Cours 4. La connexité 1 Espaces connexes 2 Partitions

Université de Provence
Topologie 2
Cours 4. La connexité
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Espaces connexes
Définition. Un espace topologique non vide X sera dit connexe si les seules
parties de X à la fois ouvertes et fermées sont la partie vide et la partie
pleine.
Exemple 1. (Voir dessin : deux disques fermés dans la plan, situés de
part et d’autre de l’axe vertical.) L’ensemble Y n’est pas connexe. En effet
le disque A de gauche est bien une partie non vide et non pleine. Il est
visiblement fermé dans le plan et donc dans Y (pour la topologie induite !).
Par ailleurs son complémentaire B dans Y est aussi fermé dans le plan et
dans Y donc A (qui n’est pas ouvert dans le plan) sera ouvert dans Y (pour
la topologie induite).
Exemple 2. (Autre dessin : un seul disque fermé.) L’ensemble X est connexe,
nous verrons plus loin les outils qui permettent de le démontrer.
Remarque. La notion d’espace connexe sert à formaliser mathématiquement l’idée d’espace “d’un seul tenant”.
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Partitions
Définition. Soit X un ensemble. Un ensemble P de parties non vides de X
sera appelé une partition de X si tout élément de X appartient à un élément
de P et un seul.
Autrement dit une partition de X est un ensemble de parties de X non
vides, disjointes et de réunion X tout entier.
Exemple 1. Un ensemble à deux éléments {A, B} admet deux partitions :
1){A}, {B}
2){A, B}
Exemple 2. Un ensemble à trois éléments {A, B, C} admet cinq partitions :
1){A}, {B}, {C}
2){A, B}, {C}
3){A, C}, {B}
1
4){B, C}, {A}
5){A, B, C}
Exemple 3. Une partition de R :
R∗− , {0}, R∗+ .
On peut donner d’autres définitions (équivalentes) de la connexité :
Définition. Une espace topologique non vide X sera dit connexe s’il n’admet
pas de partition en deux ouverts.
Définition. Une espace topologique non vide X sera dit connexe s’il n’admet
pas de partition en deux fermés.
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Lien avec la notion de frontière
Dans un espace topologique X, la frontière d’une partie A est le complémentaire de int(A) dans adh(A).
Fr(A) = adh(A)\int(A) = {x ∈ adh(A) | x 6∈ int(A)}.
Notons B le complémentaire de A dans X. Alors, en se souvenant que les parties int(A) et adh(B) sont complémentaires l’une de l’autre, on peut écrire :
Fr(A) = adh(A) ∩ adh(B) = Fr(B).
Remarque. Un point de la frontière sera donc un point adhérent à la fois
à A et à son complémentaire B.
Exemple. Dans le plan euclidien, la frontière d’un disque (ouvert ou fermé)
sera le cercle de même centre et de même rayon.
Remarque. Dans la suite d’inclusion :
int(A) ⊂ A ⊂ adh(A)
la première inclusion sera une égalité si et seulement si A est un ouvert et
la seconde si et seulement si A est un fermé. Donc A sera à la fois ouvert
et fermé si et seulement si son intérieur est égal à son adhérence. Autrement
dit, les parties à la fois ouvertes est fermées sont celles dont la frontière est
vide. Dire d’un espace topologique non vide X qu’il est connexe revient donc
à dire que dans X, toutes les parties ont une frontière non vide, sauf bien sûr
la partie vide et la partie pleine.
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Les intervalles
Il est temps de donner des exemples d’espaces connexes.
Définition. Un intervalle est une partie I de R qui vérifie :
∀a ∈ I
∀b ∈ I
∀x ∈ R
(a < x < b) ⇒ (x ∈ I)
Proposition. Les intervalles non vides sont connexes (pour la topologie induite !).
Démonstration. Soit I un intervalle non vide. Supposons par l’absurde
qu’il existe une partition de I en deux ouverts non vides A et B. Choisissons
deux points a ∈ A et b ∈ B. Sans perte de généralité, on peut les supposer
dans l’ordre (a < b). Posons :
A′ =] − ∞, a[∪(A ∩ [a, b])
On va prouver que A′ est une partie de R à la fois ouverte, fermée, non vide
et majorée. Elle est non vide car elle contient a et elle est majorée par b.
Comme A est un ouvert de I (pour la topologie induite !), on peut choisir
un ouvert O de R vérifiant A = I ∩ O. Alors :
A′ = ] − ∞, a[∪(A ∩ [a, b])
= ] − ∞, a[∪(A ∩ [a, b[)
(car b n’appartient pas à A)
= ] − ∞, a[∪(I ∩ O ∩ [a, b[)
= ] − ∞, a[∪(O ∩ [a, b[)
(car [a, b[ est inclus dans I)
′
A = ] − ∞, a[∪(O∩] − ∞, b[).
Cette dernière formulation permet de voir que A′ est bien ouvert dans R car
] − ∞, a[, O et ] − ∞, b[ le sont.
Comme A est un fermé de I, on peut choisir un fermé F de R vérifiant
A = I ∩ F . Alors :
A′ = ] − ∞, a[∪(A ∩ [a, b])
= ] − ∞, a] ∪ (A ∩ [a, b])
(car a appartient à A ∩ [a, b])
= ] − ∞, a] ∪ (I ∩ F ∩ [a, b])
= ] − ∞, a] ∪ (F ∩ [a, b])
(car [a, b] est inclus dans I).
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Cette dernière formulation permet de voir que A′ est fermé dans R, en effet
] − ∞, a], F et [a, b] le sont.
On a donc bien prouvé que A′ était une partie de R à la fois ouverte,
fermée, non vide et majorée. C’est contradictoire car on a vu en TD qu’il
n’existait pas, dans R, de telles parties.
Rappelons brièvement l’argument vu en TD. Un telle partie A′ étant
non vide et majoré, elle admettra une borne supérieure dans R. Comme A′
est fermée dans R, cette borne sera un maximum. Mais, par ailleurs, A′ est
ouverte dans R et donc n’atteint pas de maximum. Contradiction.
Exemple. Notamment, R lui-même est connexe.
Remarque. Dans la démonstration, on a utilisé la propriété essentielle de
la droite réelle qui mérite d’être rappelée :
Proposition. Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne
supérieure.
On ne démontre pas cette proposition, elle découle directement de la
construction des nombres réels (la construction de Dedekind).
Proposition. Réciproquement, toute partie connexe de R est un intervalle
(non vide par définition d’un espace connexe).
Démonstration. Soit P une partie de R qui n’est pas un intervalle. Alors
on peut choisir trois réels a < b < c de telle sorte que a et c soient des points
de P mais pas b. Posons A = P ∩] − ∞, b[ et B = P ∩]b, + ∞[. Les parties A
et B ne sont pas vides car l’une contient le point a et l’autre le point c.
A ∩ B = P ∩] − ∞, b[∩]b, + ∞[= P ∩ ∅ = ∅
et :
A ∪ B = P ∪ (] − ∞, b[∩]b, + ∞[) = P \{b} = P
car P ne contient pas le point b. Ces parties A et B sont ouvertes dans P
pour la topologie induite. Elles ne sont pas vides car l’une contient le point
a et l’autre le point c.
On a trouvé une partition de P en deux ouverts donc P n’est pas connexe.
Exemples. La partie R∗ n’est pas connexe. Il est facile d’en donner une
partition en deux ouverts : R∗+ et R∗− . La partie Z n’est pas connexe non plus :
toutes les parties de Z sont ouvertes et fermées !
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Image continue d’un espace connexe
La connexité est une propriété qu’on a définie en termes d’ouverts et de
fermés. C’est donc une propriété topologique et on en déduit immédiatement
une proposition évidente.
Proposition. Un espace topologique homéomorphe à un espace connexe sera
connexe lui aussi.
Cette proposition est un cas particulier d’une autre proposition que nous
énonçons :
Proposition. Soit f une application continue entre deux espaces topologiques X et Y . On suppose connexe l’espace de départ X et on suppose f
surjective. Alors l’espace d’arrivée Y sera connexe.
Démonstration. Comme X est connexe, il est non vide (par convention)
et contiendra un élément x et donc Y sera non vide puisqu’il contiendra f (x).
Par l’absurde, supposons Y non connexe. Alors on peut choisir dans Y
deux ouverts non vides A et B d’intersection vide et de réunion Y . Leur
images réciproques f −1 (A) et f −1 (B) seront ouvertes par continuité de f .
Leur intersection sera vide et leur réunion pleine, en effet l’image réciproque
se comporte bien pour les opérations ensemblistes. Enfin comme A et B sont
non vides et f surjective, les images réciproques f −1 (A) et f −1 (B) seront non
vides. On a donc trouvé une partition de X en deux ouverts (non vides), ce
qui contredit la connexité de X.
Proposition. Soit f une application continue entre deux espaces topologiques X et Y . On suppose connexe l’espace de départ X. Alors l’image de
f sera une partie connexe de Y .
Démonstration. Posons :
X → Im(f )
f:
x 7→ f (x)
(C’est f sauf qu’on a réduit l’espace d’arrivée pour la rendre surjective.)
Vérifions que l’application f est continue. Soit U une partie de Im(f ) ouverte
dans Im(f ). Alors il existe un ouvert O de Y qui vérifie : U = Im(f ) ∩ O.
−1
Alors f (U) est égal à f −1 (O) qui est ouvert par continuité de f .
L’application f est surjective par défintion et on a prouvé qu’elle était
continue donc son espace d’arrivée Im(f ) est connexe.
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Exemple 1. Le cercle unité est connexe, en effet c’est l’image du connexe
R par l’application continue :
R → C
x 7→ exp(ix)
Exemple 2. Plus généralement, soit f une application continue d’un intervalle réel vers le plan R2 . Alors la courbe Im(f ) sera une partie connexe
du plan R2 .
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Le théorème des valeurs intermédiaires
Proposition. Soit f une fonction continue d’espace de départ un intervalle
réel et d’espace d’arrivée R. Alors Im(f ) est un intervalle réel.
Démonstration. L’espace de départ étant un intervalle non vide, il sera
connexe (on écarte le cas évident d’un intervalle vide). Alors Im(f ) sera
l’image continue d’un espace connexe donc sera connexe, or on sait que les
seules parties connexes de R sont les intervalles non vides donc Im(f ) sera
un intervalle.
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Composantes connexes
Définition. Soit X un espace topologique et a un point de X. On appelle
composante connexe de a dans X la réunion de toutes les parties connexes
de X qui contiennent a.
Exemple. (Faire un dessin, toujours le même exemple). Dans Y , la composante connexe du point P sera le disque A qui contient P . Nous verrons
plus loin les outils qui permettent de le démontrer. On peut déjà voir (exercice) que toute partie connexe de Y contenant le point P est nécessairement
incluse dans A.
Proposition. La composante connexe d’un point a dans un espace topologique est connexe (pour la topologie induite) et contient le point a.
Démonstration. Il existe au moins une partie connexe contenant le point
a : le singleton {a}. Donc la composante connexe Ca de a contient a.
Supposons par l’absurde que Ca ne soit pas connexe. Alors on peut choisir
une partition de Ca en deux parties A et B ouvertes dans Ca . Il existe des
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parties A′ et B ′ ouvertes dans l’epace topologique X qui verifient A = Ca ∩A′
et B = Ca ∩ B ′ .
Sans perte de généralité, on peut supposer que c’est la partie A qui
contient le point a et on choisit un point b dans la partie non vide B. Comme
le point b appartient à Ca , on sait qu’il existera une partie connexe Y de X
qui contiendra les points a et b. Les deux parties A′′ = Y ∩ A′ et B ′′ = Y ∩ B ′
sont bien sûr ouvertes dans Y (pour la topologie induite). Elles ne sont pas
vides car l’une contient a et l’autre b. Calculons leur intersection et leur
réunion.
A′′ ∩ B ′′ = Y ∩ A′ ∩ B ′
= Y ∩ Ca ∩ A′ ∩ B ′
(car Y est incluse dans Ca )
= Y ∩A∩B
(par définition de A′ et de B ′ )
= ∅
(car A et B forment une partition de Ca )
A′′ ∪ B ′′ = Y ∩ (A′ ∪ B ′ )
= Y ∩ Ca ∩ (A′ ∪ B ′ )
(car Y est incluse dans Ca )
= Y ∩ (A ∩ B)
(par définition de A′ et de B ′ )
= Y ∩ Ca
(car A et B forment une partition de Ca )
= Y
(car Y est incluse dans Ca ).
Les parties A′′ et B ′′ forment donc une partition de Y en deux ouverts ce qui
contredit la connexité de Y .
Remarque. On peut donc dire que la composante connexe de a dans X
est la plus grande partie connexe de X qui contienne a (“plus grande” au sens
de l’inclusion).
Exemple. Dans R∗ , la composante connexe du nombre 7 est R∗+ . En effet
on sait que les parties connexes de R sont les intervalles non vides et le plus
7
grand intervalle contenant 7 inclus dans R∗ est R∗+ .
Définition. On dira de deux points a et b d’un espace topologique X qu’ils
sont connectés dans X s’il existe une partie connexe de X qui les contienne
tous les deux.
Proposition. Sur un espace topologique, la relation “être connecté à” est une
relation d’équivalence.
Démonstration. Reflexivité. Soit a un point. On a déjà remarqué qu’il y
a au moins une partie connexe qui contient a : le singleton {a}. Donc a est
bien connecté à lui-même.
Symétrie. Cette relation a visiblement été définie de façon symétrique.
Transitivité. Soient trois points a, b et c. On suppose a et b connectés
et on suppose b et c connectés. Alors a et c appartiennent à la composante
connexe de b, or on a vu que cette composante connexe était connexe, donc
a et c sont bien connectés.
Proposition. La classe d’équivalence d’un point pour de la relation “être
connecté à” est sa composante connexe.
Cette proposition découle directement de la définition d’une composante
connexe.
Remarque 1. On sait qu’en général, les classes d’équivalence d’une relation
d’équivalence sur un ensemble forment une partition de cet ensemble. En
particulier les composantes connexes d’un espace topologique forment une
partition de cet espace.
Remarque 2. Un espace topologique non vide sera connexe si et seulement
s’il n’admet qu’une seule composante connexe.
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Connexité par arcs
Définition. On dira de deux points a et b d’un espace topologique X qu’ils
sont reliés dans X par un arc s’il existe une application continue γ du segment
[0, 1] vers X qui vérifie γ(0) = a et γ(1) = b.
Proposition. Deux points reliés par un arcs appartiendront à la même composante connexe.
Démonstration. Soient x et y deux tels points et γ un arc qui les relie.
L’image de γ est connexe puisque c’est l’image continue du connexe [0, 1].
On a donc trouvé une partie connexe qui contient les points x et y.
Définition. Un espace topologique non vide X sera dit “connexe par arcs”
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si tous points a et b de X sont reliés par un arcs.
On peut énoncer une proposition qui découle directement de la proposition précédente.
Proposition. Tout espace connexe par arcs est connexe.
Remarque. La réciproque est fausse. Il existe des espaces topologiques
(assez compliqués) qui sont connexes mais pas connexes par arcs. Par exemple
on démontre
que le graphe de la fonction f de R vers R définie par f (x) =
1
sin x pour x non nul et complétée par f (0) = 0 est connexe mais pas
connexe par arcs. (Dessin du graphe). Nous l’admettrons.
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Convexité et connexité
Définition. Une partie de P d’un espace vectoriel sera dite convexe si pour
tous points a et b de P , le segment [a, b] (c’est-à-dire l’ensemble {(1 − t)a +
tb | t ∈ [0, 1]}) est inclus dans P .
Autrement dit dans une partie convexe, deux points seront reliés par un
segment. On en déduit la proposition suivante.
Proposition. Toute partie de Rn convexe et non vide sera connexe par arcs
(et donc notamment connexe).
Remarque. Cette proposition restera vraie si on remplace Rn par un espace vectoriel normé. En effet, une application du type t 7→ (1 − t)a + tb est
continue dans n’importe quel espace vectoriel normé.
Exemples. L’espace Rn est convexe donc la proposition implique qu’il est
connexe. Idem pour les boules ouvertes et fermées. Idem, les droites seront
connexes dans R2 . Dans R3 , les droites et les plans seront connexes et plus
généralement dans Rn , les sous-espaces vectoriels ou affines seront connexes
(on appelle sous-espace affine d’un espace vectoriel tout translaté d’un sousespace vectoriel).
Proposition. La surface plane R2 \{(0, 0)} est connexe.
Démonstration. Les quatre demi-plans ouverts H1 , H2 , H3 et H4 d’inéquations x > 0, x < 0, y > 0 et y < 0 sont convexes et donc connexes. Chacun
de ces quatre demi-plans H1 , H2 , H3 et H4 est donc contenu dans une composante connexe C1 , C2 , C3 ou C4 de R2 \{(0, 0)}. On veut démontrer que ces
quatre composantes connexes sont une même composante connexe C. Alors
cette composante C contiendra R2 \{(0, 0)} tout entier et donc R2 \{(0, 0)}
sera connexe.
9
On sait que les composantes connexes d’un espace topologique sont disjointes, autrement dit si deux composantes connexes ont une intersection non
vide, elles seront confondues.
L’intersection C1 ∩ C3 contient le quart de plan d’inéquations x > 0 et
y > 0 donc elle n’est pas vide et les composantes C1 et C3 seront confondues.
De même on prouve les identités C1 = C4 et C2 = C3 .
Remarque. Plus généralement, l’espace Rn \{(0,...,0)} sera connexe pour
tout n ≥ 2 (on a vu que c’était faux pour n = 1). La démonstration utilisera
2n demi-espaces.
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L’ensemble de Cantor
Définition. L’ensemble triadique de Cantor est l’ensemble K des nombres
réels positifs qui admettent en base 3 une écriture qui commence par “0,” et
dont les chiffres après la virgule ne valent pas 1 (ils peuvent valoir 0 ou 2).
(faire un dessin)
Remarque. En base 10, les décimaux strictement positifs admettent deux
écriture décimales, l’une où les chiffres après la virgules valent 9 à partir
d’un certain rang, l’autre où les chiffres après la virgules valent 0 à partir
d’un certain rang. Par exemple 7 = 6,99... = 7,00.... Les nombres strictement
positifs autres que les décimaux n’admettent qu’une écriture décimale (qui
ne se termine ni par une suite de 9, ni par une suite de 0).
De même en base 3, certains nombres strictement positifs admetront deux
écriture triadiques, l’une où les chiffres après la virgules valent 2 à partir d’un
certain rang, l’autre où les chiffres après la virgules valent 0 à partir d’un
certain rang. Les autres nombres strictement positifs n’admetront qu’une
écriture (qui ne se terminera ni par une suite de 2, ni par une suite de 0).
Proposition. Soit x un élément de l’ensemble de Cantor K. Sa composante
connexe dans K sera réduite au singleton {x}.
Démonstration. Soit a et b deux éléments de K distincts. Prouvons que
a et b ne sont pas connectés.
Après la virgule, a et b ont un certain nombre de chiffre communs puis un
premier chiffre différent. Par exemple si a = 0,020020002... et b = 0,020220222...,
les trois premiers chiffres sont communs (les deux nombres commencent par
0,020) mais le quatrième ne l’est pas. On intercale entre a et b un nombre
x n’appartenant pas à K dont l’écriture est obtenu en gardant les premiers
10
chiffres communs et en remplaçant par des 1 tous les chiffres à partir du
premier chiffre différent. (Dans l’exemple, on pose x = 0,020111...)
Supposons par l’absurde que les points a et b soient contenus dans une
partie connexe I de K. Comme toute partie connexe de R, cette partie I
sera un intervalle. Cette partie I contient les points a et b mais, étant incluse
dans K, elle ne contient pas x. Ca contredit la définition d’un intervalle.
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Le produit de deux espaces topologiques
Soient X et Y deux espaces topologiques. On décrète qu’une partie O de
X × Y sera ouverte pour la topologie produit si pour tout (x,y) appartenant
à O il existe une ouvert U de X et un ouvert V de Y tels que le produit
U × V contienne le point (x,y) et soit inclus dans O.
On définit bien une topologie sur le produit X × Y .
Exercice. Vérifier les quatre axiomes.
Remarque. Dans le cas métrique, nous admettrons le fait suivant. Quand
les topologies sur X et Y sont associées à des distances dX et dY , la topologie
produit est la topologie associée à la distance dmax définie par :
dmax ((x,y), (x′,y ′ )) = max{dX (x,x′ ), dY (y,y ′)}
Proposition. Le produit de deux espaces connexes est connexe (pour la topologie produit).
Démonstration.
(Faire un dessin.)
Soient dans X × Y deux points (x,y) et (x′ ,y ′). On se souvient que la relation “être connecté à” est une relation d’équivalence. Pour prouver que les
points (x,y) et (x′ ,y ′) sont connectés entre eux, il suffit donc de les connecter
tous les deux au point (x′ ,y). Or (x,y) et (x′ ,y) sont connectés car ils appartiennent tous les deux à X × {y} qui est homéomorphe à X et donc connexe.
De même (x′ ,y) et (x′ ,y ′ ) sont connectés car ils appartiennent tous les deux
à {x′ } × Y qui est homéomorphe à Y et donc connexe.
Exercice. Dans la démonstration, on a affirmé que X × {y} (muni de la
topologie induite par la topologie produit !) était homéomorphe à X. Sauriezvous justifier ce fait?
Exemple. Dans R2 , on sait que le cercle d’équation x2 +y 2 = 1 est connexe
et par ailleurs le segment [0, 1] est connexe donc dans R3 , leur produit sera
connexe (ce produit est le cylindre défini par x2 + y 2 = 1 et 0 ≤ z ≤ 1).
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Petite remarque pour conclure
Si la connexité servait uniquement à distinguer les espaces connexes des
espaces non connexes cette notion serait banale. Mais elle permet aussi parfois de distinguer deux espaces connexes. Par exemple, nous verrons en TD
comment utiliser la connexité pour prouver qu’un segment n’est pas homéomorphe à un cercle, qu’un cercle n’est pas homéomorphe à une sphère etc.
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