
1. A votre avis, à quelle condition le ro-
cher va commencer à se soulever ?
2. En déduire la masse minimale nécessaire pour que le rocher se soulève.
3. En faisant varier la direction de la force qu’il exerce par rapport au levier, Archimède
peut être plus efficace. Expliquer comment il peut procéder et quelle force il doit
exercer. Quel est le gain par rapport au cas précédent ?
4 Déménagement
Deux déménageurs portent une armoire, de hau-
teur l = 3 m et de masse m = 50 kg. L’un est à
une extrémité M de la poutre, l’autre au point L
à une distance d = 0,7 m du milieu de l’armoire.
On suppose le solide homogène, pour simplifier.
1. On suppose que les déménageurs ont même
taille, l’armoire est donc maintenue horizon-
talement. Déterminer les normes des forces
−→
FMet −→ FLexercées pour la maintenir.
2. Même question si on imagine maintenant
que l’un des déménageurs est plus petit,
et donc l’armoire est inclinée d’un angle
α= 20◦.
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TD 16. M4 - ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DU SOLIDE
5 Pendule pesant
On considère le pendule ci-contre, capable d’oscil-
ler librement autour de l’axe (Oy) horizontal grâce à
une liaison pivot parfaite. Il est constitué d’une barre
homogène de section constante et masse m, à l’extré-
mité de laquelle on a soudé un disque homogène de
masse 2m et de centre C. L’ensemble obtenu consti-
tue un solide rigide. On note b la distance du centre
de gravité à l’axe. Le moment d’inertie du système
par rapport à l’axe (Oy) est :
J(Oy) = kmb2
k étant un réel positif que l’on cherche à déterminer expérimentalement.
On écarte le pendule d’un angle α0par rapport à sa position d’équilibre, et on le lâche sans
vitesse initiale à la date t=0. On étudie son mouvement ultérieur en observant l’angle α
que forme la direction de la barre avec l’axe vertical descendant (Ox).
1. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit α
2. En déduire un moyen d’obtenir expérimentalement k, en explicitant la formule à
utiliser.
6 Pendule lié à deux ressorts
On considère la situation ci-contre, où une
masse est attachée à deux ressorts iden-
tiques de raideur k et de longueur à vide l0,
et à un fil de longueur constante d. L’angle
θrepère la position de la masse par rapport
à la verticale.
1. Après avoir représenté les forces agissant sur la masse, calculer le moment scalaire
par rapport à l’axe (O,−→ ex)de chacune d’elles.
2. En déduire l’équation différentielle régissant l’angle θ.
3. La linéariser pour obtenir la pulsation caractéristique associée. On l’exprimera en
fonction de k, m, g et l.
4. Retrouver l’équation différentielle par une méthode énergétique.
7 Toupie or not toupie
Considérons une toupie, que l’on va modéliser
comme un cylindre tournant de masse m et de rayon
R, de moment d’inertie par rapport à son axe de
symétrie J∆=mR2
2. On enroule un fil autour du
cylindre (4 tours), et on tire dessus avec une force
de norme F supposée constante, à partir de t=0, la
toupie étant initialement immobile.
1. Exprimer la puissance instantanée de la force −→ F.
2. En déduire l’accélération angulaire de la toupie.
3. A l’aide d’un bilan d’énergie cinétique, déterminer la vitesse angulaire de la toupie
quand tout le fil a été déroulé.
2E. VAN BRACKEL