Cours 4. La connexité 1 Espaces connexes 2 Partitions

Université de Provence
Topologie 2
Cours 4. La connexité
1 Espaces connexes
Définition. Un espace topologique non vide Xsera dit connexe si les seules
parties de Xà la fois ouvertes et fermées sont la partie vide et la partie
pleine.
Exemple 1. (Voir dessin : deux disques fermés dans la plan, situés de
part et d’autre de l’axe vertical.) L’ensemble Yn’est pas connexe. En effet
le disque Ade gauche est bien une partie non vide et non pleine. Il est
visiblement fermé dans le plan et donc dans Y(pour la topologie induite !).
Par ailleurs son complémentaire Bdans Yest aussi fermé dans le plan et
dans Ydonc A(qui n’est pas ouvert dans le plan) sera ouvert dans Y(pour
la topologie induite).
Exemple 2. (Autre dessin : un seul disque fermé.) L’ensemble Xest connexe,
nous verrons plus loin les outils qui permettent de le démontrer.
Remarque. La notion d’espace connexe sert à formaliser mathématique-
ment l’idée d’espace “d’un seul tenant”.
2 Partitions
Définition. Soit Xun ensemble. Un ensemble Pde parties non vides de X
sera appelé une partition de Xsi tout élément de Xappartient à un élément
de Pet un seul.
Autrement dit une partition de Xest un ensemble de parties de Xnon
vides, disjointes et de réunion Xtout entier.
Exemple 1. Un ensemble à deux éléments {A, B}admet deux partitions :
1){A},{B}
2){A, B}
Exemple 2. Un ensemble à trois éléments {A, B, C}admet cinq partitions :
1){A},{B},{C}
2){A, B},{C}
3){A, C},{B}
1

4){B, C},{A}
5){A, B, C}
Exemple 3. Une partition de R:
R∗
−,{0},R∗ +.
On peut donner d’autres définitions (équivalentes) de la connexité :
Définition. Une espace topologique non vide Xsera dit connexe s’il n’admet
pas de partition en deux ouverts.
Définition. Une espace topologique non vide Xsera dit connexe s’il n’admet
pas de partition en deux fermés.
3 Lien avec la notion de frontière
Dans un espace topologique X, la frontière d’une partie Aest le complé-
mentaire de int(A)dans adh(A).
Fr(A) = adh(A)\int(A) = {x∈adh(A)|x6∈ int(A)}.
Notons Ble complémentaire de Adans X. Alors, en se souvenant que les par-
ties int(A)et adh(B)sont complémentaires l’une de l’autre, on peut écrire :
Fr(A) = adh(A)∩adh(B) = Fr(B).
Remarque. Un point de la frontière sera donc un point adhérent à la fois
àAet à son complémentaire B.
Exemple. Dans le plan euclidien, la frontière d’un disque (ouvert ou fermé)
sera le cercle de même centre et de même rayon.
Remarque. Dans la suite d’inclusion :
int(A)⊂A⊂adh(A)
la première inclusion sera une égalité si et seulement si Aest un ouvert et
la seconde si et seulement si Aest un fermé. Donc Asera à la fois ouvert
et fermé si et seulement si son intérieur est égal à son adhérence. Autrement
dit, les parties à la fois ouvertes est fermées sont celles dont la frontière est
vide. Dire d’un espace topologique non vide Xqu’il est connexe revient donc
à dire que dans X, toutes les parties ont une frontière non vide, sauf bien sûr
la partie vide et la partie pleine.
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4 Les intervalles
Il est temps de donner des exemples d’espaces connexes.
Définition. Un intervalle est une partie Ide Rqui vérifie :
∀a∈I∀b∈I∀x∈R(a < x < b)⇒(x∈I)
Proposition. Les intervalles non vides sont connexes (pour la topologie in-
duite !).
Démonstration. Soit Iun intervalle non vide. Supposons par l’absurde
qu’il existe une partition de Ien deux ouverts non vides Aet B. Choisissons
deux points a∈Aet b∈B. Sans perte de généralité, on peut les supposer
dans l’ordre (a < b). Posons :
A′=] − ∞, a[∪(A∩[a, b])
On va prouver que A′est une partie de Rà la fois ouverte, fermée, non vide
et majorée. Elle est non vide car elle contient aet elle est majorée par b.
Comme Aest un ouvert de I(pour la topologie induite !), on peut choisir
un ouvert Ode Rvérifiant A=I∩O. Alors :
A′= ] − ∞, a[∪(A∩[a, b])
= ] − ∞, a[∪(A∩[a, b[)
(car bn’appartient pas à A)
= ] − ∞, a[∪(I∩O∩[a, b[)
= ] − ∞, a[∪(O∩[a, b[)
(car [a, b[est inclus dans I)
A′= ] − ∞, a[∪(O∩]− ∞, b[).
Cette dernière formulation permet de voir que A′est bien ouvert dans Rcar
]− ∞, a[,Oet ]− ∞, b[le sont.
Comme Aest un fermé de I, on peut choisir un fermé Fde Rvérifiant
A=I∩F. Alors :
A′= ] − ∞, a[∪(A∩[a, b])
= ] − ∞, a]∪(A∩[a, b])
(car aappartient à A∩[a, b])
= ] − ∞, a]∪(I∩F∩[a, b])
= ] − ∞, a]∪(F∩[a, b])
(car [a, b]est inclus dans I).
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Cette dernière formulation permet de voir que A′est fermé dans R, en effet
]− ∞, a],Fet [a, b]le sont.
On a donc bien prouvé que A′était une partie de Rà la fois ouverte,
fermée, non vide et majorée. C’est contradictoire car on a vu en TD qu’il
n’existait pas, dans R, de telles parties.
Rappelons brièvement l’argument vu en TD. Un telle partie A′étant
non vide et majoré, elle admettra une borne supérieure dans R. Comme A′
est fermée dans R, cette borne sera un maximum. Mais, par ailleurs, A′est
ouverte dans Ret donc n’atteint pas de maximum. Contradiction.
Exemple. Notamment, Rlui-même est connexe.
Remarque. Dans la démonstration, on a utilisé la propriété essentielle de
la droite réelle qui mérite d’être rappelée :
Proposition. Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne
supérieure.
On ne démontre pas cette proposition, elle découle directement de la
construction des nombres réels (la construction de Dedekind).
Proposition. Réciproquement, toute partie connexe de Rest un intervalle
(non vide par définition d’un espace connexe).
Démonstration. Soit Pune partie de Rqui n’est pas un intervalle. Alors
on peut choisir trois réels a < b < c de telle sorte que aet csoient des points
de Pmais pas b. Posons A=P∩]− ∞, b[et B=P∩]b, +∞[. Les parties A
et Bne sont pas vides car l’une contient le point aet l’autre le point c.
A∩B=P∩]− ∞, b[∩]b, +∞[= P∩ ∅ =∅
et :
A∪B=P∪(] − ∞, b[∩]b, +∞[) = P\{b}=P
car Pne contient pas le point b. Ces parties Aet Bsont ouvertes dans P
pour la topologie induite. Elles ne sont pas vides car l’une contient le point
aet l’autre le point c.
On a trouvé une partition de Pen deux ouverts donc Pn’est pas connexe.
Exemples. La partie R∗n’est pas connexe. Il est facile d’en donner une
partition en deux ouverts : R∗
+et R∗ −. La partie Zn’est pas connexe non plus :
toutes les parties de Zsont ouvertes et fermées !
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5 Image continue d’un espace connexe
La connexité est une propriété qu’on a définie en termes d’ouverts et de
fermés. C’est donc une propriété topologique et on en déduit immédiatement
une proposition évidente.
Proposition. Un espace topologique homéomorphe à un espace connexe sera
connexe lui aussi.
Cette proposition est un cas particulier d’une autre proposition que nous
énonçons :
Proposition. Soit fune application continue entre deux espaces topolo-
giques Xet Y. On suppose connexe l’espace de départ Xet on suppose f
surjective. Alors l’espace d’arrivée Ysera connexe.
Démonstration. Comme Xest connexe, il est non vide (par convention)
et contiendra un élément xet donc Ysera non vide puisqu’il contiendra f(x).
Par l’absurde, supposons Ynon connexe. Alors on peut choisir dans Y
deux ouverts non vides Aet Bd’intersection vide et de réunion Y. Leur
images réciproques f−1(A)et f−1(B)seront ouvertes par continuité de f.
Leur intersection sera vide et leur réunion pleine, en effet l’image réciproque
se comporte bien pour les opérations ensemblistes. Enfin comme Aet Bsont
non vides et fsurjective, les images réciproques f−1(A)et f−1(B)seront non
vides. On a donc trouvé une partition de Xen deux ouverts (non vides), ce
qui contredit la connexité de X.
Proposition. Soit fune application continue entre deux espaces topolo-
giques Xet Y. On suppose connexe l’espace de départ X. Alors l’image de
fsera une partie connexe de Y.
Démonstration. Posons :
f:X→Im(f)
x7→ f(x)
(C’est fsauf qu’on a réduit l’espace d’arrivée pour la rendre surjective.)
Vérifions que l’application fest continue. Soit Uune partie de Im(f)ouverte
dans Im(f). Alors il existe un ouvert Ode Yqui vérifie : U=Im(f)∩O.
Alors f−1(U)est égal à f−1(O)qui est ouvert par continuité de f.
L’application fest surjective par défintion et on a prouvé qu’elle était
continue donc son espace d’arrivée Im(f)est connexe.
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