LPSP1209 - Syllabus d`Exercices

6. Binomiale en grand échantillon
Soit X une v.a. Bi (250;0.4), approximez les probabilités suivantes à l’aide des tables et calculez le
résultat exact à l’aide d’Excel.
Conditions d’application du TCL sur une binomiale : np > 5 et n(1-p) > 5
Dans le cas présent : np = 250*0.4 = 100 > 5 et n(1-p) = 250*0.6 = 150 >5
On peut donc approximer la binomiale Bi(n,p) par la normale N(np,np(1-p)).
Dans le cas présent : Bi (250;0.4) ≈ N(250*0.4 ; 250*0.4*0.6) = N(100 ; 60)
Attention enfin à bien appliquer la correction de continuité.
a) P(X ≤ 80) ≈ P(XNorm ≤ 80+0.5) = P(Z ≤ (80+0.5-100)/√60 ) = P(Z ≤ -2.5174)
= 1 - P(Z ≤ 2.5174) = 1 – 0.9941 = 0.0059
Dans Excel, avec la formule ‘=Loi.Binomiale.N(80;250;0.4;VRAI)’ on obtient 0.0054 ; il
ne s’agit plus d’une approximation mais du calcul exact. On constate que l’approximation
n’était pas mauvaise
b) P(X < 80) ≈ P(XNorm ≤ 80-0.5) = P(Z ≤ (80-0.5-100)/√60 ) = P(Z ≤ -2.6465)
= 1 - P(Z ≤ 2.6465) = 1 – 0.9960 = 0.0040
c) P(X ≥130) = 1 - P(X ≤ 129) ≈ 1 - P(XNorm ≤ 129+0.5) = 1 - P(Z ≤ (129+0.5-100)/√60 )
= 1 - P(Z ≤ 3.8084) = 1 – 1 = 0
d) P(X = 110) = P(X ≤ 110) - P(X ≤ 109) ≈ P(XNorm ≤ 110+0.5) - P(XNorm ≤ 109+0.5) = P(Z ≤
1.3555) - P(Z ≤ 1.2265) = 0.9131 – 0.8907 = 0.0224
Dans Excel, avec la formule ‘=Loi.Binomiale.N(110;250;0.4;FAUX)’ on obtient 0.0223
e) P(X < 81) = P(X ≤ 80) = 0.0059
f) P(70 ≤ X < 140) = P(X ≤ 139) - P(X ≤ 69) ≈ 1
7. Recherche de quantiles (ou seuils critiques)
Soit une variable aléatoire Normale réduite N(0,1) :
a) P(X < x) = 0.975 pour x = 1.96.
b) P(X < x) = 0.05 pour x = -1.6449.
c) P(X > x) = 0.1 pour x = 1.2816
Soit une variable aléatoire T de Student à 15 degrés de liberté :
Retenez que la Student est symétrique autour de 0 comme la normale réduite.
d) P(X < x) = 0.975 pour x = 2.1310.
e) P(X < x) = 0.05 pour x = -1.7530.
f) P(X > x) = 0.1 pour x = 1.3410.
Soit une variable aléatoire chi-carré à 20 degrés de liberté :
g) P(X < x) = 0.975. Il n’y a pas de colonne 0.975 dans la table à votre disposition. On peut
donc juste donner un intervalle de valeur pour x en se basant sur les colonnes 0.95 et 0.99.
Cet intervalle est ]31.41 ; 37.57[. A l’aide d’Excel ou d’une table plus préciser, vous
pourriez trouver que x = 34.17.
h) P(X < x) = 0.05 pour x = 10.85.
i) P(X > x) = 0.1 pour x = 28.41. Commencez par reformuler la probabilité en P(X < x).
Soit une variable aléatoire F de Fischer à 10 et 20 degrés de liberté :
j) P(X < x) = 0.975. On ne peut pas trouver cette valeur de x dans les tables qui vous sont
fournies car vous n’avez les tables que pour 0.95 et 0.99.
k) P(X < x) = 0.95 pour x = 2.35.
l) P(X < x) = 0.05 pour x = 0.36.
Pour trouver cette valeur, on doit utiliser la formule Fn1-1;n2-1;α/2 = 1 / Fn2-1;n1-1;1-α/2 dans
laquelle x = Fn1-1;n2-1;α/2 = F10-1;20-1;0.05. α vaut donc 0.1. Pour trouver x, on va devoir chercher
Fn2-1;n1-1;1-α/2 = F20-1;10-1;0.95 = 2.77, on trouve donc que x = F15-1;20-1;0.05 = 1 / 2.77 = 0.36
m) P(X > x) = 0.01 pour x = 3.37. Commencez par reformuler la probabilité en P(X < x).
Soient n = 16, m = 21 et α = 0.05. Calculez les percentiles suivants (vous les avez déjà en principe
calculés dans les exercices précédents).
n) z1-α/2 = 1.96 et zα = -1.6449
o) tn-1,1-α/2 = 2.1310 et tn-1,α = -1.7530
p) χ2m-1,1-α/2 = 34.17 et χ2m-1,α = 10.85
q) Fn-1,m-1,1-α = 2.20 et Fn-1,m-1,α = 0.46
8. Recherche de p-valeurs
a)
b)
c)
d)
P (Z> 2.8) = 1- P (Z ≤ 2.8) = 1-0.9974 = 0.0026
P (Z > -0.5) = P (Z ≤ 0.5) = 0.6915
P (|Z| > 1.4) = 2*P (Z > 1.4) = 2*(1-P(Z ≤ 1.4))= 2*(1-0.9192)=0.1616
P (t 30 ≥ 2.45) = 1- P (t 30 ≤ 2.45) ≅ 1 − 0.99 ≅ 0.01
Pour trouver cette probabilité, il suffit de consulter la table de Student, ligne 30 pour n, et rechercher dans cette
ligne un chiffre le plus proche de 2.45. C’est 2.4570 et on choisit la probabilité qui lui est associée.
e) P (t 30 ≥ 4) = 1- P (t 30 ≤ 4) ≅ 1 − 0.999 ≅ 0.001
f) P ( | t 30 | > 1) = 1 - P (-1 ≤ t 30 ≤ 1) = 1 - P (t 30 ≤ 1) – P (t 30 ≤ -1) = 1- P(t 30 ≤ 1)-[1-P(t 30 ≤
1)] ≅ 0.87 – 1 + 0.87 ≅ 0.74
Pour trouver le 0.87 : il faut prendre la probabilité milieu des valeurs « 0.6830 » et « 1.131 » puisque « 1 » se situe
entre elles. Soit entre 0.75 et 0.90
g) P ( χ 102 >24) = 1- P ( χ 102 < 24) ≅ 1- 0.99 ≅ 0.01
h) P ( χ 102 < 3) ≅ 0.01
i)
j)
k)
l)
P( χ 302 > 55) = 1 − P( X 302 < 55) ≈ 1 − 0,995 = 0,005
P(F10,15>2.54) = 1 - P(F10,15<2.54) = 1-0.95 = 0.05
= 5 = 0.2 1 − 0.2 = 56 × 0.00032 × 0.512 = 0.0092
> 6 = 1 − = 7 = 1 − 0.2 1 − 0.2 = 1 × 0.00001 × 1 = 0.00001
9. Exercice mélangé
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
P(t18 > 1.33) = 1-P(t18 ≤ 1.33)= 1-0.9 = 0.1
P(F10,20 ≥ x ) = 0.025 → 1-P(F10,20 ≤ x ) = 1-0.025 = 0.975→x=2.77
P(Z ≤ z) = - 0.12 → impossible, une probabilité ne peut pas être négative.
P(Z ≤ -0.12) = 1- P(Z ≤ 0.12)= 1-0.5478 = 0.4522
≥ 19.37 = 1 − ≥ 19.37 = 1-0.75=0.25
, 0.1 ≤ 1 = 0.3917 → = 20
210,0.9 ≥ 200 = 1 − 210,0.9 ≤ 200 ≈ 1 − #210 × 0.9, 210 × 0.9 ×
1−0.9≤200+0.5=1−#189
18.9≤200+0.5=1−'≤200+0.5−18918.9=1−'≤2.65=1−0.9960=0.0040
LPSP 1209 – Syllabus d’exercices – Correctif étudiant / Version 2014
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