Université Saâd Dahlab de BLIDA Faculté des Sciences, Département de mathématiques EMD MI, 1ère année, algèbre 2. Exercice 1 : Montrer que l' ensemble W = { ( a, b, c ) / a + b + c = 0 } est un sous espace vectoriel de 3 et que U = { ( a, b, c ) / a ≥ 0 }ne l'est pas. Exercice 2 : Soit E un espace vectoriel et E1 et E2 deux sous espace vectoriels de E constituant une somme directe ( E = E1 ⊕ E2 ). La somme est directe si ∀x∈E ∃! ( x1, x2)∈ E1 x E2 / x = x1+ x2 p: E→E et x→ p(x) = x1 où x1 est l'élément de E1 q: E→E x→ q(x) = x2 où x2 est l'élément de E2 deux applications. Montrer que les applications "p" et "q" sont deux endomorphismes tel que : i) p + q = IdE ii) p2 = p o p = p iii) q2 = qoq = q iv) poq = q o p = 0E. Exercice 3 : Montrer que les vecteurs X = ( 0, 1, 1), Y = ( 1, 0, 1) et Z = ( 0, 1, 0) forment une base de 3. Trouver les composantes du vecteur T = ( 1, 1, 1) relativement à cette dernière. Exercice 4 : Soit f: 3 → 3 ( x, y, z) → ( 2x + y + z, 2x + y + z, 2x + y + z ) a) Montrer que f est linéaire b) Déterminer Kerf, une base de kerf et en déduire sa dimension. c) Donner une base de Imf et sa dimension. d) Vérifier que dimKerf + dimImf = 3 = dim 3 .