Construction traditionnelle des angles du plan.
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Construction traditionnelle des angles du plan. I. Définition du cosinus et du sinus d’un réel. On nomme respectivement cosinus et sinus les fonctions de R dans R définie par : cos(x) = 1 + +∞ X (−1)k k=1 x2 k (2 k) ! et sin(x) = +∞ X (−1)k k=0 x2 k+1 (2 k + 1) ! Une étude fine permet d’établir que la fonction cosinus s’annule en un point x0 et, un seul, compris entre 0 et 2. On nomme π le nombre réel π = 2 x0 . On établit de même que la fonction t 7−→ (cos(t), sin(t)) réalise une bijection de l’intervalle ] − π, π] sur le tore unité de R2 . II. Définition du produit scalaire. Le plan est muni d’une structure d’espace affine et de la structure d’espace vectoriel associée. On appelle produit scalaire une forme bilinéaire symétrique définie positive dans cet espace vectoriel. La définition d’un produit scalaire infère : 1. La définition d’une norme euclidienne : √ → → − ||− u || = − u .→ u 2. L’identité : ´ 1³ − → − → → → → u .− v = ||→ u +− v ||2 || − − u ||2 − ||− v ||2 2 3. La définition de l’orthogonalité de deux vecteurs : − → → − → u ⊥− v ⇐⇒ → u .− v =0 (1) − → − → et celle d’un repère orthonormé (O ; i , j ) du plan. 4. L’inégalité de Schwarz : → → → → |− u .− v | ≤ ||− u || × ||− v || − → → → et |→ u .− v | = ||− u || × ||− v || =⇒ ∃ (α, β) ∈ R2 → → ∀ (− u .− v) − → → → α.− u + β.− v = 0. (2) 5. L’inégalité du triangle : − → → − ||→ u +− v || ≤ ||− u || + ||→ v || − → − → et ||→ u +− v || = ||→ u || + ||− v || =⇒ ∃ (α, β) ∈ R2 − → ∀ (→ u .− v) − → → → α.− u + β.− v = 0. (3) III. Définition d’une rotation. → − − → Une base orthonormée du plan, ( i , j ), étant fixée, on appelle déterminant d’un couple de vecteur la forme bilinéaire alternée définie par : − → → − det( i , j ) = 1 − → − → → − − → Une autre base orthonormée du plan, ( i0 , j 0 ), est dite directe si elle vérifie det( i0 , j 0 ) = 1, − → − → indirecte si et seulement si on a det( i0 , j 0 ) = −1. Un peu d’algèbre linéaire démontre que ce sont les seules valeurs possibles et que le déterminant d’un couple de vecteur est invariant dans un changement de repère de même orientation. Pstradi, page 1/2 - 22 avril 2006 On appelle rotation, Rθ , définie par le nombre θ élément de ] − π, π], l’automorphisme du plan vectoriel dont la matrice s’écrit sous la forme : cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) On démontre que : • La rotation ne dépend pas de la base directe dans laquelle on la définit. • La rotation est une isométrie directe. → → • Si − u et − v sont deux vecteurs de même norme non nulle, il existe une rotation et une seule → − telle que − v = Rθ ( → u ). → − • Si − v est l’image du vecteur → u dans la rotation Rθ , on vérifie : − → − → → → → − − u .→ v = ||− u || × ||− v || × cos(θ) et det (− u, − v ) = ||→ u || × ||→ v || × sin(θ) (4) IV. Angle de deux vecteurs. Dans l’ensemble des couples de vecteurs, on définit la relation A : → − − → → → (− u, − v ) A ( u0 , v 0 ) Ã ⇐⇒ ⇐⇒ ! Ã ! − 1 − 1 − 1 → 1 − ∃Rθ .→ v = Rθ .→ u et − . v 0 = Rθ .→ u → → − − → − → 0 || v || || u || || u || || v || → −0 − →0 1 1 → − ×− u .→ v et − →0 − →0 × u . v = ||− → − → u || × || v || || u || × || v || ³− →0 − →0 ´ 1 1 − → × det (→ u− v) − →0 − →0 × det u , v = ||− → → u || × ||− v || || u || × || v || On établit que la relation A est une relation d’équivalence, on appelle angle les classes d’équivalence pour cette relation. Si nous résumons : − → Un couple de vecteurs, (→ u, − v ), définit un angle. Un représentant de cet angle, formé de deux vecteurs unitaires, définit une rotation Rθ . Cette rotation définit une valeur réelle dans l’intervalle ] − π, π]. → → Cette valeur réelle, θ, caractéristique de l’angle est appelée mesure de l’angle (− u, − v ). V. Cosinus d’un angle. − → − → → → Soit (− u , u0 ) un angle du plan et θ sa mesure, on définit le cosinus et le sinus de (− u , u0 ) par : − → − → → → cos(− u , u0 ) = cos(θ) et sin(− u , u0 ) = sin(θ). − → − → − → − → On note i0 l’image du vecteur de base i dans la rotation Rθ : i0 = Rθ ( i ). → − → − →− − → Nous avons, d’après la relation (4), i . i0 = || i || × || i0 || × cos(θ), donc : → − − − →→ → cos(− u , u0 ) = cos(θ) = i . i0 − → → − − → Si nous notons (x0 , y 0 ) les coordonnées cartésiennes du vecteur i dans le repère (O ; i , j ) cela donne : cos(θ) = x0 , et de même, sin(θ) = y 0 . La définition présente coı̈ncide avec celle posée dans l’étude du cercle trigonométrique. Il est donc licite d’utiliser ici les propriétés du cosinus et du sinus démontrées lors de l’étude du cercle trigonométrique. Pstradi, page 2/2 - 22 avril 2006
