DS1 MATHEMATIQUES EXERCICE1 (8points) 2BTS MCW ¶ 7 2 On considère la matrice A = . −4 1 µ 1. a. Deternmner les valeurs propres de la matrice A b. Determiner propres associes a chaque valeur prore µ les vecteurs ¶ 1 1 2. a. Soit P = . Montrer que P est inversible et donner son inverse. −2 −1 µ ¶ 3 0 b. Soit D = . Montrer que AP = PD. 0 5 3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : An = PDn P −1 , puis donner l’expression de An en fonction de n pour tout entier n. 4. Soit (u n )n∈N et (v n )n∈N les suites définies par u 0 = 1, v 0 = 1 et pour tout entier naturel n: ½ u n+1 = 7u n + 2v n v n+1 = − 4u n + v n µ ¶ un a. On note X n = . Exprimer X n+1 en fonction de A et X n . vn b. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a X n = An X 0 , puis donner l’expression de u n et v n en fonction de n. EXERCICE2 1 (12 points) On considère la matrice réelle A = 3 −2 2 −1 −1 0 2 2 1. Calculer et factoriser le polynôme caractéristique PA . En déduire les valeurs propres de A . On note λ1 < λ2 < λ3 les valeurs propres obtenues précedemment, ainsi que Eλ1 , Eλ2 et Eλ3 les sous-espaces propres correspondant. 2. Quelle est nécessairement la dimension de chacun de ces sous-espaces propres? Expliquer. 3. Calculer les vecteurs propres associés à λ1 . En déduire une base de Eλ1 . 4. Calculer les vecteurs propres associés à λ2 . En déduire une base de Eλ2 . 5. Calculer les vecteurs propres associés à λ3 . Endéduire une base de Eλ3 . λ1 0 0 D = 0 λ2 0 . 0 0 λ3 6. Donner une matrice de passage P telle que D = P −1 AP . Dorénavant, on note 7. Calculer P −1 . 9. La matrice A est-elle inversible? Justier. Quel est son déterminant? 8 10. 9 On considère le système d'équations diérentielles suivant: x0 y0 0 z = x + 2y − z, = 3x − y = −2x + 2y + 2z. Calculer l'ensemble des solutions de ce système. Quelle est sa dimension? Calculer la solution dont la donnée initiale est x(0) = y(0) = z(0) = 1.
