Élements de logique, théorie des ensembles P(E), E × F

MPSI Programme de colle de l’ann´ee 2006-07
MPSI Semaine 1 18–22/09/2006
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Elements de logique, th´eorie des ensembles
P(E), E×F, applications, injectivit´e, surjectivit´e, bijectivit´e, ´etude de N, d´efinition ´el´ementaire de
l’ordre sur N(ATTENTION je n’ai pas donn´e la d´efinition g´en´erale de relation d’ordre), majorant,
minorant, ppe, pge, r´ecurrence, rappel des formules combinatoires de terminale.
Corps C
D´efinition de LCI et de corps, conjugaison, module, in´egalit´e triangulaire, cas d’´egalit´e, d´efinition
sommaire de groupe, groupe Udes nombres complexes de module 1, argument, notation eiθ, exponentielle
complexe.
MPSI Semaine 2 25–29/09/2006
racines carr´ees d’un complexe 2 m´ethodes : trigonom´etriques et alg´ebrique, r´esolution de l’´equation
trinomiale az2+bz +c= 0, racines n-i`emes de l’unit´e, somme des racines, racine n-i`eme d’un com-
plexe, interpr´etation graphique, trigonom´etrie : formules d’addition de cos,sin,tan, param´etrage ration-
nel du cercle, interpr´etation graphique, application des complexes `a la trigonom´etrie lin´earisation et
d´eveloppement.
G´eom´etrie du plan
D´efinition rapide d’espace vectoriel sur R, notion de base et de rep`ere du plan, colin´earit´e de 2
vecteurs, changement de rep`ere, ´equation param´etrique d’une droite, produit scalaire dans une base
orthonorm´ee, bilin´earit´e, sym´etrie, invariance de la base orthonormale, expression complexe, in´egalit´e
de Cauchy Schwarz.
MPSI Semaine 3 2–6/09/2006
Expression complexe et d´efinition g´eom´etrique du produit scalaire, in´egalit´e triangulaire et de Cauchy
Schwarz, interpr´etation en termes de projection, coordonn´ees polaires, ´equation d’une droite et d’un
cercle passant par l’origine en polaire, d´eterminant, caract´erisation de la colin´earit´e, interpr´etation en
terme d’aire, expression complexe et cart´esienne, droite du plan, ´equation cart´esienne, distance d’un
point `a une droite, ´equation normale, cercle ´equation cart´esienne, caract´erisation par le diam`etre, inter-
section d’une droite et d’un cercle, de 2 cercles, angle inscrit et angle au centre, barycentre, associativit´e,
coordonn´ees barycentriques.
MPSI Semaine 4 9–13/10/2006
Transformations du plan, translations, rotations, homoth´eties, similitudes de C, structure de groupe
de l’ensemble des similitudes, conservation du rapport et de l’angle, unicit´e de la similitude envoyant
m6=nsur m06=n0.

G´eom´etrie ´el´ementaire de l’espace
Droites et plans vectoriels, coplanarit´e, mode de rep´erage dans l’espace : coordonn´ees cart´esiennes,
cylindriques et sph´eriques, orientation, produit scalaire, d´efinition g´eom´etrique et en B.O.N., bilin´earit´e,
sym´etrie, produit vectoriel d´efinition g´eom´etrique, interpr´etation de la norme en terme d’aire, identit´e
de Lagrange, B.O.N.D. caract´eristation avec le produit vectoriel, bilin´earit´e (d´emonstration admise) et
antisym´etrie, expression en B.O.N.D., d´eterminant caract´erisation de la coplanarti´e, trilin´earit´e, expres-
sion en B.O.N.D. r`egle de Sarrus, sym´etries du d´eterminant, interpr´etation en terme de volume, droites
et plans de l’espace, ´equations param´etriques et cart´esiennes, angle de plans, parall´elisme orthogonalit´e,
positions relatives de plans droites.
MPSI Semaine 5 16–20/10/2006
Distance d’un point `a un plan, `a une droite, ´ecart entre deux droites, perpendiculaire commune `a deux
droites, unicit´e pour deux droites non parall`eles, calcul de la distance entre deux droites non parall`eles,
sph`eres : ´equation cart´esienne, intersection avec une droite, un plan ou une autre sph`ere, d´emonstration
de la bilin´earit´e du produit vectoriel (utilisant la formule d’une projection orthogonale sur un plan),
application de la g´eom´etrie `a la r´esolution de syst`emes lin´eaires `a 2 ou 3 inconnues (formules de Cramer).
Fonctions usuelles
D´efinition d’intervalle, formule de d´erivation (compos´ees et r´eciproque) r´evision des fonctions loga-
rithmes, exponentielles, puissances avec propri´et´es alg´ebriques et croissances compar´ees.
MPSI Semaine 6 6–10/11/2006
Fonctions hyperboliques : partie paire et impaire d’une fonction de F(R,R), ´etude de sh, ch, th, des
fonctions hyperboliques r´eciproques : argch, argsh et argth, expressions logarithmiques, trigonom´etrie
hyperbolique, param´etrage d’une branche d’hyperbole ´equilat`ere.
Fonctions circulaires : d´efinition du cosinus et sinus par param´etage du cercle, d´emonstration g´eom´etrique
des formules d’addition, ´etude, ´etude des fonctions circulaires r´eciproques arccos, arcsin et arctan, for-
mule arccos + arcsin = π
2.
Fonctions `a valeurs complexes : partie r´eelle et imaginaire, d´erivation : propri´et´es ´el´ementaires somme,
produit, d´eriv´ee de fonctions de la forme t→exp ◦ϕ(t).
Annexe : ´etude ´el´ementaire d’une fonction d’une variable r´eelle, plan d’´etude, branches infinies, convexit´e
`a l’aide de la d´eriv´ee seconde.
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Equations diff´erentielles lin´eaires
Primitives sur K=Cou R, ´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1, r´esolution de l’´equation
normalis´ee homog`ene ou avec second membre par solution particuli`ere, par variation de la constante et
par superposition, structure des solutions.
MPSI Semaine 7 13–17/11/2006
Unicit´e des conditions intiales pour une ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1, cons´equence sur les
courbes int´egrales, ´equation fonctionnelle f(u+v) = f(u)f(v), probl`eme de raccordements sur ´equation
non normalis´ee.

´
Equations diff´erentielles d’ordre 2 lin´eaires `a cœfficients constants : cons´equence de la lin´earit´e, struc-
ture des ´equations, principe de superposition, r´esolution de l’´equation homog`ene (cas complexe et r´eel)
et avec second membre polynome exponentiel, unicit´e des conditions initiales.
Courbes param´etr´ees
D´efintion, limite, continuit´e et d´erivabilit´e d’une fonction de Idans R2, d´erivation de f.g,kfket
Det(f, g), description cin´ematique, d´efinition de point r´egulier et singulier, tangente en un point r´egulier,
branches infinies, asymptotes.
MPSI Semaine 8 20–24/11/2006
Courbes param´etr´ees : d´efintion, limite, continuit´e et d´erivabilit´e d’une fonction de Idans R2, d´erivation
de f.g,kfket Det(f, g), description cin´ematique, d´efinition de point r´egulier et singulier, tangente en
un point r´egulier, branches infinies asymptote, plan d’´etude : r´eduction du domaine, branches infinies
(m´ethode pratique).
Courbes polaires : repr´esentation param´etrique polaire (t→r(t)~u(θ(t))), calcul de la vitesse et de
l’acc´el´eration en coordonn´ees polaires, courbes polaire (θ→r(θ)~u(θ)), angle Vde la tangente avec ~u(θ),
´etude d’une courbe polaire : r´eduction du domaine, ´etude au pˆole, branche infinies.
Coniques : d´efinition monofocale, ´equations r´eduites.
MPSI Semaine 9 27/11–1/12/2006
Coniques
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Equation param´etrique, ´equation des tangentes (par d´edoublement), ´equation polaire des coniques,
´equation de la tangente `a partir de l’´equation polaire (en rep`ere polaire et dans le rep`ere d’orgine),
d´efinition bifocale des coniques `a centre : application pour l’ellipse : la tangente et la normale en M
sont les bissectrices des droites (MF ) et (MF 0) par diff´erentiation de l’´equation M F +M F 0= 2a.
´
Etude de l’´equation polynomiale d’une conique : r´eduction du terme quadratique (par rotation), ind´e-
pendance de la valeur du discriminant par rapport `a la B.O.N., ´etude du cas g´en´eral suivant le signe du
discriminant et r´eduction compl`ete.
Groupes
D´efinition, exemple du groupe Bij(E) des bijections d’un ensemble E, unicit´e du neutre, de l’inverse,
(x∗y)−1=y−1∗x−1, (x−1)−1=x, (x−1)n= (xn)−1, groupe fini : d´efinition exemple du groupe des
bijections d’un ensemble fini, du groupe des racines n-i`eme de l’unit´e, produit de deux groupes, groupe
de l’ensemble des fonctions `a valeurs dans un groupe, d´efinition de groupe commutatif (contre-exemple :
Bij(E) pour card(E)>3), d´efinition de sous-groupe, deux C.N.S. de sous-groupe (non vide et stabilit´e
par la loi et par l’inverse), exemple du sous-groupe des complexes de module 1, d´efinition de morphisme
et d’endomorphisme de groupes, la compos´ee de deux morphismes de groupe est un morphisme de
groupes.
MPSI Semaine 10 4/12/2006
Morphisme de groupes : d´efinition, endomorphisme de groupes, la compos´ee de deux morphismes de
groupe est un morphisme de groupes, image du neutre de l’inverse par un morphisme, image directe

et r´eciproque d’un sous-groupe par un morphisme. Noyau et image d’un morphisme, caract´erisation de
l’injectivit´e `a l’aide du noyau, isomorphisme de groupes.
Multiples ou puissances d’un ´el´ement dans un groupe : description du cas additif, du cas multiplicatif,
propri´et´es calculatoires, les sous-groupes de Z, ordre d’un ´el´ement.
Anneaux : d´efinition, 0 ´el´ement absorbant, loi des signes, r`egles de calculs : xn−ynet formule du binome
pour deux ´el´ements commutants, produits et interversion de sommes. Anneaux produits, fonctions `a
valeurs dans un anneau. Anneaux int`egres, diviseurs de z´ero, sous-anneaux, morphismes d’anneaux,
isomorphismes.
Corps : d´efinition, tout corps est un anneau int`egre, sous-corps et morphismes de corps.
MPSI Semaine 11 11/12/2006
Corps des nombres r´eels
Introduction : √26∈ Q, relation binaire, r´eflexivit´e, sym´etrie, antisym´etrie, transitivit´e, relation d’ordre,
ordre total et partiel, majorant, minorant, ppe, pge, toute partie de Zmajor´ee admet un pge, minor´ee
admet un ppe. Compatibilit´e de l’ordre sur Ravec la structure de corps, valeur absolue, ||x| − |y|| 6
|x−y|6|x|+|y|, distance (juste la d´efinition).
Borne sup´erieure et inf´erieure : d´efinition, propri´et´e de la borne sup´erieure sur R, le corps Qne la v´erifie
pas, caract´erisation de la borne sup et de la borne inf. Si le sup est atteint alors c’est le max de mˆeme
si l’inf est atteint il est ´egal au min. Le sup de Aest la limite d’une suite d’´el´ements de A.
Intervalle de R: ce sont les parties convexes (par d´efinition) et aussi les segments de R. D´efinition de
la droite r´eelle achev´ee R. Propri´et´e d’Archim`ede, partie enti`ere, densit´e de Qet de R\Q.
Espaces vectoriels
Introduction : d´efinition, exemple R,C,Kn, premi`eres propri´et´es (de la loi additive et de la loi externe),
EV produit de deux EV, EV des fonctions `a valeurs dans un EV (exemple espace des fonctions et des
suites `a valeurs r´eelles). Combinaisons lin´eaires.
MPSI Semaine 12 18/12/2006
Sous-espace vectoriels : d´efinition, caract´erisation, exemple (dont solutions d’une ´equation diff´erentielle
lin´eaire homog`ene), intersection de deux SEV, SEV engendr´ee par une partie et structure pour une
partie finie (description rapide pour une partie infinie), somme de deux SEV, somme directe, SEV
suppl´ementaires.
Applications lin´eaires : d´efinition, l’EV LK(E, F ), lin´earit´e de u→u◦vde v→u◦v, exportativit´e des
scalaires, isomorphismes, l’alg`ebre (LK(E),+,◦, .), le groupe lin´eaire (Gl(E),◦).
MPSI Semaine 13 8/1/2007
Applications lin´eaires : d´efinition, l’EV LK(E, F ), lin´earit´e de u→u◦vde v→u◦v, exportativit´e des
scalaires, isomorphismes, l’alg`ebre (LK(E),+,◦, .), le groupe lin´eaire (Gl(E),◦).
Applications lin´eaires et SEV : image d’un SEV, d’une application lin´eaire, image r´eciproque d’un SEV,
noyau d’une application lin´eaire, flin´eaire est injective si et seulement si ker f={~ 0}, projecteur

d´efinition et carat´erisation par p◦p=p, pour un projecteur Im p⊕ker p=E, sym´etrie d´efinition,
carat´erisation par s◦s= Id et d´ecomposition de l’espace, affinit´es et homoth´eties.
Sous-espaces affines d’un EV : (ce paragraphe est juste une introduction, la th´eorie g´en´erale sera
abord´ee plus tard) d´efinition, EV directeur, parall´elisme, applications affines, ´equation f(~x) = ~a pour
flin´eaire.
Suites de nombres r´eels
Introduction : d´efinition, l’alg`ebre (RN,+,×, .), propri´et´es globales : monotonie, majoration, minoration,
propri´et´es `a partir d’un certain rang.
Limites : d´efinition de la convergence d’une suite, tout nombre r´eel est limite d’une suite de rationnels,
suites divergentes vers ±∞, unicit´e de la limite, une suite convergente est born´ee, si lim
n→+∞un=l > 0
alors la suite (un)n∈Nest strictement positive `a partir d’un certain rang, compatibilit´e de la limite
avec l’ordre, crit`ere de convergence et de divergence, th´eor`eme des gendarmes, suites monotones, suites
extraites crit`ere de divergence.
MPSI Semaine 14 15/1/2007
Op´erations alg´ebriques : (somme, produit, produit par un scalaire, inverse), alg`ebre C(N,R) des suites
convergentes, morphisme d’alg`ebre donn´e par la limite et extension des lois sur R.
Th´eor`emes des suites adjacentes, des segments emboit´es, de Bolzano Weierstrass.
Relations de comparaison : domination, n´egligeabilit´e propri´et´e de transitivit´e, comparaison des suites
de r´ef´erence, ´equivalence propri´et´e de transitivit´e, de sym´etrie, si un=vn+αnavec vn=o(αn) alors
un∼vn, compatibilit´e avec le produit et le quotient, si un∼vnet lim
n→+∞vn=lalors lim n→+∞un=l, si
lim
n→+∞vn=l6= 0 alors vn∼l, incompatibilit´e avec l’addition.
Suites complexes : suites born´ees, convergentes, ´equivalence avec la convergence des parties r´eelles et
imaginaires, lim
n→+∞zn=l⇒lim n→+∞|zn|=|l|et lim
n→+∞zn=l, unicit´e de la limite, convergente implique
born´ee, op´erations alg´ebriques, suites g´eom´etriques.
MPSI Semaine 15 22/1/2007
Dimension des espaces vectoriels
Familles g´en´eratrices, familles li´ees libres, bases : d´efinition et propri´et´es, lien avec les applications
lin´eaires, bases canoniques, coordonn´ees dans une base, construction de morphisme `a partir d’une base,
image d’une base par un isomorphisme.
Dimension finie : si (u1,··· , up) engendre alors toute famille de p+1 vecteurs est li´ee, base ssi libre maxi-
male ssi g´en´eratrice minimale, existence de base en dimension finie, dimension, propri´et´es des familles
libres et g´en´eratrices en dimension finie, caract´erisation d’un ev de dimension infinie (par existence d’une
suite infinie libre), rang d’une famille de vecteurs, Eet Fisomorphes ssi dim E= dim F(en particulier
Eisomorphe `a Kdim E), dim(E×F) = dim E+ dim F.
´
Etude des ev de dimension finie : th´eor`eme de la base incompl`ete, th´eor`eme de l’´echange, Fsev de E
alors dim F6dim Eavec ´egalit´e ssi E=F, existence du suppl´ementaire, caract´erisation de la somme
directe, dim(F+G) = dim F+ dim G−dim(F∩G).