1 Synthèse du trioxyde de soufre

MP1 & 2 - 2015 / 2016 Physique - Chimie DS n°5bis Centrale - Mines
DS n°5bis (Centrale - Mines) - Electromagnétisme
Samedi 9 janvier - 4 h
Ce sujet est constitué de trois problèmes indépendants.
1 Synthèse du trioxyde de soufre
On considère la synthèse du trioxyde de soufre en phase gazeuse à partir du dioxyde de
soufre et du dioxygène. Le dioxyde de soufre résulte d’une combustion préalable du soufre dans
un excès d’air de telle sorte que le mélange introduit dans le réacteur de synthèse de SO3ait la
composition molaire suivante : 10% en O2,10% en SO2et 80% en N2. On note n0la quantité
de dioxyde de soufre introduite dans le réacteur.
1. (a) Exprimer la quantité de matière de chaque espèce présente à l’équilibre en fonction
de n0et de l’avancement ξ(on utilisera l’équation-bilan rapportée à une mole de
SO2).
(b) Donner l’expression du taux de conversion τde SO2en fonction de n0et ξ.
2. La synthèse de SO3est réalisée à la température T0= 815 K et sous une pression de 1,0
bar. L’analyse d’un litre de mélange gazeux, en équilibre dans ces conditions, montre
qu’il contient 0,238 mmol de dioxyde de soufre.
(a) Déterminer l’avancement de la réaction de synthèse, puis le taux de conversion de
SO2, et enfin la quantité n0de dioxyde de soufre initialement introduite.
(b) Calculer la constante d’équilibre Ko(815 K).
3. Calculer la variance correspondant à l’équilibre considéré en tenant compte des condi-
tions initiales précisées en début d’énoncé.
4. (a) Quelle est l’influence d’une diminution de température sur l’équilibre de synthèse de
SO3?
(b) Calculer la constante d’équilibre Ko(730 K).
(c) Comment pourrait-on obtenir ∆rHosi on ne connaissait pas les enthalpies standard
de formation ?
5. (a) Quelle est l’influence d’une élévation de pression sur l’équilibre de synthèse de SO3?
(b) À 730 K, on veut obtenir un taux de conversion de SO2de 90% à partir d’un mélange
contenant 0,05 mol de O2, 0,05 mol de SO2et 0,4 mol de N2. À quelle pression se
placer ?
(c) Déterminer le taux de conversion à 730 K sous 1,0bar. Commentaire ?
6. On considère maintenant que température et pression sont maintenues constantes à
T= 815 Ket P= 1 bar. L’équilibre est supposé atteint à partir des mêmes quantités
initiales qu’à la première question. On réalise alors une très faible entrée d’air : dξ mol
de O2et 4dξ mol de N2.
Déterminer le sens d’évolution de l’équilibre juste après l’ouverture.
Données (supposées indépendantes de la température) :
∆fHo(SO2) = −297,0kJ.mol−1
∆fHo(SO3) = −395,3kJ.mol−1
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Formulaire en coordonnées cylindriques à utiliser dans les deux problèmes d’électromagnétisme :
div ~ A=1
r
∂(rAr)
∂r +1 r
∂Aθ
∂θ +∂Az ∂z
−→
rot ~ A=1
r
∂Az
∂θ −∂Aθ ∂z ~ur+∂Ar ∂z −∂Az ∂r ~uθ+∂(rAθ) ∂r −∂Ar ∂θ ~uz
∆V=1
r
∂
∂r r∂V ∂r +1 r2
∂2V
∂θ2+∂2V ∂z2
∆~ A=∆Ar−1
r2Ar+ 2 ∂Aθ ∂θ  ~ur+∆Aθ−1 r2Aθ+ 2 ∂Ar ∂θ ~uθ+ ∆Az~uz
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2 Onde électromagnétique dans un câble coaxial
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3 Chauffage par induction
Le problème traite du thème général du chauffage par induction et concerne l’étude électro-
magnétique d’un dispositif à symétrie de révolution (qui a un rôle industriel très important). Le
chauffage par induction se caractérise et se distingue des autres techniques électro-thermiques
par sa capacité à injecter sans contact de l’énergie thermique dans les matériaux conducteurs de
l’électricité. Les premières idées théoriques datent des années 1890, elles sont dues à Heaviside
et Steinmetz en particulier.
Dans tout le problème, creprésente la vitesse de propagation d’une onde électromagnétique
dans le vide. Toutes les données numériques et les formules sont regroupées en début d’énoncé.
Données numériques :
f= 100 kHz, L = 10 cm, a= 2 cm, N = 100 spires.m−1, P = 100 kW , µ0= 4π.10−7H.m−1,
γ= 107S.m−1.
Partie I : équations de Maxwell dans un métal
I.1. Écrire les équations de Maxwell écrites à partir des champs ~ Eet ~ Bdans un métal caractérisé
par les constantes ε0et µ0. On notera ρ(M, t)la densité volumique de charges électriques et
~
j(M, t)le vecteur densité volumique de courant électrique.
Dans toute la suite du problème, on suppose que le métal est un conducteur ohmique à
l’intérieur duquel la loi d’Ohm locale ~ j(M, t) = γ~ E(M, t)est vérifiée en tout point.
I.2. Établir, à partir de ces équations de Maxwell, l’équation locale de conservation de la charge
électrique.
I.3. En déduire une équation différentielle vérifiée au point Mpar la densité volumique de
charge ρ(M, t)dans le métal dans laquelle apparaît ε0et γ. Résoudre cette équation en suppo-
sant qu’à l’instant initial ρ(M, t = 0) = ρ0et représenter le graphe correspondant. Application
numérique : calculer la constante de temps τmise en évidence dans cette équation. Conclure.
Dans toute la suite du problème, le conducteur métallique sera supposé localement neutre,
soit pour tout M,ρ(M, t)=0.
I.4. On suppose que le champ électrique dans le métal possède une dépendance temporelle
sinusoïdale, de la forme : ~ E=~ E0cos(ωt +ϕ)où ~ E0est un vecteur constant. Pour quelle
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gamme de fréquences fles courants de déplacement dans le métal valent moins de un pour
cent des courants de conduction ?
Cette condition restera vérifiée dans la suite du problème et on supposera que l’équation
de Maxwell-Ampère peut s’écrire : −→
rot ~ B=µ0γ~ E
Partie II : chauffage d’un cylindre métallique par induction
Le chauffage d’un cylindre métallique est obtenu en plaçant celui-ci au centre d’un induc-
teur à symétrie de révolution (solénoïde considéré comme infini, à spires jointives et comportant
N spires par mètre), parcouru par un courant alternatif sinusoïdal de pulsation ωet d’amplitude
I0:
i(t) = I0cos(ωt). La longueur L du cylindre (identique à celle de l’inducteur) est suffisamment
grande devant son rayon apour être considérée comme infinie. Le système de coordonnées cylin-
driques est utilisé et un point Mest repéré par (r, θ, z), la base locale associée étant (~ur, ~uθ, ~uz)
(figures 1 et 2 en fin de problème).
II.1. À partir de l’étude des symétries, montrer que le champ magnétique ~ Bne peut avoir de
composantes que sur ~uret sur ~uz.
Dans la suite, ~ B=Br(r) exp(iωt)~ur+Bz(r) exp(iωt)~uzreprésentera le champ magné-
tique complexe. De même le vecteur densité de courant s’écrira : ~ j=jr(r) exp(iωt)~ur+
jθ(r) exp(iωt)~uθ+jz(r) exp(iωt)~uz. (iest le nombre complexe imaginaire pur, de module 1 et
d’argument π/2). On suppose que les composantes ne dépendent que de r.
II.2. Déduire des équations de Maxwell dans le métal les deux équations différentielles sui-
vantes, relatives aux composantes Bret Bz:
d
dr 1 r
d[rBr]
dr =2i δ2Br
d2Bz
dr2+1 r
dBz
dr =2i δ2Bz
avec δ=s2
µ0γω .
II.4. À partir de la loi de conservation du flux, montrer que rBrest constant. En déduire que
la composante Brest nulle.
II.5. Montrer alors que les lignes de courant de conduction sont des cercles d’axe zz0. Exprimer
la densité de courant ~ jau point Men fonction d’une dérivée à préciser.
Dans le cas des basses fréquences, il est admis que la composante Bzest bien représentée
par un développement en série tel que :
Bz=B01 + α1r+α2r2+... +αnrn+...
II.6.a Établir les relations de récurrence entre les coefficients de Bz. Préciser en particulier la
valeur de α1, celle de α2et la relation entre αnet αn−2.
II.6.b À quelle condition sur la fréquence, le développement de Bzpeut-il ne conserver que deux
termes principaux, les autres étant considérés comme négligeables ? Application numérique :
calculer la fréquence maximale fMmise en évidence.
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II.6.c Donner alors une approximation de~ jau premier ordre en rsous la forme~ j=jθ(r) exp(iωt).
Préciser l’expression de jθ(r).
II.6.d Calculer la densité volumique puissance moyenne 1< pv>(r)=<~ j. ~ E > dissipée par
effet Joule. En déduire la puissance moyenne Pdissipée dans le cylindre de longueur L. Tracer
cette puissance moyenne en fonction de la fréquence pour 10−5fM< f < 10−2fM(tracé de
log10(P)en fonction de log10(f)).
Dans le cas des fréquences élevées le courant est localisé au voisinage de la surface du
cylindre et décroît exponentiellement en s’en éloignant. Au centre du cylindre, le champ est
alors pratiquement nul et la région intéressante est donc loin de l’axe, près de la surface.
II.7 Montrer que pour r >> δ, l’équation différentielle vérifiée par Bzse réduit à :
d2Bz
dr2=2i δ2Bz
Une solution approchée de cette équation peut s’écrire :
Bz(r) = B1exp r−a
δexp ir−a δ
où B1est une constante complexe que l’on va chercher à déterminer.
II.8.a On modélise la distribution de courant formée par les spires circulaires de rayon apar
une densité surfacique de courant ~ jS=jS~uθlocalisée sur la surface du cylindre de rayon a.
Montrer que, pour que les deux distributions soient équivalentes, il faut que :
jS=Ni(t) = NI0cos(ωt)
On rappelle la relation de passage du champ magnétique entre deux milieux 1 et 2 séparés
par une surface Ssur laquelle existe une densité surfacique de courants ~ jS. Dans la notation
ci-dessous : Mest un point de S,M−et M+sont deux points pratiquement confondus avec
Met situé respectivement dans le milieu 1 et dans le milieu 2 :
~
B(M+)−~ B(M−) = µ0~ jS(M)∧~n12
où ~n12 est le vecteur unitaire normal à Sen Met qui est dirigé du milieu 1 vers la milieu 2.
II.8.b On introduit le vecteur complexe ~ jS=NI0exp(iωt)~uθet on admet que ~ B=~ 0si r > a.
Écrire la relation de passage du champ magnétique de part et d’autre dela surface cylindrique
r=a. En déduire la relation entre B1,Net I0.
II.8.c Donner alors ~ j.
II.8.d Calculer la puissance moyenne Pdissipée par effet Joule par le cylindre. Tracer cette
puissance moyenne en fonction de la fréquence pour 102fM< f < 105fM(tracé de log10P, en
fonction de log10f).
Application numérique : quel courant l0faut-il choisir pour avoir une puissance Pdissipée
dans le cylindre ?
1. Attention, pour calculer pvil faut utiliser les parties réelles de ~ Eet ~ jet jamais les représentations com-
plexes.
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