Théorème des accroissements finis et formules de

Accroissements finis et formules de Taylor 1
Arthur LANNUZEL
le 11 Mars 2010
Th´eor`eme des accroissements finis
et formules de Taylor
Objectif.
Approcher localement les fonctions par des polynˆomes.
1 Th´eor`eme de Rolles.
DESSIN
Th´eor`eme 1.1 Soit f: [a, b]⊂R−→ Rcontinue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[v´erifiant
f(a) = f(b)alors f′s’annule au moins en un point de ]a, b[.
Preuve.
i) Si pour tout x∈[a, b], f(x) = f(a) = f(b) alors ∀x∈]a, b[, f′(x) = 0.
ii) M= sup(f[a, b]) ̸=m= inf(f([a, b])) (rappel : on sait que f([a, b]) = [m, M]).
Or ou bien m̸=f(a) = f(b) (d’o`u m=f(c)) ou M̸=f(a) = f(b) (d’o`u M=f(c)).
Dans les deux cas, on a alors un extremum local en c∈]a, b[, ce qui implique f′(c) = 0.
CQFD
2 Th´eor`eme des accroissements finis.
DESSIN
Th´eor`eme 2.1 (TAF : Th´eor`eme des accroissements finis)
Soit f: [a, b]⊂R−→ Rcontinue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[alors il existe c∈]a, b[tel que
f(b)−f(a) = (b−a)f′(c).
Preuve.
rapide
On applique le th´eor`eme de Rolles `a ϕ(x) = f(x)−Eq(x), o`u x7→ Eq(x) est est la fonction
dont la courbe repr´esentative est la droite passant par (a, f(a)) et (b, f(b)) :
Eq(x) = f(a) + f(b)−f(a)
b−a.(x−a).
CQFD

Accroissements finis et formules de Taylor 2
Exercice 2.2 i) Montrer que
∀x∈]0,+∞[,1
x+ 1 <ln(x+ 1) −ln(x)<1 x.
ii) En d´eduire que 2n
p=n+1
1
pconverge.
Corollaire 2.3 (Th´eor`eme des accroissements finis g´en´eralis´es)
Soient f, g : [a, b]⊂R−→ Rcontinues sur [a, b], d´erivables sur ]a, b[avec g′(x)̸= 0 sur ]a, b[
alors il existe c∈]a, b[tel que f(b)−f(a)
g(b)−g(a)=f′(c) g′(c).
Preuve.
En exo. Appliquer le th´eor`eme de Rolles `a h(x) = f(x)−f(a)−f(b)
g(a)−g(b).g(x).
CQFD
Corollaire 2.4 (R`egle de l’Hospital)
Soient f, g : [a, b]⊂R−→ Rcontinues sur [a, b], d´erivables sur ]a, b[/{c}(c∈]a, b[) avec
g′(x)̸= 0 sur ]a, b[/{c}.
Supposons f(c) = g(c) = 0 alors il existe
lim
x→c
f′(x)
g′(x)=l=⇒lim
x→c
f(x)
g(x)=l.
Preuve.
En exo. `a partir du corollaire pr´ec´edent.
CQFD
Exercice 2.5 Trouver la limite en 0de x−sin(x)
x3.
Remarque 2.6 (exo)
La r´eciproque `a la r`egle de l’hospital est fausse.
Le v´erifier avec la fonction
f:R−→ R
x7→ x2.sin(1
x)si x ̸= 0
0sinon
et g(x) = sin(x).
3 Formule de Taylor.
3.1 Formule de Taylor avec reste de Lagrange.
Notation 3.1
Cn([a, b],R) := {f: [a, b]−→ R, n fois d´erivablesavec f(n)continue sur [a, b]}

Accroissements finis et formules de Taylor 3
Th´eor`eme 3.2 f: [a, b]−→ R,f∈ Cn([a, b],R),f n+1 fois d´erivable sur ]a, b[. soit x0∈[a, b]
i) Alors, pour tout x∈[a, b], il existe c0
xcompris entre xet x0tel que
f(x) =
n
p=0
(x−x0)p
p!f(p)(x0) + (x−x0)n+1 (n+ 1)! .f(n+1)(c0
x).
c’est le d´eveloppement de Taylor `a l’ordre nde fen x0avec reste de lagrange.
ii) Alors, pour tout h∈Rtel que x0+h∈[a, b], il existe c0
hcompris entre x0+het x0tel que
f(x0+h) =
n
p=0
hp
p!f(p)(x0) + hn+1 (n+ 1)!.f(n+1)(c0
h).
Preuve.
Supposons x < x0.
Soit
ϕ(t) := f(x)−f(t)−(x−t)f′(t)−... −(x−t)n
n!f(n)(t)−(x−t)(n+1).A (n+ 1)!
avec A∈Rtel que ϕ(x0) = 0.
Alors ϕcontinue sur [x, x0], d´erivable sur ]x, x0[ et ϕ(x) = ϕ(x0) = 0.
Donc, d’apr`es le th´eor`eme de Rolles, il existe c∈]x, x0[ tel que ϕ′(c) = 0.
Or ϕ′(c) = −(x−c)n
n!.f(n+1)(c) + (x−c)n n!A,
d’o`u A=f(n+1)(c).
CQFD
3.2 Formule de Maclaurin.
Il s’agit de la formule de Taylor avec reste de Lagrange appliqu´e `a x0= 0.
Th´eor`eme 3.3 Si fadmet des d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre n+ 1 sur un intervalle Icontenant 0
alors :
∀x∈I, ∀n∈N∗,∃θ∈]0,1[/f(x) =
n
p=0
xp
p!f(p)(0) + xn+1 (n+ 1)!f(n+1)(θ.x).
Preuve.
´evident avec le r´esultat pr´ec´edent.
CQFD
Exemples 3.4 i) Montrer que
sinx ∼0x−x3
3! +x5 5! −x7 7! .
sin x=x−x3
3! +x5 5! −x7 7! +x7.ϵ(x)(avec ϵ(x)qui tend vers 0quand xtens vers 0) est le
d´eveloppement limit´e de sin `a l’ordre 7en 0.

Accroissements finis et formules de Taylor 4
ii) Faire la mˆeme chose avec cos.
3.3 Formule de Taylor avec reste de Young.
Th´eor`eme 3.5 Soient f: [a, b]−→ Ret x0∈[a, b].
Supposons f n fois d´erivable en x0.
Alors il exist α > 0tel que, pour tout x∈]x0−α, x0+α[, on ait
f(x) =
n
p=0
(x−x0)p
p!f(p)(x0)+(x−x0)n.ϵ(x).
avec limx→x0ϵ(x) = 0.
c’est le d´eveloppement de Tayor `a l’ordre nde favec reste de Young en x0.
Preuve.
On raisonne par r´ecurrence. La formule est clairement v´erifi´ee pour n= 1.
Supposons la formule v´erifi´ee pour n∈Net posons
rn+1(h) = f(x0+h)−f(x0)−hf′(x0)−... −hn+1 fn+1(x0)
(n+ 1)! .
Soit ϵ > 0. L’hypoth`ese de r´ecurrence appliqu´ee `a r′
n+1 montre alors qu’il existe α > 0 tel que
∀h < α, |r′
n+1(h)|< ϵ|h|n.
On a alors, grˆace au th´eor`eme des accroissements finis,
|rn+1(h)−rn+1(0)|=|rn+1(h)|< ϵ|h|n+1.
D’o`u le r´esultat.
CQFD
Exercice 3.6 Appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent pour x0= 0 `a ln(1 + x),ex,1
1+x.