Théorème des accroissements finis et formules de

Accroissements finis et formules de Taylor
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Arthur LANNUZEL
le 11 Mars 2010
Théorème des accroissements finis
et formules de Taylor
Objectif.
Approcher localement les fonctions par des polynômes.
1
Théorème de Rolles.
DESSIN
Théorème 1.1 Soit f : [a, b] ⊂ R −→ R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ vérifiant
f (a) = f (b) alors f ′ s’annule au moins en un point de ]a, b[.
Preuve.
i) Si pour tout x ∈ [a, b], f (x) = f (a) = f (b) alors ∀x ∈]a, b[, f ′ (x) = 0.
ii) M = sup(f [a, b]) ̸= m = inf(f ([a, b])) (rappel : on sait que f ([a, b]) = [m, M ]).
Or ou bien m ̸= f (a) = f (b) (d’où m = f (c)) ou M ̸= f (a) = f (b) (d’où M = f (c)).
Dans les deux cas, on a alors un extremum local en c ∈]a, b[, ce qui implique f ′ (c) = 0.
CQFD
2
Théorème des accroissements finis.
DESSIN
Théorème 2.1 (TAF : Théorème des accroissements finis)
Soit f : [a, b] ⊂ R −→ R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ alors il existe c ∈]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = (b − a)f ′ (c).
Preuve.
rapide
On applique le théorème de Rolles à ϕ(x) = f (x) − Eq(x), où x 7→ Eq(x) est est la fonction
dont la courbe représentative est la droite passant par (a, f (a)) et (b, f (b)) :
Eq(x) = f (a) +
CQFD
f (b) − f (a)
.(x − a).
b−a
Accroissements finis et formules de Taylor
2
Exercice 2.2 i) Montrer que
∀x ∈]0, +∞[,
ii) En déduire que
∑2n
1
p=n+1 p
1
1
< ln(x + 1) − ln(x) < .
x+1
x
converge.
Corollaire 2.3 (Théorème des accroissements finis généralisés)
Soient f, g : [a, b] ⊂ R −→ R continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[ avec g ′ (x) ̸= 0 sur ]a, b[
′ (c)
(b)−f (a)
alors il existe c ∈]a, b[ tel que fg(b)−g(a)
= fg′ (c)
.
Preuve.
En exo. Appliquer le théorème de Rolles à h(x) = f (x) −
CQFD
f (a)−f (b)
.g(x).
g(a)−g(b)
Corollaire 2.4 (Règle de l’Hospital)
Soient f, g : [a, b] ⊂ R −→ R continues sur [a, b], dérivables sur ]a, b[/{c} (c ∈]a, b[) avec
g ′ (x) ̸= 0 sur ]a, b[/{c}.
Supposons f (c) = g(c) = 0 alors il existe
f ′ (x)
f (x)
= l =⇒ lim
= l.
′
x→c g (x)
x→c g(x)
lim
Preuve.
En exo. à partir du corollaire précédent.
CQFD
Exercice 2.5 Trouver la limite en 0 de
x−sin(x)
.
x3
Remarque 2.6 (exo)
La réciproque à la règle de l’hospital est fausse.
Le vérifier avec la fonction
f : R −→ R
{ 2
x . sin( x1 ) si x ̸= 0
x 7→
0
sinon
et g(x) = sin(x).
3
3.1
Formule de Taylor.
Formule de Taylor avec reste de Lagrange.
Notation 3.1
C n ([a, b], R) := {f : [a, b] −→ R, n f ois dérivablesavec f (n) continue sur [a, b]}
Accroissements finis et formules de Taylor
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Théorème 3.2 f : [a, b] −→ R, f ∈ C n ([a, b], R), f n+1 fois dérivable sur ]a, b[. soit x0 ∈ [a, b]
i) Alors, pour tout x ∈ [a, b], il existe c0x compris entre x et x0 tel que
f (x) =
n
∑
(x − x0 )p
p!
p=0
f (p) (x0 ) +
(x − x0 )n+1 (n+1) 0
.f
(cx ).
(n + 1)!
c’est le développement de Taylor à l’ordre n de f en x0 avec reste de lagrange.
ii) Alors, pour tout h ∈ R tel que x0 + h ∈ [a, b], il existe c0h compris entre x0 + h et x0 tel que
f (x0 + h) =
n
∑
hp
p=0
p!
f (p) (x0 ) +
Preuve.
Supposons x < x0 .
Soit
ϕ(t) := f (x) − f (t) − (x − t)f ′ (t) − ... −
hn+1
.f (n+1) (c0h ).
(n + 1)!
(x − t)n (n)
(x − t)(n+1) .A
f (t) −
n!
(n + 1)!
avec A ∈ R tel que ϕ(x0 ) = 0.
Alors ϕ continue sur [x, x0 ], dérivable sur ]x, x0 [ et ϕ(x) = ϕ(x0 ) = 0.
Donc, d’après le théorème de Rolles, il existe c ∈]x, x0 [ tel que ϕ′ (c) = 0.
n
n
Or ϕ′ (c) = − (x−c)
.f (n+1) (c) + (x−c)
A,
n!
n!
(n+1)
d’où A = f
(c).
CQFD
3.2
Formule de Maclaurin.
Il s’agit de la formule de Taylor avec reste de Lagrange appliqué à x0 = 0.
Théorème 3.3 Si f admet des dérivées jusqu’à l’ordre n + 1 sur un intervalle I contenant 0
alors :
n
∑
xp (p)
xn+1 (n+1)
∀x ∈ I, ∀n ∈ N∗ , ∃θ ∈]0, 1[/f (x) =
f (0) +
f
(θ.x).
p!
(n
+
1)!
p=0
Preuve.
évident avec le résultat précédent.
CQFD
Exemples 3.4 i) Montrer que
sinx ∼0 x −
3
5
7
x3 x5 x7
+
− .
3!
5!
7!
sin x = x − x3! + x5! − x7! + x7 .ϵ(x) (avec ϵ(x) qui tend vers 0 quand x tens vers 0) est le
développement limité de sin à l’ordre 7 en 0.
Accroissements finis et formules de Taylor
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ii) Faire la même chose avec cos.
3.3
Formule de Taylor avec reste de Young.
Théorème 3.5 Soient f : [a, b] −→ R et x0 ∈ [a, b].
Supposons f n fois dérivable en x0 .
Alors il exist α > 0 tel que, pour tout x ∈]x0 − α, x0 + α[, on ait
f (x) =
n
∑
(x − x0 )p
p=0
p!
f (p) (x0 ) + (x − x0 )n .ϵ(x).
avec limx→x0 ϵ(x) = 0.
c’est le développement de Tayor à l’ordre n de f avec reste de Young en x0 .
Preuve.
On raisonne par récurrence. La formule est clairement vérifiée pour n = 1.
Supposons la formule vérifiée pour n ∈ N et posons
rn+1 (h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − hf ′ (x0 ) − ... − hn+1
f n+1 (x0 )
.
(n + 1)!
′
Soit ϵ > 0. L’hypothèse de récurrence appliquée à rn+1
montre alors qu’il existe α > 0 tel que
′
∀h < α, |rn+1
(h)| < ϵ|h|n .
On a alors, grâce au théorème des accroissements finis,
|rn+1 (h) − rn+1 (0)| = |rn+1 (h)| < ϵ|h|n+1 .
D’où le résultat.
CQFD
Exercice 3.6 Appliquer le théorème précédent pour x0 = 0 à ln(1 + x), ex ,
1
.
1+x