Élements de logique, théorie des ensembles P(E), E × F

MPSI
MPSI
Programme de colle de l’année
Semaine 1
2006-07
18–22/09/2006
Élements de logique, théorie des ensembles
P(E), E × F , applications, injectivité, surjectivité, bijectivité, étude de N, définition élémentaire de
l’ordre sur N (ATTENTION je n’ai pas donné la définition générale de relation d’ordre), majorant,
minorant, ppe, pge, récurrence, rappel des formules combinatoires de terminale.
Corps C
Définition de LCI et de corps, conjugaison, module, inégalité triangulaire, cas d’égalité, définition
sommaire de groupe, groupe U des nombres complexes de module 1, argument, notation eiθ , exponentielle
complexe.
MPSI
Semaine 2
25–29/09/2006
racines carrées d’un complexe 2 méthodes : trigonométriques et algébrique, résolution de l’équation
trinomiale az 2 + bz + c = 0, racines n-ièmes de l’unité, somme des racines, racine n-ième d’un complexe, interprétation graphique, trigonométrie : formules d’addition de cos, sin, tan, paramétrage rationnel du cercle, interprétation graphique, application des complexes à la trigonométrie linéarisation et
développement.
Géométrie du plan
Définition rapide d’espace vectoriel sur R, notion de base et de repère du plan, colinéarité de 2
vecteurs, changement de repère, équation paramétrique d’une droite, produit scalaire dans une base
orthonormée, bilinéarité, symétrie, invariance de la base orthonormale, expression complexe, inégalité
de Cauchy Schwarz.
MPSI
Semaine 3
2–6/09/2006
Expression complexe et définition géométrique du produit scalaire, inégalité triangulaire et de Cauchy
Schwarz, interprétation en termes de projection, coordonnées polaires, équation d’une droite et d’un
cercle passant par l’origine en polaire, déterminant, caractérisation de la colinéarité, interprétation en
terme d’aire, expression complexe et cartésienne, droite du plan, équation cartésienne, distance d’un
point à une droite, équation normale, cercle équation cartésienne, caractérisation par le diamètre, intersection d’une droite et d’un cercle, de 2 cercles, angle inscrit et angle au centre, barycentre, associativité,
coordonnées barycentriques.
MPSI
Semaine 4
9–13/10/2006
Transformations du plan, translations, rotations, homothéties, similitudes de C, structure de groupe
de l’ensemble des similitudes, conservation du rapport et de l’angle, unicité de la similitude envoyant
m 6= n sur m0 6= n0 .
Géométrie élémentaire de l’espace
Droites et plans vectoriels, coplanarité, mode de repérage dans l’espace : coordonnées cartésiennes,
cylindriques et sphériques, orientation, produit scalaire, définition géométrique et en B.O.N., bilinéarité,
symétrie, produit vectoriel définition géométrique, interprétation de la norme en terme d’aire, identité
de Lagrange, B.O.N.D. caractéristation avec le produit vectoriel, bilinéarité (démonstration admise) et
antisymétrie, expression en B.O.N.D., déterminant caractérisation de la coplanartié, trilinéarité, expression en B.O.N.D. règle de Sarrus, symétries du déterminant, interprétation en terme de volume, droites
et plans de l’espace, équations paramétriques et cartésiennes, angle de plans, parallélisme orthogonalité,
positions relatives de plans droites.
MPSI
Semaine 5
16–20/10/2006
Distance d’un point à un plan, à une droite, écart entre deux droites, perpendiculaire commune à deux
droites, unicité pour deux droites non parallèles, calcul de la distance entre deux droites non parallèles,
sphères : équation cartésienne, intersection avec une droite, un plan ou une autre sphère, démonstration
de la bilinéarité du produit vectoriel (utilisant la formule d’une projection orthogonale sur un plan),
application de la géométrie à la résolution de systèmes linéaires à 2 ou 3 inconnues (formules de Cramer).
Fonctions usuelles
Définition d’intervalle, formule de dérivation (composées et réciproque) révision des fonctions logarithmes, exponentielles, puissances avec propriétés algébriques et croissances comparées.
MPSI
Semaine 6
6–10/11/2006
Fonctions hyperboliques : partie paire et impaire d’une fonction de F(R, R), étude de sh, ch, th, des
fonctions hyperboliques réciproques : argch, argsh et argth, expressions logarithmiques, trigonométrie
hyperbolique, paramétrage d’une branche d’hyperbole équilatère.
Fonctions circulaires : définition du cosinus et sinus par paramétage du cercle, démonstration géométrique
des formules d’addition, étude, étude des fonctions circulaires réciproques arccos, arcsin et arctan, forπ
mule arccos + arcsin = .
2
Fonctions à valeurs complexes : partie réelle et imaginaire, dérivation : propriétés élémentaires somme,
produit, dérivée de fonctions de la forme t → exp ◦ϕ(t).
Annexe : étude élémentaire d’une fonction d’une variable réelle, plan d’étude, branches infinies, convexité
à l’aide de la dérivée seconde.
Équations différentielles linéaires
Primitives sur K = C ou R, équations différentielles linéaires d’ordre 1, résolution de l’équation
normalisée homogène ou avec second membre par solution particulière, par variation de la constante et
par superposition, structure des solutions.
MPSI
Semaine 7
13–17/11/2006
Unicité des conditions intiales pour une équation différentielle linéaire d’ordre 1, conséquence sur les
courbes intégrales, équation fonctionnelle f (u + v) = f (u)f (v), problème de raccordements sur équation
non normalisée.
Équations différentielles d’ordre 2 linéaires à cœfficients constants : conséquence de la linéarité, structure des équations, principe de superposition, résolution de l’équation homogène (cas complexe et réel)
et avec second membre polynome exponentiel, unicité des conditions initiales.
Courbes paramétrées
Défintion, limite, continuité et dérivabilité d’une fonction de I dans R2 , dérivation de f.g, kf k et
Det(f, g), description cinématique, définition de point régulier et singulier, tangente en un point régulier,
branches infinies, asymptotes.
MPSI
Semaine 8
20–24/11/2006
Courbes paramétrées : défintion, limite, continuité et dérivabilité d’une fonction de I dans R2 , dérivation
de f.g, kf k et Det(f, g), description cinématique, définition de point régulier et singulier, tangente en
un point régulier, branches infinies asymptote, plan d’étude : réduction du domaine, branches infinies
(méthode pratique).
Courbes polaires : représentation paramétrique polaire (t → r(t)~u(θ(t))), calcul de la vitesse et de
l’accélération en coordonnées polaires, courbes polaire (θ → r(θ)~u(θ)), angle V de la tangente avec ~u(θ),
étude d’une courbe polaire : réduction du domaine, étude au pôle, branche infinies.
Coniques : définition monofocale, équations réduites.
MPSI
Semaine 9
27/11–1/12/2006
Coniques
Équation paramétrique, équation des tangentes (par dédoublement), équation polaire des coniques,
équation de la tangente à partir de l’équation polaire (en repère polaire et dans le repère d’orgine),
définition bifocale des coniques à centre : application pour l’ellipse : la tangente et la normale en M
sont les bissectrices des droites (M F ) et (M F 0 ) par différentiation de l’équation M F + M F 0 = 2a.
Étude de l’équation polynomiale d’une conique : réduction du terme quadratique (par rotation), indépendance de la valeur du discriminant par rapport à la B.O.N., étude du cas général suivant le signe du
discriminant et réduction complète.
Groupes
Définition, exemple du groupe Bij(E) des bijections d’un ensemble E, unicité du neutre, de l’inverse,
(x ∗ y)−1 = y −1 ∗ x−1 , (x−1 )−1 = x, (x−1 )n = (xn )−1 , groupe fini : définition exemple du groupe des
bijections d’un ensemble fini, du groupe des racines n-ième de l’unité, produit de deux groupes, groupe
de l’ensemble des fonctions à valeurs dans un groupe, définition de groupe commutatif (contre-exemple :
Bij(E) pour card(E) > 3), définition de sous-groupe, deux C.N.S. de sous-groupe (non vide et stabilité
par la loi et par l’inverse), exemple du sous-groupe des complexes de module 1, définition de morphisme
et d’endomorphisme de groupes, la composée de deux morphismes de groupe est un morphisme de
groupes.
MPSI
Semaine 10
4/12/2006
Morphisme de groupes : définition, endomorphisme de groupes, la composée de deux morphismes de
groupe est un morphisme de groupes, image du neutre de l’inverse par un morphisme, image directe
et réciproque d’un sous-groupe par un morphisme. Noyau et image d’un morphisme, caractérisation de
l’injectivité à l’aide du noyau, isomorphisme de groupes.
Multiples ou puissances d’un élément dans un groupe : description du cas additif, du cas multiplicatif,
propriétés calculatoires, les sous-groupes de Z, ordre d’un élément.
Anneaux : définition, 0 élément absorbant, loi des signes, règles de calculs : xn −y n et formule du binome
pour deux éléments commutants, produits et interversion de sommes. Anneaux produits, fonctions à
valeurs dans un anneau. Anneaux intègres, diviseurs de zéro, sous-anneaux, morphismes d’anneaux,
isomorphismes.
Corps : définition, tout corps est un anneau intègre, sous-corps et morphismes de corps.
MPSI
Semaine 11
11/12/2006
Corps des nombres réels
√
Introduction : 2 6∈ Q, relation binaire, réflexivité, symétrie, antisymétrie, transitivité, relation d’ordre,
ordre total et partiel, majorant, minorant, ppe, pge, toute partie de Z majorée admet un pge, minorée
admet un ppe. Compatibilité de l’ordre sur R avec la structure de corps, valeur absolue, ||x| − |y|| 6
|x − y| 6 |x| + |y|, distance (juste la définition).
Borne supérieure et inférieure : définition, propriété de la borne supérieure sur R, le corps Q ne la vérifie
pas, caractérisation de la borne sup et de la borne inf. Si le sup est atteint alors c’est le max de même
si l’inf est atteint il est égal au min. Le sup de A est la limite d’une suite d’éléments de A.
Intervalle de R : ce sont les parties convexes (par définition) et aussi les segments de R. Définition de
la droite réelle achevée R. Propriété d’Archimède, partie entière, densité de Q et de R \ Q.
Espaces vectoriels
Introduction : définition, exemple R, C, Kn , premières propriétés (de la loi additive et de la loi externe),
EV produit de deux EV, EV des fonctions à valeurs dans un EV (exemple espace des fonctions et des
suites à valeurs réelles). Combinaisons linéaires.
MPSI
Semaine 12
18/12/2006
Sous-espace vectoriels : définition, caractérisation, exemple (dont solutions d’une équation différentielle
linéaire homogène), intersection de deux SEV, SEV engendrée par une partie et structure pour une
partie finie (description rapide pour une partie infinie), somme de deux SEV, somme directe, SEV
supplémentaires.
Applications linéaires : définition, l’EV LK (E, F ), linéarité de u → u ◦ v de v → u ◦ v, exportativité des
scalaires, isomorphismes, l’algèbre (LK (E), +, ◦, .), le groupe linéaire (Gl(E), ◦).
MPSI
Semaine 13
8/1/2007
Applications linéaires : définition, l’EV LK (E, F ), linéarité de u → u ◦ v de v → u ◦ v, exportativité des
scalaires, isomorphismes, l’algèbre (LK (E), +, ◦, .), le groupe linéaire (Gl(E), ◦).
Applications linéaires et SEV : image d’un SEV, d’une application linéaire, image réciproque d’un SEV,
noyau d’une application linéaire, f linéaire est injective si et seulement si ker f = {~0}, projecteur
définition et caratérisation par p ◦ p = p, pour un projecteur Im p ⊕ ker p = E, symétrie définition,
caratérisation par s ◦ s = Id et décomposition de l’espace, affinités et homothéties.
Sous-espaces affines d’un EV : (ce paragraphe est juste une introduction, la théorie générale sera
abordée plus tard) définition, EV directeur, parallélisme, applications affines, équation f (~x) = ~a pour
f linéaire.
Suites de nombres réels
Introduction : définition, l’algèbre (RN , +, ×, .), propriétés globales : monotonie, majoration, minoration,
propriétés à partir d’un certain rang.
Limites : définition de la convergence d’une suite, tout nombre réel est limite d’une suite de rationnels,
suites divergentes vers ±∞, unicité de la limite, une suite convergente est bornée, si lim un = l > 0
n→+∞
alors la suite (un )n∈N est strictement positive à partir d’un certain rang, compatibilité de la limite
avec l’ordre, critère de convergence et de divergence, théorème des gendarmes, suites monotones, suites
extraites critère de divergence.
MPSI
Semaine 14
15/1/2007
Opérations algébriques : (somme, produit, produit par un scalaire, inverse), algèbre C(N, R) des suites
convergentes, morphisme d’algèbre donné par la limite et extension des lois sur R.
Théorèmes des suites adjacentes, des segments emboités, de Bolzano Weierstrass.
Relations de comparaison : domination, négligeabilité propriété de transitivité, comparaison des suites
de référence, équivalence propriété de transitivité, de symétrie, si un = vn + αn avec vn = o(αn ) alors
un ∼ vn , compatibilité avec le produit et le quotient, si un ∼ vn et lim vn = l alors lim un = l, si
n→+∞
n→+∞
lim vn = l 6= 0 alors vn ∼ l, incompatibilité avec l’addition.
n→+∞
Suites complexes : suites bornées, convergentes, équivalence avec la convergence des parties réelles et
imaginaires, lim zn = l ⇒ lim |zn | = |l| et lim zn = l, unicité de la limite, convergente implique
n→+∞
n→+∞
n→+∞
bornée, opérations algébriques, suites géométriques.
MPSI
Semaine 15
22/1/2007
Dimension des espaces vectoriels
Familles génératrices, familles liées libres, bases : définition et propriétés, lien avec les applications
linéaires, bases canoniques, coordonnées dans une base, construction de morphisme à partir d’une base,
image d’une base par un isomorphisme.
Dimension finie : si (u1 , · · · , up ) engendre alors toute famille de p+1 vecteurs est liée, base ssi libre maximale ssi génératrice minimale, existence de base en dimension finie, dimension, propriétés des familles
libres et génératrices en dimension finie, caractérisation d’un ev de dimension infinie (par existence d’une
suite infinie libre), rang d’une famille de vecteurs, E et F isomorphes ssi dim E = dim F (en particulier
E isomorphe à Kdim E ), dim(E × F ) = dim E + dim F .
Étude des ev de dimension finie : théorème de la base incomplète, théorème de l’échange, F sev de E
alors dim F 6 dim E avec égalité ssi E = F , existence du supplémentaire, caractérisation de la somme
directe, dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G).
MPSI
Semaine 16
29/1/2007
Dimension des espaces vectoriels
Étude des ev de dimension finie : Étude pratique du rang (on peut remplacer ~vi par αi~vi +
X
αj ~vj
j6=i
avec αi 6= 0), changement de base, définition de matrice de passage.
Applications linéaires en dimension finie : expression dans des bases et définition de la matrice d’une
application linéaire, base et dimension de L(E, F ), rang d’une application linéaire, opérations sur le
rang (rg(f + g), rg(λf ) et rg(g ◦ f )), invariance du rang par composition par un isomorphisme, tout
supplémentaire à ker(f ) est isomorphe à Im(f ), théorème du rang, pour dim E = dim F équivalence
entre bijectivité, injectivité et surjectivité,
Endomorphismes en dimension finie : éléments inversibles de L(E), équivalence entre bijectivité, injectivité, surjectivité, inversible à gauche, à droite, non diviseur de zéro à droite, non diviseur de zéro à
gauche.
Formes linéaires en dimension finie : expression dans une base, base duale, définition d’hyperplan vectoriel comme SEV de dimension n − 1, équivalence avec noyau d’une forme linéaire non nulle, et avec
supplémentaire à une droite, équation d’un hyperplan, ker ϕ = ker ψ ssi ∃λ 6= 0 tel que ϕ = λψ,
conséquence sur les équations d’un hyperplan.
Calcul matriciel : Définition de matrice de taille n × p, structure d’espace vectoriel de Mn,p (K) :
définition de la somme de 2 matrices et de la multiplication par un scalaire, isomorphisme avec L(Kp , Kn ).
MPSI
Semaine 17
5/2/2007
Calcul matriciel
L’espace vectoriel Mn,p (K) : Définition de matrice de taille n × p, structure d’espace vectoriel de
Mn,p (K), isomorphisme avec L(Kp , Kn ), Base canonique : les matrices Ei,j , produit matriciel et propriétés, vecteurs colonnes et expression matricielle de f (~x) = ~y , transposition définition et propriétés.
L’algèbre Mn (K) : description, le groupe linéaire matriciel Gln (K) isomorphisme avec Gl(Kn ), A inversible ssi inversible à gauche ssi inversible à droite, ssi régulière à gauche ssi régulère à droite ssi
(AX = 0 ⇒ X = 0), si A est inversible alors t A aussi, méthode pratique pour trouver A−1 (résolution
de AX = Y ), la forme linéaire de trace, formule tr(AB) = tr(BA).
Matrices carrées particulières : sous-algèbre commutative des matrices diagonales, sous-algèbre des matrices triangulaires supérieures, inférieures, sous-espaces vectoriels supplémentaires des matrices symétriques
et antisymétriques.
Matrices d’endomorphismes : expression dans des bases d’une application linéaire, isomorphisme de
Mn,p (K) avec L(E, F ), formules de changement de bases, matrices équivalentes, toute application
Ir
0r,p−r
linéaire u ∈ L(E, F ) a dans des bases adaptées une matrice de la forme Jr =
0n−r,r 0n−r,p−r
avec r = rg(u), changement de bases pour les endomorphismes, matrices semblables.
MPSI
Semaine 18
12/2/2007
Fonctions à variable et à valeurs réelles
Algèbre F(X, R) : sous-algébre des fonctions paires, SEV des fonctions impaires, sous-algèbre des fonc1
tions périodiques, période d’une fonction, notion d’ordre, sup(f, g), inf(f, g), |f |, sup(f, g) = (f + g +
2
1
|f − g|), inf(f, g) = (f + g − |f − g|), fonctions majorées, minorées, supX (f ), inf X (f ), supX (f + g) 6
2
supX (f ) + supX (g), fonctions monotones, compositions, SEV des fonctions lipschtziennes, composition.
Étude locale des fonctions : limites finies et infinies en a ∈ R, propriétés vraies au voisinage d’un point
de R, continuité en a ∈ R, prolongement par continuité, si un+1 = f (un ) et un −−−−−→ ` avec f continue
n→+∞
en ` alors f (`) = `, propriétés des limites finies en a ∈ R : unicité de la limite, l’exitence d’une limite finie
implique bornée au voisinage de a, minoration au voisinage de a pour une limite strictement positive et
corollaires, compatibilité avec l’ordre, opérations sur les limites, sous-algébre des fonctions de F(I, R)
continues en a.
Critères d’existence de limite : théorèmes d’encadrements, critère séquentiel.
MPSI
Semaine 19
19/2/2007
Fonctions à variable et à valeurs réelles
Critères d’existence de limite : théorèmes d’encadrements, critère séquentiel. limite à droite et à gauche,
continuité à droite et à gauche, les fonctions monotones admettent une limite à droite et à gauche en
tout point (sauf éventuellement aux bornes où la limite n’existe que d’un côté), pour f croissante et a
intérieur à I : sup f = lim f 6 f (a) 6 lim f = inf f , si f croissante sur ]a, b[ alors la limite en
I∩]−∞,a[
a−
a+
I∩]a,+∞[
b existe elle est finie si f est majorée, et est +∞ si f n’est pas majorée, propriétés semblables en a et
pour f décroissante.
Relations de comparaison : domination, négligeabilité, comportement avec la somme, le produit, équivalent, f ∼ g ssi f − g = o(g) (en a), ∼ relation reflexive, symétrique et transitive, compatibilité avec le
produit et le quotient, incompatibilté avec la somme, changement de variable, équivalents classiques et
comparaison des fonctions usuelles.
Fonctions continues sur un intervalle : algèbre C(I, R), composition, continuité de sup(f, g), inf(f, g)
et |f |, TVI, image d’un intervalle par une fonction continue, sur [a, b] une fonction continue est bornée
et atteint ses bornes, si f est strictement croissante sur l’intervalle I alors f (I) est de la même forme
que I, f monotone sur l’intervalle I alors f est continue ssi f (I) est un intervalle, soit f continue sur
l’intervalle I, f est injective ssi f est strictement monotone, f continue bijective de l’intervalle I vers J
alors f −1 est continue, continuité uniforme et théorème de Heine.
Brêve extension aux fonctions à valeurs complexes : limite en un point, continuité, équivalence avec
continuité de la partie réelle et de la partie imaginaire, opérations algébriques des limites, l’existence
d’une limite implique localement bornée.
MPSI
Semaine 20
12/3/2007
Dérivée de fonctions à valeurs réelles
Définition de la dérivée en un point, dérivée à droite et à gauche, interprétation graphique, dérivable ⇒
continue, dérivable en x0 de dérivée ` ssi f (x) = f (x0 ) + `(x − x0 ) + o(x − x0 ) en x0 .
Fonction dérivée, classe C k , f est C k+1 ssi f 0 est C k .
Opériations sur les dérivées, somme, produit, inverse, composition, dérivée logarithmique, application
réciproque, dérivée successives, algèbre Dk (I, R) et C k (I, R), formule de Leibniz.
Extrema globaux et locaux (maximum et minimum), CN dans le cas où f et dérivable, cas dérivable à
droite ou à gauche seulement.
TAF Théorème de Rolle, des accroissements finis avec interprétations graphiques et cinématiques, application à la recherche d’équivalents, inégalité des accroissements finis (cas f C 1 sur [a, b]).
Fonctions monotones dérivables CNS de croissance et de décroissance, de stricte croissance en particulier
si f 0 > 0 sauf en un nombre fini de point(s) ou elle s’annule alors f est strictement croissante.
Prolongement au bord si lim f 0 = ` ∈ R avec f dérivable sur ]a, b] et continue sur [a, b] alors f est
a+
dérivable en a de dérivée `. Corollaire dans le cas où f est C 1 sur ]a, b]. Cas de la limite infinie.
Suites un+1 = f (un ) cas pratique d’étude de convergence notamment si f est croissante ou contractante,
étude du point fixe.
MPSI
Semaine 21
19/3/2007
Fonctions convexes
Définition, interprépation graphique (tout arc est sous sa corde), croissance des pentes des sécantes
dont une extrémité est fixée, si f est C 1 alors f est convexe si et seulement si f 0 est croissante, corollaire
dans le cas où f est deux fois dérivable, la courbe
est au dessus de ses tangentes, inégalité de convexité :
!
n
n
n
X
X
X
si λj > 0 et si
λj = 1 alors f
λj aj 6
λj f (aj ).
i=1
i=1
i=1
Intégration des fonctions à valeurs réelles sur [a, b]
Fonctions continues par morceaux : définition d’une fonction ϕ en escalier, d’une subdivision de [a, b]
subordonnée à ϕ, sous-algèbre des fonctions en escalier. Définition des fonctions continues par morceaux,
sous-algèbre des fonctions continues par morceaux.
Approximation d’une fonction f continue par morceaux par des fonctions en escalier : pour tout
ε > 0 il existe ϕ, ψ en escalier tels que ϕ 6 f 6 ψ et ψ − ϕ 6 ε.
Intégrale des fonctions continues par morceaux : intégrale d’une fonction en escalier, linéarité, positivité,
définition de l’intégrale pour une fonction continue
croissance,
Z b croissance,
Z b
Z bpar morceaux,Zlinéarité,
b
f 6
|f |, relation de Chasles, invariance par translation, f g 6 sup |f |
|g|.
a
a
a
[a,b]
a
Intégrations des fonctions continues : valeur moyenne et égalite de la moyenne, f continue f > 0 et
Z b
f = 0 alors f = 0, inégalité de Cauchy Schwarz, sommes de Riemann, approximation par la méthode
a
des trapèzes.
Primitives des fonctions continues sur un intervalle
Z x : Définition, deux primitives diffèrent d’une consf (t) d t est la primitive de f s’annulant en a, applitante, théorème fondamental : la fonction x →
a
cation au calcul de l’intégrale à l’aide d’une primitive, cas d’une fonction C 1 . Techniques d’intégration :
linéarité, changement de variable, intégration par parties pour des fonctions C 1 , primitives des fonctions
usuelles.
MPSI
Semaine 22
26/3/2007
Polynômes et fractions rationnelles
ATTENTION PAS D’ARITHMÉTIQUE (elle sera abordée plus tard avec celle de Z).
L’algèbre K[X] : présentation, opérations, dégré et ses propriétés, cœfficient dominant, polynôme unitaire (ou normal), intégrité, Kn [X].
Division euclidienne : division dans K[X], division euclidienne, calcul pratique.
Factorisation : fonction polynômiale associée à un polynôme, racine, ordre (ou multiplicité) d’une racine,
factorisation, un polynôme P non nul admet au plus deg P racines, polynôme scindé, isomorphisme entre
K[X] et fonctions polynômiales sur K, relations entre racines et cœfficients pour un polynôme scindé.
Décomposition dans C et dans R : théorème de d’Alembert Gauss, tout polynôme de C[x] est scindé,
factorisation dans R[X].
Dérivée d’un polynôme : linéarité, produit, dérivées successives, formule de Leibniz, formule de Taylor,
caractérisation de l’ordre d’une racine.
Fractions rationnelles : présentation du corp K(X), représentation irréductible, degré, zéros et pôles,
fonction rationnelle associée.
MPSI
Semaine 23
2/4/2007
Fractions rationnelles
Présentation du corp K(X) : représentation irréductible, degré, zéros et pôles, fonction rationnelle associée.
Partie entière et polaire : définition existence et unicité, méthodes pratiques de calcul de la partie
polaire.
Décomposition en éléments simples dans C(X) : existence unicité, remarques pratiques pour une fraction paire, impaire, réelle, utilisation de la limite en ±∞. Forme de la décomposition dans R (admise).
Application au calcul des primitives : primitives des fractions rationnelles, des fractions trigonométrix
ques (angle moitié, Bioche), hyperboliques (utilisation de
r e , argument moitié, adaptation de Bioche)
√
ax + b
et elliptiques en x et y pour y = ax2 + bx + c ou y = n
.
cx + d
MPSI
Semaine 24
10/4/2007
Développements limités
Formules de Taylor : avec reste intégral, de Taylor Lagrange et de Taylor Young, application à l’approximation.
Développements limités : définition, unicité, troncature, DL0 en a équivalent à continuité en a et DL1
équvalent à dérivabilité.
Opérations sur les DL : combinaison linéaire, produit, intégration, dérivation sous conditions, inverse
et composition sous conditions.
Exemples classiques de DL.
Développements asymptotiques : exemples sur différentes échelles de comparaison.
Applications : recherche de limites et équivalents, étude de fonctions, allure locale des courbes paramétrées
MPSI
Semaine 25
2/5/2007
Étude métrique des courbes planes
Paramétrage admissible, abscisse curviligne s, paramétrage normal, longueur d’un arc, repère de
dα
Frénet. Si f est de classe C k (k > 2) paramétage angulaire α de classe C k−1 , courbure c =
,
ds
→
−
→
−
→ dN
−
→
−
dT
vitesse et accélération dans le repère de Frénet, formules de Frénet
= cN ,
= −c T , pour un
ds
ds
arc birégulier α est un paramétrage admissible, formule de la courbure en cartésien et polaire, rayon
de courbure, centre de coubure, formule de calcul d’aire pour une courbe simple fermée orientée en
cartésien et en polaire.
Arithmétique dans Z
Diviseurs, multiples, division euclidienne, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide, entiers premiers entre
eux, théorème de Bezout, théorème de Gauss et corollaires, nombres premiers, décomposition en facteurs
premiers, application aux diviseurs, au pgcd et au ppcm.
MPSI
Semaine 26
7/5/2007
Arithmétique dans Z et dans K[X]
Arithmétique dans Z : Diviseurs, multiples, division euclidienne, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide,
entiers premiers entre eux, théorème de Bézout, théorème de Gauss et corollaires, nombres premiers,
décomposition en facteurs premiers, application aux diviseurs, au pgcd et au ppcm.
Arithmétique dans K[X] : Divisibilité, division euclidienne, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide, polynômes premiers entre eux, théorème de Bézout, théorème de Gauss et corollaires, polynômes irréductibles, décomposition en facteurs irréductibles, décomposition dans C[X] et dans R[X], application aux
diviseurs, au pgcd et au ppcm.
MPSI
Semaine 27
14/5/2007
Rang d’une matrice et systèmes d’équations linéaires
Rang d’une matrice : définition, rg A 6 min(n, p) si A ∈ Mn,p (K), rg A = rg f si mat f = A, rg A = r ssi
t rg(A + B) 6 rg A + rg B
A et Jr sont équivalentes, rg A = rg B ssi A et B sont équivalentes, rg A = rg A,
et rg(AB) 6 min(rg A, rg B).
Opérations élémentaires : sur les lignes et les colonnes, interprétation en terme de multiplication matricielle, méthode du pivot de Gauss, application à la recherche du rang et à la recherche de l’inverse
d’une matrice.
Systèmes linéaires : définition, interprétations matricielle, vectorielle, fonctionnelle et géométrique (intersection d’hyperplans), structure d’espace affine des solutions, paramétrage par le noyau de la matrice
du système, discussion suivant le rang, résolution par pivot de Gauss.
Groupe symétrique Sn
∼ (Sn , ◦) pour card E = n, transpositions, cycles, décomDéfinition, cardinal, isomorphisme (SE , ◦) =
positions en produit de transpositions, en produit de cycles à support disjoint (admise), morphisme de
signature, groupe alterné An et son cardinal.
MPSI
Semaine 28
21/5/2007
Déterminants
Applications multilinéaires : définition d’une application p-linéaire, applications p-linéaires symétriques,
antisymétriques, alternées (alternée ⇔ antisymétrique).
Déterminant : la droite vectorielle Λ∗n (E) des formes n-linéaires alternées sur E, avec dim E = n.
Déterminant de n vecteurs dans une base de E. Caractérisation des bases, formule de changement de
bases. Orientation d’un R-EV.
Déterminant d’un endomorphisme : définition et caractérisation (il ne dépend pas de la base), composée,
caractérisation d’automorphisme.
Déterminant d’une matrice : définition, déterminant du produit, propriétés élémentaires, calculs sur les
lignes et les colonnes, déterminant de la transposée, d’une matrice triangulaire.
Développement par rapport à une ligne ou à une colonne, cofacteurs, mineurs, comatrice, formules de
Cramer pour la résolution d’un système, A.tcomat A =tcomat A.A = (det A)In .
MPSI
Semaine 29
29/5/2007
Déterminants
Calculs de déterminants, déterminant du produit, propriétés élémentaires, calculs sur les lignes et
les colonnes, déterminant de la transposée, d’une matrice triangulaire, développement par rapport à
une ligne ou à une colonne, cofacteurs, mineurs, comatrice, formules de Cramer pour la résolution d’un
système, A.tcomat A =tcomat A.A = (det A)In .
Éléments propres d’un endomorphisme
Valeurs propres, vecteurs propres, spectre (dimension finie), sous-espace propres, endomorphismes
et matrices diagonalisables, les sous-espaces propres sont en somme directe, si f a n = dim E valeurs
propres 2 à 2 distinctes alors f est diagonalisable,
P f est diagonalisable si et seulement si E est somme
des espaces propres si et seulement si dim E = dim Eλi , polynôme caractéristique.
Espaces euclidiens
Produit scalaire, définition, Cauchy Schwarz, identités de polarisation et du parallélogramme, orthogonalité de deux vecteurs de deux SEV, orrthogonal d’une partie de E, familles orthogonales, orthonormales, Pythagore.
MPSI
Semaine 30
4/6/2007
Espaces euclidiens et automorphismes orthogonaux
Produit scalaire, définition, Cauchy Schwarz, identités de polarisation et du parallélogramme, orthogonalité de deux vecteurs, de deux SEV, orthogonal d’une partie de E, familles orthogonales, orthonormales, Pythagore.
Définition d’espace vectoriel euclidien, procédé de Gram Schmidt, existence de base orthonormale,
expression du produit scalaire en BON, complétion d’une famille orthonormale, supplémentaire orthogonal, projections orthogonales, symétries orthogonales, reflexions, expression de la projection orthogonale
sur un SEV muni d’une base orthogonale, distance à un SEV, isomorphisme entre E et E ? .
Automorphismes orthogonaux : définition du groupe O(E) par linéarité et conservation de la norme,
caractérisation par la conservation du produit scalaire (implique linéarité), caractérisation par : l’image
d’une (toute) BON est une BON, propriétés. Groupe matriciel O(n), matrices de passage entre deux
BON, définition des groupes spéciaux SO(E) et SO(n).
Fin des colles suite du programme vu.
MPSI
Semaine 31
du 4 au 8/6/2007
Automorphismes orthogonaux
Automorphismes orthogonaux du plan, groupe O(2), description de SO(2), rotations, reflexions,
SO(2) groupe commutatif, morphisme surjectif de (R, +) → (SO(2), ×) dt́ermination de l’angle, les
reflexions engendrent O(2).
Automorphismes orthogonaux de l’espace, description suivant l’espace des points fixes : reflexions,
rotations, troisième type. Détermination des éléments caractétristiques : plan de symétries d’une reflexion, axe d’une rotation et angle. Décomposition en produit de reflexions.
Espaces affines euclidiens
Espaces affines : définition, relation de Chasles, vectorialisation, sous-espaces affines, parallélisme, intersection de sous-espace affines (cas des directions supplémentaires), repères, équations analytiques d’un
sous espace affine, changement de repères. Barycentres : définition, associativité, coordonnées barycentriques, convexité.
MPSI
Semaine 32
du 11 au 15/6/2007
Applications affines : définition, translations, l’image d’un SEA est un SEA, préservation de l’alignement, du parallélisme, du barycentre, l’image d’un convexe est convexe. Exemples : homothéties, projec→
−
tions affines, symétries affines, affinités. Groupe affine, morphisme partie linéaire de GA(E) vers Gl( E ),
équation analytique dans des repères.
Espaces affines euclidiens : définition, distance donnée par la norme euclidienne, orthogonalité, projections affines orthogonales, symétries affines orthogonales, affinités orthogonales.
→
−
Isométries : définition, toute isométrie est affine, f est une isométrie ssi f est orthogonale, groupes
Is(E) des isométries. Reflexions : hyperplan médiateur, pour A et B deux points distincts, il existe une
unique reflexion les échangeant, toute isométrie est le produit d’au plus n + 1 reflexions (n = dim E).
Sous groupe des déplacements. Isométries du plan. Déplacements de l’espace.
Similitudes : définition, similitudes directes, indirectes, sous groupe des similitudes, une similitude de
rapport k 6= 1 a un unique point fixe, rappel pour le plan de l’écriture complexe et des propriétés vues.
MPSI
Semaine 33
du 18 au 22/6/2007
Fonctions de deux variables réelles
Topologie : ouverts de R2 , boules ouvertes, boules fermées, sphères, introduction aux notions de voisinage d’un point, de point adhérent à un ensemble, de parties fermées. Limite d’une suite de points
de R2 , une suite converge ssi ses suites coordonnées convergent, caractérisation séquentielle des points
adhérents.
Continuité des fonctions d’une partie A de R2 dans R : définitions de limite et de continuité. Applications partielles, si f : A → R est continue alors ses applications partielles le sont (réciproque fausse).
Algèbre C(A, R). Caractérisation séquentielle de la continuité. Extension aux fonctions de A dans R2 , la
continuité est équivalente à la continuité des fonctions coordonnées, composition de fonctions continues.
Calcul différentiel : dérivées directionnelles (leur existence n’implique pas la continuité). Dérivées partielles. Définition de fonction C 1 . Algèbre C 1 (U, R). Rêgle de dérivation pour une composition au but
par ϕ : R → R. Si f est C 1 sur l’ouvert U alors f admet un DL1 en tout point a de U et une dérivée
∂f
∂f
directionnelle selon tout vecteur non nul u = (h, k) avec : Du f (a) = h (a) + k (a). Corollaire si f
∂x
∂y
est C 1 alors elle est continue. Gradient. Dérivées partielles d’une composée
MPSI
Semaine 33
du 25 au 29/6/2007
Fonctions de deux variables réelles (suite et fin)
Calcul différentiel : Interprétation géométrique du gradient (il donne la normale aux lignes de niveaux),
calcul de la tangente et de la normale pour une courbe définie implicitement f (γ(t)) = cste. Extension
aux fonctions de R2 dans R2 , matrice jacobienne, dérivées partielles d’une composée. Extrema locaux :
il faut les chercher aux points critiques.
Dérivées d’ordre supérieur, EDP : classe C 2 , algèbre C 2 (U, R). Théorème de Schwarz. Dérivées partielles d’ordre supérieur, algèbre C k (U, R), conséquence de Schwarz, exemples simples d’EDP dont
l’équation de la corde vibrante. Champs de vecteurs, potentiel scalaire, condition nécessaire pour qu’un
champ de vecteurs dérive d’un potentiel scalaire. Intégrale curviligne. Pour un champs dérivant d’un
potentiel elle ne dépend pas du chemin suivi.
Intégrale double : intégrale double sur un rectangle, théorème de Fubini. Propriétés : linéarité, positivité,
croissance, additivité sur les rectangles. Extension sur des domaines de la forme
Ω = {(x, y) ∈ R2 , ∀x ∈ [a, b], φ(x) 6 y 6 ψ(x)}
pour φ et ψ deux fonctions continues de [a, b] dans R telles que φ 6 ψ, φ(a) = ψ(a) et φ(b) = ψ(b).
Fubini généralisé. Changement de variables. Formule de Green Riemann (on retrouve les formules d’aires
pour les domaines définis par une courbe).