Construction traditionnelle des angles du plan.

Construction traditionnelle des angles du plan.
I. D´efinition du cosinus et du sinus d’un r´eel.
On nomme respectivement cosinus et sinus les fonctions de Rdans Rd´efinie par :
cos(x) = 1 +
+∞
X
k=1
(−1)kx2k
(2 k) ! et sin(x) =
+∞
X
k=0
(−1)kx2k+1
(2 k+ 1) !
Une ´etude fine permet d’´etablir que la fonction cosinus s’annule en un point x0et, un seul,
compris entre 0et 2.
On nomme πle nombre r´eel π= 2 x0.
On ´etablit de mˆeme que la fonction t7−→ (cos(t),sin(t)) r´ealise une bijection de l’intervalle
]−π, π] sur le tore unit´e de R2.
II. D´efinition du produit scalaire.
Le plan est muni d’une structure d’espace affine et de la structure d’espace vectoriel associ´ee.
On appelle produit scalaire une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive dans cet
espace vectoriel.
La d´efinition d’un produit scalaire inf`ere :
1. La d´efinition d’une norme euclidienne :
||−→ u|| =√−→ u .−→ u
2. L’identit´e :
−→
u .−→ v=1
2³||−→
u+−→ v||2|| − −→ u||2− ||−→ v||2´(1)
3. La d´efinition de l’orthogonalit´e de deux vecteurs :
−→
u⊥−→ v⇐⇒ −→ u .−→ v= 0
et celle d’un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i , −→ j) du plan.
4. L’in´egalit´e de Schwarz :
|−→ u .−→ v| ≤ ||−→ u|| × ||−→ v|| ∀ (−→ u .−→ v)(2)
et |−→ u .−→ v|=||−→ u|| × ||−→ v|| =⇒ ∃ (α, β)∈R2α.−→ u+β.−→ v=−→ 0 .
5. L’in´egalit´e du triangle :
||−→ u+−→ v|| ≤ ||−→ u|| +||−→ v|| ∀ (−→ u .−→ v)(3)
et ||−→ u+−→ v|| =||−→ u|| +||−→ v|| =⇒ ∃ (α, β)∈R2α.−→ u+β.−→ v=−→ 0 .
III. D´efinition d’une rotation.
Une base orthonorm´ee du plan, (−→ i , −→ j), ´etant fix´ee, on appelle d´eterminant d’un couple de
vecteur la forme bilin´eaire altern´ee d´efinie par :
det(−→ i , −→ j) = 1
Une autre base orthonorm´ee du plan, (−→ i0,−→ j0), est dite directe si elle v´erifie det(−→ i0,−→ j0) = 1,
indirecte si et seulement si on a det(−→ i0,−→ j0) = −1.
Un peu d’alg`ebre lin´eaire d´emontre que ce sont les seules valeurs possibles et que le d´eterminant
d’un couple de vecteur est invariant dans un changement de rep`ere de mˆeme orientation.
Pstradi, page 1/2 - 22 avril 2006

On appelle rotation, Rθ, d´efinie par le nombre θ´el´ement de ] −π, π], l’automorphisme du plan
vectoriel dont la matrice s’´ecrit sous la forme :
cos(θ)−sin(θ)
sin(θ) cos(θ)
On d´emontre que :
•La rotation ne d´epend pas de la base directe dans laquelle on la d´efinit.
•La rotation est une isom´etrie directe.
•Si −→ uet −→ vsont deux vecteurs de mˆeme norme non nulle, il existe une rotation et une seule
telle que −→ v=Rθ(−→ u).
•Si −→ vest l’image du vecteur −→ udans la rotation Rθ, on v´erifie :
−→
u .−→ v=||−→ u|| × ||−→ v|| × cos(θ) et det (−→ u , −→ v) = ||−→ u|| × ||−→ v|| × sin(θ)(4)
IV. Angle de deux vecteurs.
Dans l’ensemble des couples de vecteurs, on d´efinit la relation A:
(−→ u , −→ v)A(−→ u0,−→ v0)⇐⇒ ∃Rθ
1
||−→ v||.−→
v=RθÃ1
||−→ u||.−→
u!et 1
||−→ v0||.−→
v0=RθÃ1
||−→ u||.−→
u!
⇐⇒ 1
||−→ u0|| × ||−→ v0|| ×−→
u0.−→ v0=1
||−→ u|| × ||−→ v|| ×−→
u .−→ vet
1
||−→ u0|| × ||−→ v0|| ×det ³−→
u0,−→ v0´=1
||−→ u|| × ||−→ v|| ×det (−→
u−→ v)
On ´etablit que la relation Aest une relation d’´equivalence, on appelle angle les classes
d’´equivalence pour cette relation.
Si nous r´esumons :
Un couple de vecteurs, (−→ u , −→ v), d´efinit un angle.
Un repr´esentant de cet angle, form´e de deux vecteurs unitaires, d´efinit une rotation Rθ.
Cette rotation d´efinit une valeur r´eelle dans l’intervalle ]−π, π].
Cette valeur r´eelle, θ, caract´eristique de l’angle est appel´ee mesure de l’angle (−→ u , −→ v).
V. Cosinus d’un angle.
Soit (−→ u , −→ u0) un angle du plan et θsa mesure, on d´efinit le cosinus et le sinus de (−→ u , −→ u0) par :
cos(−→ u , −→ u0) = cos(θ) et sin(−→ u , −→ u0) = sin(θ).
On note −→ i0l’image du vecteur de base −→ idans la rotation Rθ:−→ i0=Rθ(−→ i).
Nous avons, d’apr`es la relation (4), −→ i .−→ i0=||−→ i|| × ||−→ i0|| × cos(θ), donc :
cos(−→ u , −→ u0) = cos(θ) = −→ i .−→ i0
Si nous notons (x0, y0) les coordonn´ees cart´esiennes du vecteur −→ idans le rep`ere (O;−→ i , −→ j)
cela donne :
cos(θ) = x0, et de mˆeme, sin(θ) = y0.
La d´efinition pr´esente co¨ıncide avec celle pos´ee dans l’´etude du cercle trigonom´etrique.
Il est donc licite d’utiliser ici les propri´et´es du cosinus et du sinus d´emontr´ees lors de l’´etude du
cercle trigonom´etrique.
Pstradi, page 2/2 - 22 avril 2006