Accroissements finis et formules de Taylor 3
Th´eor`eme 3.2 f: [a, b]−→ R,f∈ Cn([a, b],R),f n+1 fois d´erivable sur ]a, b[. soit x0∈[a, b]
i) Alors, pour tout x∈[a, b], il existe c0
xcompris entre xet x0tel que
f(x) =
n
p=0
(x−x0)p
p!f(p)(x0) + (x−x0)n+1
(n+ 1)! .f(n+1)(c0
x).
c’est le d´eveloppement de Taylor `a l’ordre nde fen x0avec reste de lagrange.
ii) Alors, pour tout h∈Rtel que x0+h∈[a, b], il existe c0
hcompris entre x0+het x0tel que
f(x0+h) =
n
p=0
hp
p!f(p)(x0) + hn+1
(n+ 1)!.f(n+1)(c0
h).
Preuve.
Supposons x < x0.
Soit
ϕ(t) := f(x)−f(t)−(x−t)f′(t)−... −(x−t)n
n!f(n)(t)−(x−t)(n+1).A
(n+ 1)!
avec A∈Rtel que ϕ(x0) = 0.
Alors ϕcontinue sur [x, x0], d´erivable sur ]x, x0[ et ϕ(x) = ϕ(x0) = 0.
Donc, d’apr`es le th´eor`eme de Rolles, il existe c∈]x, x0[ tel que ϕ′(c) = 0.
Or ϕ′(c) = −(x−c)n
n!.f(n+1)(c) + (x−c)n
n!A,
d’o`u A=f(n+1)(c).
CQFD
3.2 Formule de Maclaurin.
Il s’agit de la formule de Taylor avec reste de Lagrange appliqu´e `a x0= 0.
Th´eor`eme 3.3 Si fadmet des d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre n+ 1 sur un intervalle Icontenant 0
alors :
∀x∈I, ∀n∈N∗,∃θ∈]0,1[/f(x) =
n
p=0
xp
p!f(p)(0) + xn+1
(n+ 1)!f(n+1)(θ.x).
Preuve.
´evident avec le r´esultat pr´ec´edent.
CQFD
Exemples 3.4 i) Montrer que
sinx ∼0x−x3
3! +x5
5! −x7
7! .
sin x=x−x3
3! +x5
5! −x7
7! +x7.ϵ(x)(avec ϵ(x)qui tend vers 0quand xtens vers 0) est le
d´eveloppement limit´e de sin `a l’ordre 7en 0.