Pré-requis nécessaires `a l`étude des sous espaces hilbertiens

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Chapitre 1
Pré-requis nécessaires à l’étude des
sous espaces hilbertiens
Sylvie Champier
1.1
Rappels de topologie
1.1.1
Topologie sur un ensemble
On appelle topologie sur un ensemble E la donnée d’une famille O de parties de E, dites ouvertes
telles que :
a) la partie vide et l’ensemble E sont ouverts.
b) Tout réunion d’ouverts est une partie ouverte.
c) Toute intersection finie d’ouverts est une partie ouverte.
Définition 1 La topologie définie par O1 est moins fine que celle définie par O2 si et seulement si
O1 ⊂ O2 , autrement dit, O1 a moins d’ouverts que O2 .
Si une topologie a moins d’ouverts qu’une autre, elle possède par contre plus de compacts.
L’ensemble des topologies sur E possède un plus petit élément : la topologie grossière O = {φ, E} et
un plus grand élément qui est la topologie discrète O = P(E).
1.1.2
Ecarts
On appelle écart sur E toute application d : E × E −→ R+ symétrique, vérifiant l’inégalité triangulaire
et telle que d(x, x) = 0.
Remarque 1 Soit d un écart
d est une distance si et seulement si d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
Remarque 2 si d et d0 sont deux écarts, d” = sup(d, d0 ) est un écart.
Définition 1 D est une famille filtrante croissante d’écarts si et seulement si pour tous écarts d, d0 il
existe d” ∈ D tel que d ≤ d” et d0 ≤ d”.
1
Définition 2 T un espace topologique. Soit x ∈ T .
On appelle voisinage de x tout sous ensemble V de T qui contient un ouvert contenant x.
On note V(x) l’ensemble des voisinages de x.
On appelle base de voisinages ou système fondamental de x ∈ T , toute famille W de voisinage de x
tel que tout V voisinage de x contienne un élément W ∈ W.
Théorème 1 On suppose qu’à chaque x ∈ E, on associe une famille V(x) de parties de E vérifiant les
propriétés suivantes
(i) V(x) est héréditaire à droite i.e. si V ∈ V(x) et V ⊂ W alors W ∈ V(x).
(ii) V(x) est stable par intersection finie.
(iii) ∀V ∈ V(x), x ∈ V .
(iv) ∀V ∈ V(x), ∃W ∈ V(x) tel que ∀y ∈ W , V ∈ V(y).
Alors il existe sur E une topologie unique telle que pour chaque x ∈ E, V(x) constitue la famille des
voisinages de x pour cette topologie.
Remarque 3 Ce théorème permet de dire que l’on peut définir une topologie par la donnée de ses voisinages pour chacun des points de E d’où l’intérêt de la notion de base de voisinage.
Proposition 1 Soit D une famille filtrante croissante d’écarts sur un ensemble E. Pour chaque x ∈ E,
BD (x) = {Bd (x, r), d ∈ D, r ∈ R+∗ } est une base de voisinage de x pour une topologie sur E notée TD .
1.1.3
Caractérisation de la continuité dans un espace vectoriel topologique
Définition 2 Soit f une application d’ un espace topologique E dans un espace topologique F . Soit
x0 ∈ E
f est continue en x0 si et seulement si pour tout voisinage W de f (x0 ), f −1 (W ) est un voisinage de x0 .
Proposition 2 Soit f une application d’ un espace topologique E dans un espace topologique F .
f est continue sur E
si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de F est un ouvert de E
si et seulement si l’image réciproque de tout fermé de F est un fermé de E
si et seulement si pour toute partie B ⊂ E, on a f (A) ⊂ f (A).
Proposition 3 Si E et F sont des espaces métriques, f est continue en a ∈ E si et seulement si pour
toute suite (xn )n de E, si (xn )n est convergente vers a alors la suite (f (xn ))n est convergente vers f (a)
Ce résultat est encore vrai dans un espace topologique admettant une base dénombrable de voisinages
car on pourra construire une suite.
Définition 3 Soit I un ensemble préordonné filtrant croissant et E un ensemble quelconque.
On appelle suite généralisée sur E toute application i 7→ xi de I dans E.
Lorsque I = N, on obtient les suites usuelles.
Si E est un espace vectoriel topologique, on peut introduire une notion de convergence pour les suites
généralisées.
Définition 4 Soit (xi )i une suite généralisée de E espace topologique.
La suite (xi )i est convergente vers x ∈ E si et seulement si pour tout voisinage V de x, il existe i0 ∈ I
tel que xi ∈ V pour tout i ≥ i0 .
Remarque 4 La proposition est vraie avec les suites généralisées dans un espace topologique.
1.2
Espaces localement convexes
1.2.1
Définition
Dans ce paragraphe, E est un espace vectoriel réel ou complexe.
Une semi-norme p sur E définit un écart dp (x, y) = p(x − y) sur E.
On peut donc associer à toute famille filtrante croissante Pde semi-normes sur E une topologie TP sur
E telle que la famille des voisinages V(x) de tout point x admette comme base l’ensemble des boules
Bp (x, r), p ∈ P, r > 0.
Remarque 5 La topologie TP possède les propriétés suivantes :
a) La famille V(x) s’obtient à partir de V(0) par translation par x.
b) La famille V(0) admet comme base les boules Bp (0, r) qui sont des disques absorbants i.e. pour tout
x ∈ E, ∃λ > 0, {x} ⊂ λBp (0, r).
Réciproquement, la donnée d’une famille filtrante décroissante V de disques absorbants définit une famille
filtrante croissante de semi-normes P obtenue en associant à chaque V ∈ V, pV (x) = Inf{λ > 0, x ∈ λV }
et pV est une semi-norme. De plus, si V et W sont deux disques absorbants de E tels que W ⊂ V alors
pV ≤ pW .
Définition 5 Une topologie sur E est localement convexe lorsqu’elle est définie par une famille filtrante croissante de semi-normes P.
1.2.2
Exemples
Premier exemple : E = RX
La topologie de la convergence simple est définie par la famille filtrante croissante des semi-normes
pA (f ) = sup | f (t) |
t∈A
pour toute partie finie A ⊂ X.
En ce sens, la convergence simple apparait comme la convergence uniforme sur les parties finies.
Deuxième exemple : Topologie quotient :
(E, P) espace localement convexe.
N un sous espace vectoriel de E.
On définit E/N = {ẋ, x ∈ E} où ẋ = {y ∈ E, x − y ∈ N }.
La topologie la plus fine sur E/N rendant continue la projection canonique π : E −→ E/N est déterminée
par la famille filtrante croissante Ṗ des semi-normes quotients.
∀p ∈ P, ṗ(ẋ) = inf p(z).
z∈ẋ
On l’appelle la topologie quotient et elle est localement convexe.
Troisième exemple : Sur tout espace vectoriel E , il existe une topologie localement convexe plus
fine que toutes les autres appelée topologie fine. Elle est définie par la famille de toutes les semi-normes
sur E et admet comme base de voisinage de zéro la famille de tous les disques absorbants.
Lorsque E est muni de cette topologie, alors le dual algébrique de E est égale au dual topologique de E
i.e. E ? = E 0 .
On en déduit que toute topologie fine est séparée.
1.2.3
propriétés
Définition 6 E un espace vectoriel sur R ou C, C une partie convexe de E contenant l’origine. On
appelle jauge de C la fonction p de E dans R ∪ {+∞} définie pour tout x ∈ E par
p(x) = inf{λ > 0, x ∈ λC}. Si cet ensemble est vide, on pose p(x) = +∞
Remarque 6 La jauge est sous-linéaire, et est par conséquent une fonction convexe.
On a : {x ∈ E, p(x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ E, p(x) ≤ 1}
Si C est un ouvert de E, alors C = {x ∈ E, p(x) < 1}
Si C est un fermé de E, alors C = {x ∈ E, p(x) ≤ 1}
La jauge d’un convexe C contenant 0 ne prend que des valeurs finies si et seulement si C est absorbant
i.e. ∀v ∈ E, ∃α > 0, ∀λIK, | λ |≤ α =⇒ λv ∈ C
Tout voisinage de l’origine est un ensemble absorbant (résulte de la continuité de l’application qui à λ
associe λv, v étant fixé.
Pour un espace vectoriel réel, si C est symétrique par rapport à 0 avec une jauge évitant la valeur +∞ ,
la jauge est alors une semi-norme.
Proposition 4 Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s’il vérifie l’une des deux
propriétés équivalentes suivantes :
(i) La topologie de E peut être définie par une famille filtrante de semi-normes.
(ii) 0 possède une base de voisinages formée de convexes.
Démonstration :
(i) =⇒ (ii) En effet toute semi-norme sur E est une fonction convexe et donc pour tout R > 0 l’ensemble
des x de E vérifiant p(x) < R est convexe.
(ii) =⇒ (i) Supposons d’abord que E est un espace réel. Si V est un voisinage convexe de 0 alors
W = V ∩ (−V ) est un voisinage convexe et symétrique de 0. Il est absorbant. Il en résulte que la jauge
de W est une semi-norme sur E et ces semi-normes définissent la topologie de E. Supposons maintenant
que E est un espace complexe. Nous allons montrer que tout voisinage convexe de l’origine contient un
voisinage convexe équilibré. Soit en effet V un voisinage convexe de 0. Par application de la continuité
de l’application de C × E dans E, qui à (λ, v) associe lambdav, , il existe α > 0 et un voisinage W de 0
tels que |λ| < α et v ∈ W W =⇒ λv ∈ V . Soit µ un scalaire vérifiant |µ| < α. Alors µW est un voisinage
de 0 inclus dans V . Si w = µv ∈ µW et | λ |≤ 1 alors | λµ |< α et λw = λµv ∈ V . Ceci entraı̂ne que
x appartient au noyau équilibré de V . Ce noyau équilibré (contenant µW ) est un voisinage de 0. Son
enveloppe convexe est un voisinage convexe et équilibré de 0 inclus dans V (puisque V est convexe). La
jauge de ce noyau équilibré est une semi-norme sur E (ce noyau est un voisinage de 0 donc absorbant ).
Ces semi-normes définissent la topologie de E.
Théorème 2 Pour qu’un espace localement convexe E défini par la famille filtrante croissante de seminorme (pi )i∈I soit un espace séparé, il faut et il suffit que pour tout v 6= 0, v ∈ E, il existe une semi-norme
pi telle que pi (v) 6= 0 .
Théorème 3 Un espace localement convexe est métrisable s’il est séparé et si sa topologie peut être
définie par une famille dénombrable de semi-normes.
1.2.4
Caractérisation de la continuité dans un espace vectoriel topologique
localement convexe
Théorème 4 Soient (E, P), (F, Q) 2 espaces localement convexes, et P et Q étant des familles de seminormes définissant les topologies et f une application de E dans F . Alors
f est continue en v ∈ E
si et seulement si ∀q ∈ Q, ∀ε > 0, ∃p ∈ P, ∃α > 0, ∀w ∈ E, p(v − w) < α =⇒ q(f (v) − f (w)) < ε
Si on suppose de plus que f est linéaire, on a équivalence entre
(i) f est continue sur E
(ii) f est continue à l’origine
(iii) Pour toute semi-norme q ∈ Q, il existe M > 0 et une semi-norme p ∈ P tels que q(f (x)) ≤ M p(x)
pour tout x ∈ E
1.3
Espace dual E 0
E est un espace vectoriel topologique, E 0 son dual topologique i.e. l’ensemble des formes linéaires continues sur E.
Remarque 7 Soit E un espace vectoriel topologique localement convexe, on peut munir son espace dual
topologique E 0 de la famille de semi-normes p̃p (x0 ) = supx∈Bp (0,1) |< x, x0 >| où p est une semi-norme
de la famille filtrante croissante de semi-normes sur E.
La convergence est équivalente à la convergence uniforme sur les bornés.
1.3.1
Théorèmes de Hahn Banach
Théorème 5 de Hahn Banach :
E espace vectoriel réel, p semi-norme sur E, M un sous espace vectoriel de E.
Soit f une forme linéaire définie sur M et telle que | f |≤ p.
Alors il existe une forme linéaire F définie sur E, prolongeant f et telle que | F |≤ p.
1.3.2
Cas particulier d’un e.v. normé
On suppose que E est un espace vectoriel normé. E 0 est muni de la norme duale :
|| f ||E 0 =
sup
| f (x) |.
x∈E,||x||≤1
On note < x, f > au lieu de f (x) et on dit < ., . > est le produit scalaire dans la dualité E 0 , E.
Corollaire 1 Soit E un e.v. normé,
∀x ∈ E, || x ||=
sup
|< x0 , x >|.
||x0 ||≤1,x0 ∈E 0
Autre version plus géométrique du théorème d’Hahn-Banach :
Théorème 6 Soit A ⊂ E, B ⊂ E deux ensembles convexes, non vides, disjoints. on suppose A fermé et
B compact. Alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens strict.
Rappel : Hyperplan = {x ∈ E, f (x) = α} où f est une forme linéaire non nulle (non nécessairement
continue) et α est un réel.
L’hyperplan est fermé si et seulement si f est continue.
Corollaire 2 Soit F ⊂ E un sous espace vectoriel tel que F 6= E. Alors il existe f ∈ E 0 , f 6= 0 tel que
∀x ∈ E, < x, f >= 0.
Remarque 8 On utilise souvent ce corollaire pour montrer qu’un sous espace est dense. On considère
alors une forme linéaire continue f sur E telle que f = 0 sur F et on prouve alors que f est identiquement
nulle.
1.3.3
Bidual
Tout élément x de E définit un élément x̃ de E” par x̃(x0 ) =< x, x0 >.
Dans le cas où E est un e.v.n., le corollaire 1.3.3. dit alors que J : x −→ x̃ est une isométrie de E dans
E”.
Attention, ce n’est pas une bijection.
Remarque 9 Si E est de dimension finie, x −→ x̃ est bijective.
Proposition 5 Soit E un espace vectoriel normé.
E” = (E 0 )0 est un espace de Banach pour sa norme duale.
Proposition 6 Tout espace normé E s’identifie avec sa norme à un sous espace de son bidual E”. Pour
que E soit un espace de Banach, il faut et il suffit qu’il soit fermé dans E”.
Définition 7 E réflexif ⇐⇒ E = E”.
Remarque 10 Si E est un e.v.n. réflexif alors E est complet.
1.3.4
Dual d’un sous espace
Théorème 7 F un sous espace fermé de E e.v. normé.
E/F muni de la norme || ẋ ||= Inf{|| x ||, x ∈ ẋ}.
Alors le dual (E/F )0 s’identifie (i.e. de manière bijective) isométriquement à F ◦ = {x0 ∈ E 0 , x0 =
0 sur F }, muni de la norme de E 0 .
1.4
Topologies faibles
1.4.1
Topologie la moins fine rendant continues une famille d’applications
X un ensemble, (Yi )i∈I une famille d’espace topologiques.
Pour chaque i ∈ I, on se donne une application ϕi : X −→ Yi
Problème : On veut munir X d’une topologie qui rende continues toutes les ϕi et si possible trouver la
topologie T la moins fine i.e. avec le minimum d’ouverts.
En effet, la topologie discrète marche mais elle n’est pas très économique !
Pour tout i ∈ I, pour tout Oi ouvert de Yi , ϕ−1
i (Oi ) doit être un ouvert de X.
{ϕ−1
(O
),
O
ouvert
de
Y
,
i
∈
I}
constitue
une
famille d’ouverts de X notée (Uλ )λ∈Λ
i
i
i
i
Problème : Construire la famille F de sous ensemble de X, la plus petite qui soit stable par intersections finies, réunions quelconques et contenant Uλ pour tout λ ∈ Λ.
Réponse : On prend d’abord les intersections finies d’où
A = { ∩ Uλ , Γf ini, Γ ⊂ Λ}, A est stable par intersections finies.
λ∈Γ
puis on pose F = {réunions quelconques d’éléments de A}.
F est stable par réunions quelconques et par intersections finies.
1.4.2
Topologie faible σ(E, E 0 ).
Définition 8 Soit E un espace vectoriel. Pour tout f ∈ E 0 , on note ϕf : E −→ R par
ϕf (x) =< f, x >.
La topologie faible σ(E, E 0 ) sur E est la topologie la moins fine sur E rendant continues toutes les
applications ϕf , f ∈ E 0 .
Proposition 7 E muni de sa topologie faible est localement convexe.
Preuve : Les applications ϕf , f ∈ E 0 sont des semi-normes sur E. De plus, elles forment une famille
filtrante croissante sur E. En effet, soient f et g deux éléments de E 0 , on pose h = Sup(f, g), on a
ϕf ≤ ϕh et ϕg ≤ ϕh et h ∈ E 0 .
Proposition 8 La topologie faible est séparée.
Preuve : avec Hahn-Banach géométrique.
Proposition 9 Soit x0 ∈ E. On obtient une base de voisinages de x0 pour la topologie σ(E, E 0 ) en
considérant tous les ensembles de la forme V = {x ∈ E, ∀i ∈ I, |< fi , x − x0 >|< } où I est un ensemble
fini, fi ∈ E 0 et > 0.
Remarque 11 On peut montrer qu’en dimension infinie, tout voisinage de x0 pour la topologie σ(E, E 0 )
contient une droite passant par x0 .
Proposition 10 Soit E un espace vectoriel . Soit (xn )n une suite de E.
xn * x pour la topologie faible ⇐⇒ ∀f ∈ E 0 , < f, xn >−→< f, x >.
Proposition 11 1) Si E est un e.v. normé de dimension finie, la convergence faible équivaut à la convergence forte.
2) Dans un e.v.normé, tout ensemble ouvert (resp fermé) pour la topologie faible est ouvert (resp fermé)
pour la topologie forte.
1.4.3
Topologie faible?, σ(E 0 , E)
Définition 9 Pour tout x ∈ E, on note ϕx : E 0 −→ R définie par ϕx (f ) =< f, x >.
La topologie faible ? est la topologie la moins fine sur E 0 rendant continues toutes les applications (ϕx )x∈E
Remarque 12 Comme E ⊂ E 00 , la topologie σ(E 0 , E) est moins fine que σ(E 0 , E”).
Théorème 8 Soit ϕ : E 0 −→ R une application linéaire continue pour la topologie σ(E 0 , E).
Alors il existe x ∈ E tel que ϕ(f ) =< f, x > pour tout f ∈ E 0 .
1.5
Propriété des espaces réflexifs
Théorème 9 Soit E un espace de Banach.
E est réflexif si et seulement si B = {x ∈ E, || x ||≤ 1} est compact pour la topologie σ(E, E 0 ).
Ce théorème va servir dans le cas d’un Hilbert.
Théorème 10 Soient E un espace de Banach réflexif et (xn )n une suite bornée de E.
Alors il existe une sous suite convergente pour la topologie σ(E, E 0 ).
1.6
Espaces séparables
Définition 10 Un espace E est séparable si et seulement si il existe un sous ensemble de E dénombrable
et dense dans E
Proposition 12 Soient E un espace de Banach séparable, (fn )n une suite bornée de E 0 .
Alors il existe une sous suite extraite (fnk )k qui est convergente pour la topologie σ(E 0 , E).
Preuve : C’est un corollaire du théorème 10 .
1.7
Espaces de Hilbert
Définition 11 Soit H un espace vectoriel. H est un espace de Hilbert si H est muni d’un produit scalaire
(forme bilinéaire
symétrique définie positive) noté (., .) et si H est complet pour la norme
p
|| u ||H = (u, u).
Si H n’est pas complet, on parle d’espace pré-hilbertien.
Théorème 11 Théorème de représentation de Riesz Fréchet
Soient H un espace de Hilbert et ϕ ∈ H 0 .
Alors il existe un unique élément f ∈ H tel que ∀v ∈ H, < v, ϕ >= (f, v).
De plus, on a || f ||H =|| ϕ ||H 0
Corollaire 3 L’application de H 0 dans H qui à ϕ associe f tel que ∀v ∈ H,
isomorphisme isométrique qui permet d’identifier H et H 0 .
< ϕ, v >= (f, v) est un
Corollaire 4 Tout espace de Hilbert est réflexif.
Proposition 13 Soit H un espace préhilbertien.
Si M est un sous espace vectoriel fermé de H alors H = M ⊕ M ⊥ .
Corollaire 5 Soit H un espace préhilbertien et M est un sous espace vectoriel.
M est dense dans H si et seulement si M̄ ⊥ = M ⊥ = {0}.
Références :
Brézis H. : Analyse fonctionnelle : théorie et applications, éditions Dunod, 1999.
Buchwalter H. : Variations sur l’analyse en maı̂trise de mathématiques, éditions Ellipses, 1992.
Hirsch F., Lacombe G. : ”Elements of Functional Analysis”, Springer 1999.
Schwartz L. : Topologie générale et analyse fonctionnelle, édition Hermann, 1997.
Rudin W. : Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991.
Chapitre 2
Etude des sous espaces hilbertiens
d’un espace vectoriel topologique
dans le cas réel - Noyau d’un sous
espace hilbertien
Sylvie Champier
E est un espace vectoriel topologique séparé, localement convexe.
2.1
Sous espaces hilbertiens d’un espace vectoriel topologique
Définition 12 H un sous espace vectoriel de E est un sous espace hilbertien s’il est muni d’une
structure hilbertienne i.e. d’une forme hermitienne
p (forme bilinéaire, symétrique, définie positive) telle
que H soit complet pour la norme || x ||H = (x, x)H et que l’injection naturelle de H dans E soit
continue.
Remarque 13 La dernière condition revient à dire que sur H la topologie définie par la norme est plus
fine que la topologie induite par celle de E, ce qui est équivalent à dire que la boule unité de H est bornée
dans E.
Dans toute la suite, on suppose que E est quasi complet pour sa topologie initiale i.e. toute
partie fermée bornée de E est complète.
Proposition 14 Soient E un evt localement convexe, séparé, quasi-complet, H un sous espace hilbertien
de E 0? = dual algébrique de E 0 (i.e. ensemble des formes linéaires sur E 0 ).
Alors H ∩ E est un sous espace hilbertien de E.
Si H possède un sous espace dense contenu dans E ou une base hilbertienne contenue dans E alors H
est un sous espace hilbertien de E.
On note Hilb(E)= { sous espaces hilbertiens de E}.
2.2
Noyau relatif à un e.v.t. localement convexe E sur R
Soit E 0 dual topologique de E i.e. ensemble des formes linéaires continues sur E.
9
Définition 13 On appelle noyau relatif à E une application linéaire de E 0 dans E, continue pour les
topologies faibles σ(E 0 , E), σ(E, E 0 ). Elle est alors a fortiori continue pour la topologie forte de E 0 et la
topologie initiale de E.
Soit H un noyau relatif à E, soit e0 ∈ E 0 , on a He0 ∈ E.
Si f 0 ∈ E 0 , on définit le produit scalaire < He0 , f 0 >.
On considère l’adjoint H ? de H défini par H ? =t H : E 0 −→ E”,
∀e0 ∈ E 0 , ∀f 0 ∈ E 0 , < H ? e0 , f 0 >=< Hf 0 , e0 >.
Remarque 14 En fait H ? va de E 0 dans E car lorsqu’on munit E et E 0 des topologies faibles, E est
reflexif.
Définition 14 H est hermitien si et seulement si H ? = H i.e. t H = H.
On a alors < He0 , f 0 >=< Hf 0 , e0 > pour tout e0 , f 0 ∈ E 0 .
H ≥ 0 si et seulement si ∀e0 ∈ E 0 , < He0 , e0 >≥ 0.
Proposition 15 Un noyau positif est hermitien.
Proposition 16 Toute application linéaire hermitienne de E 0 dans E est un noyau.
Preuve : On va utiliser la caractérisation de la continuité de la remarque 4 et du théorème 4. Soit e0 ∈ E 0
une suite généralisée de E 0 i.e. e0 = (e0i )i∈I où I est une famille filtrante croissante d’indices. On suppose
que e0 −→ 0 pour σ(E 0 , E) i.e. ∀f ∈ E, < f, e0 >−→ 0 pour la topologie de E.
∀ε > 0, ∃U ∈ V(0), ∀f ∈ U, |< f, e0 >|≤ ε
Soit f 0 ∈ E 0 , on a Hf 0 ∈ E donc < Hf 0 , e0 >−→ 0 i.e. < f 0 , He0 >−→ 0
donc He0 −→ 0 pour tout f 0 ∈ E 0 i.e. He0 −→ 0 dans σ(E, E 0 ).
Au lieu de considérer les applications linéaires de E 0 dans E, on peut considérer les formes bilinéaires sur
E0 × E0.
Un noyau H définit une forme H̃ par H̃(e0 , f 0 ) =< Hf 0 , e0 > (?)
Proposition 17 Pour qu’une forme bilinéaire sur E 0 × E 0 soit définie par une noyau suivant (?), il faut
et il suffit qu’elle soit séparément faiblement continue et ce noyau est alors unique.
La forme est hermitienne ssi le noyau est hermitien.
La forme est positive ssi le noyau est positif.
Preuve : (=⇒) Soit H un noyau.
Si e0 −→ 0 pour σ(E 0 , E) alors pour f 0 fixé dans E 0 , Hf 0 ∈ E et < Hf 0 , e0 >−→ 0
Si f 0 −→ 0 pour σ(E 0 , E), comme H est faiblement continue, Hf 0 −→ 0 pour σ(E, E 0 )
donc ∀e0 ∈ E 0 , < Hf 0 , e0 >−→ 0.
(⇐=) Soit B une forme bilinéaire séparément faiblement continue sur E 0 × E 0 .
Soit f 0 ∈ E 0 , e0 7→ B(e0 , f 0 ) est une forme linéaire faiblement continue sur E 0 donc il existe un unique
élément de E noté Hf 0 tel que B(e0 , f 0 ) =< Hf 0 , e0 >. cf théorème 1.4.8.
H est linéaire de E 0 dans E car B est linéaire par rapport à sa seconde variable.
Si f 0 −→ 0 dans σ(E 0 , E)
∀e0 ∈ E 0 , B(e0 , f 0 ) −→ 0 car B est faiblement continue sur E 0 × E 0 .
donc Hf 0 −→ 0 dans σ(E, E 0 )
i.e. H est faiblement continue daonc H est un noyau.
Remarque 15 Soit H̃ ? la forme associée à H ? .
H̃ ? (e0 , f 0 ) =< H̃ ? f 0 , e0 >=< f 0 , He0 >=< He0 , f 0 >=< H̃(f 0 , e0 ).
donc H̃ ? (e0 , f 0 ) = H̃(f 0 , e0 ).
Remarque 16 Soit E 0? le dual algébrique de E 0 .
Par définition de la topologie σ(E 0 , E 0? ), toute forme linéaire sur E 0 est continue pour σ(E 0 , E 0? ).
donc toute forme bilinéaire sur E 0 × E 0 est séparément continue.
Comme E 0? = E pour les topologies faibles, E 0 est le dual de E 0? pour σ(E 0? , E 0 )
et sa topologie faible correspondante est σ(E 0 , E 0? ).
Conséquence : Toute forme bilinéaire sur E 0 ×E 0 provient d’un noyau H relatif à E 0? muni de la topologie
σ(E 0? , E 0 ) .
Définition 15 On munit E de la topologie σ(E, E 0 ) et E 0 de la topologie σ(E 0 , E).
L(E 0 , E) = {noyaux relatifs à E}
L+ (E) = L+ (E 0 , E) = {noyaux ≥ 0 relatifs à E }
Proposition 18 L+ (E) est un cône convexe saillant de L(E 0 , E).
Preuve : Il est saillant car si H et −H sont positifs, on a < He0 , e0 >= 0 pour tout e0 ∈ E 0
donc < Hf 0 , e0 >= 0 pour tous e0 , f 0 ∈ E 0 grâce à la formule
< e0 + f 0 , H(e0 + f 0 ) > =< e0 , He0 > + < f 0 , He0 > + < e0 , Hf 0 > + < f 0 , Hf 0 >
=< f 0 , He0 > + < e0 , Hf 0 >=< Hf 0 , e0 >= 0
car un noyau positif est hermitien.
On a donc Hf 0 = 0 pour tout f 0 ∈ E 0 d’où H = 0.
Dans toute la suite, L(E 0 , E) est muni de la topologie de la convergence faible simple (i.e.
la moins fine pour laquelle chaque application H 7→< Hf 0 , e0 > soit continue).
Objectif : Montrer qu’il existe un isomorphisme naturel entre Hilb(E) et L+ (E).
2.3
Noyau d’un sous espace hilbertien de E, application canonique de Hilb(E) dans L+ (E).
Proposition 19 Soit H un sous espace hilbertien de E, j son injection dans E, j est faiblement continue.
j ? : E 0 −→ H0 est une application linéaire faiblement continue.
Preuve : si e0 −→ 0 faiblement,
∀e ∈ E, < e, e0 >−→ 0.
Or ∀h ∈ H, jh ∈ E
donc < jh, e0 >−→ 0
i.e. < h, j ? e0 >−→ 0
d’où j ? e0 −→ 0 faiblement.
Conséquence j ? est faiblement continue.
De plus, d’après le théorème 11 de Riesz Fréchet, il existe un isomorphisme (isométrique) θ : H0 −→ H
car H est un espace de Hilbert.
On a pour tout h0 ∈ H0 , θh0 est défini par :
∀h ∈ H, < h, h0 >= (θh0 , h)H .
Comme c’est un isométrie, elle est continue pour les topologies fortes liées au produit scalaire sur l’espace
de Hilbert donc pour les topologies faibles.
j?
θ
j
Définition 16 H : E 0 −→ H0 −→ H −→ E est une application faiblement continue de E 0 dans E,
linéaire.
On dit que H est le noyau de H ou le noyau associé à H.
Preuve de H faiblement continue :
θ est continue de H0 muni de la topologie forte dans H muni de la topologie forte.
j est faiblement continue donc j est continue de H muni de la topologie forte dans E muni de la topologie
faible.
Par hypothèse, j ? est continue de E 0 muni de la topologie faible dans H0 muni de la topologie faible.
Montrons que j ? est continue de E 0 muni de la topologie faible dans H0 muni de la topologie forte.
Avec la continuité faible, j ? (BE 0 ) est faiblement borné dans H0 . On applique le théorème de Banach
Steinhaus dans une espace localement convexe quasi complet, j ? (BE 0 ) est fortement borné donc j ? est
continue de E 0 muni de la topologie faible dans H0 muni de la topologie forte.
Conséquence : H est faiblement continue de E 0 dans E.
En fait H : E 0 −→ H.
Proposition 20 Le noyau H de H est l’unique application de E 0 dans H telle que
∀e0 ∈ E 0 , ∀h ∈ H, (h, He0 )H =< h, e0 >.
En particulier, pour e0 ∈ E 0 , f 0 ∈ E 0 , on a
(Hf 0 , He0 )H =< Hf 0 , e0 >
donc || He0 ||2H =< He0 , e0 >≥ 0
donc H est un noyau ≥ 0.
La première formule de cette proposition donne une caractérisation du noyau d’un sous espace hilbertien.
Preuve :
Soit e0 ∈ E 0 , h ∈ H
< h, e0 >=< jh, e0 >E,E 0 =< h, j ? e0 >H,H0
= (θj ? e0 , h)H
= (He0 , h)H .
0
0
He est bien, pour un e donné, le seul élément de H à vérifier cette égalité pour tout h ∈ H d’après le
théorème 11 de représentation de Riesz Fréchet.
On prend h = Hf 0 , f 0 ∈ E 0
h ∈ H et on applique la formule précédente :
(He0 , Hf 0 )H =< Hf 0 , e0 > (??).
Attention, la formule (??) ne donne pas une caractérisation de H car elle est vraie par exemple pour
H = 0.
Hilb(E) −→ L+ (E)
H
7−→ H
On l’appelle l’application canonique de Hilb(E) dans L+ (E).
Corollaire 6 On a défini une application :
Proposition 21 On note H0 = H(E 0 ).
1) H0 est un sous espace dense de H.
2) On peut caractériser H0 de la manière suivante :
h ∈ H, h appartient à H0 si et seulement si la forme linéaire k 7→ (k, h)H est continue sur H pour la
topologie induite par la topologie initiale ou la topologie affaiblie de E.
Preuve :
1) Première méthode :
Pour montrer que H0 est dense dans H, on peut montrer que son orthogonal dans H est {0}.
Soit h ∈ H, h orthogonal à H(E 0 ),
avec la proposition précédente, on a (He0 , h)H = 0 =< h, e0 > pour tout e0 ∈ E 0 donc h = 0.
Deuxième méthode :
H est un espace de Hilbert donc H est réflexif. Le dual de H0 est donc H.
D’apès Bourbaki (que je vous laisse le soin d’aller consulter), un sous espace vectoriel de H0 dense pour
σ(H0 , H) est alors dense dans H0 fort.
Montrons que j ? E 0 est faiblement dense dans H0 .
Soit h0 ∈ H0 , h0 ∈ E 0 et j ? est injective donc j ? h0 = h0 et h0 est son propre antécédent.
j ? est faiblement continue donc
∀V ∈ V(h0 ) = V(j ? h0 ), ∃U ∈ V(h0 ) tel que ∀x ∈ U, j ? x ∈ V
Or j ? x ∈ j ? (E 0 )
On a donc montré que pour tout voisinage de h0 , il existe un élément de j ? (E 0 ) appartenant à ce voisinage
i.e. j ? (E 0 ) est faiblement dense dans H0 .
Grâce à Bourbaki, j ? (E 0 ) est fortement dense dans H0 .
Comme θ est un isomorphisme, θj ? (E 0 ) = H(E 0 ) est dense dans H.
2) Soit h ∈ H tel que h ∈ H(E 0 ), il existe e0 ∈ E 0 tel que h = He0 .
Avec la proposition précédente, (He0 , k)H =< k, e0 >
k 7→ (k, h)H est continue sur H pour la topologie induite par la topologie initiale ou pour la topologie
faible. (cela provient de la continuité de e0 .)
Réciproquement, si k 7→ (k, h)H est continue sur H pour la topologie induite par celle de E,
d’après le théorème de Hahn Banach, il existe e0 ∈ E 0 tel que
∀k ∈ H, (k, h)H =< k, e0 >
Or < k, e0 >= (He0 , k)H pour tout k
donc (k, h)H = (He0 , k)H
d’où He0 = h i.e. h ∈ H(E 0 ).
Corollaire 7 Si E 0 est faiblement séparable i.e. admet un sous ensemble dénombrable faiblement dense
alors tous les sous espaces hilbertiens de E sont séparables i.e. contiennent un sous ensemble dénombrable
dense.
Preuve : Soit D un sous ensemble dénombrable faiblement dense dans E 0 .
H est faiblement continue, surjective de E 0 dans H0 = H(E 0 ) donc H(D) est faiblement dense dans
H(E 0 ) ⊂ H qui est un espace de hilbert
donc H(D) est fortement dense dans H0
Or H0 est dense dans H
donc H(D) est dense dans H i.e. H est séparable.
Proposition 22 Soit H un sous espace hilbertien de E, H son noyau.
|< h, e0 >|
Alors un élément h de E 0? appartient à H si et seulement si sup
1 < ∞
e0 ∈E 0 (< He0 , e0 >) 2
et dans ce cas, on a
|< h, e0 >|
|| h ||H = sup
1
e0 ∈E 0 (< He0 , e0 >) 2
Preuve :
1) Si h ∈ H, on a avec la proposition 20
|< h, e0 >|=| (h, He0 )H ≤|| h ||H || He0 ||H
1
=|| h ||H < He0 , e0 > 2
1
Si < He0 , e0 > 2 = 0 alors |< h, e0 >|= 0
0
|< h, e0 >|
>|
Sinon, |<h,e
1 ≤|| h ||H donc sup
1 est un nombre fini, majoré par mid | h ||H .
0
0
(<He ,e >) 2
e0 ∈E 0 (< He0 , e0 >) 2
|< h, e0 >|
2) réciproquement, supposons que sup
1 < ∞
e0 ∈E 0 (< He0 , e0 >) 2
e0 7→< h, e0 > est nulle sur l’ensemble des e0 tels que He0 = 0 et c’est une application linéaire.
H(E 0 ) −→ R
On considère
, c’est une forme linéaire dont la norme est inférieure ou égale à
He0
7→
< h, e0 >
0
|< h, e >|
l(h) = sup
.
0
e0 ∈E 0 || He ||H
On applique le théorème d’Hahn Banach,
∃k ∈ H tel que < h, e0 >= (k, He0 )H et || k ||≤ l(h).
Avec la proposition 20., < h, e0 >=< k, e0 > pour tout e0 ∈ E 0
donc k = h donc h ∈ H.
De plus, || h ||H ≤ l(h) et avec l’inégalité de 1), || h ||H = l(h).
Corollaire 8 L’application canonique de Hilb(E) dans L+ (E) est injective.
Preuve :
D’après la proposition 22, la connaissance de H détermine H avec sa structure hilbertienne.
Corollaire 9 Si h ∈ E 0? vérifie sup
|< h, e0 >|
e0 ∈E 0 (<
1
He0 , e0 >) 2
< ∞ alors h ∈ E.
Preuve :
On a alors h ∈ H et H ⊂ E.
Proposition 23 Soit B0 = {He0 , e0 ∈ E 0 , < He0 , e0 >≤ 1},
On note B0 son adhérence dans E.
Alors H = ∪ + λB0 .
λ∈R
Ceci donne une nouvelle caractérisation de H à partir de H.
Référence :
Schwartz L. : Sous-espaces hilbertiens d’espaces vectoriels topologiques et noyaux associés (noyaux
reproduisants), J. Anal. Math., 13, p.115-256 (1964).
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