bta ds

On considère la matrice A =µ7 2
−4 1¶.
1. a.
b.
2. a. Soit P =µ1 1
−2−1¶. Montrer que P est inversible et donner son inverse.
b. Soit D =µ3 0
0 5¶. Montrer que AP =PD.
3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : An=PDnP−1, puis donner l’expression
de Anen fonction de npour tout entier n.
4. Soit (un)n∈Net (vn)n∈Nles suites définies par u0=1, v0=1 et pour tout entier naturel
n:½un+1=7un+2vn
vn+1= − 4un+vn
a. On note Xn=µun
vn¶. Exprimer Xn+1en fonction de A et Xn.
b. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a Xn=AnX0, puis donner l’expres-
sion de unet vnen fonction de n.
Deternmner les valeurs propres de la matrice A
Determiner les vecteurs propres associes a chaque valeur prore
EXERCICE1
EXERCICE2
A=
1 2 −1
3−1 0
−2 2 2
.
PAA
λ1< λ2< λ3Eλ1Eλ2Eλ3
λ1Eλ1
λ2Eλ2
λ3Eλ3
D=
λ10 0
0λ20
0 0 λ3
.
P D =P−1AP
P−1
A
x0=x+ 2y−z,
y0= 3x−y
z0=−2x+ 2y+ 2z.
x(0) = y(0) = z(0) = 1
8
9
DS1 MATHEMATIQUES 2BTS MCW
(8points)