Étude générale du retour à l`équilibre d`une particule au sein d`un

Étude générale du retour à l’équilibre d’une particule au
sein d’un plasma (formalisme de Fokker-Planck)
J. Salmon
To cite this version:
J. Salmon. Étude générale du retour à l’équilibre d’une particule au sein d’un plasma (formalisme de Fokker-Planck). J. Phys. Radium, 1960, 21 (10), pp.699-707. <10.1051/jphysrad:019600021010069900>. <jpa-00236359>
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LE
JOURNAL DE
PHYSIQUE
ET LE
RADIUM
TOME
21,
OCTOBRE
1960,
699.
ÉTUDE GÉNÉRALE DU RETOUR A L’ÉQUILIBRE D’UNE PARTICULE AU SEIN D’UN PLASMA
(FORMALISME
DE
Par J.
FOKKER-PLANCK)
SALMON,
Faculté des Sciences, Caen.
Examinant le problème du retour à l’équilibre d’une particule test au sein d’un
équilibre, l’auteur cherche à expliciter complètement l’expression de l’opérateur de
Fokker-Planck. Il étudie ensuite les conditions de cohérence, c’est-à-dire la possibilité pour le
développement obtenu de traduire le retour de la particule test à l’état maxvellien et discute
des limites de validité de la formule de Rosenbluth, MacDonald et Judd ».
Résumé.
plasma
2014
en
«
Abstract.
The author examines the problem of the return to equilibrium of a particle in a
Fokker-Planck equation. After that, he studies the possibility
test particle to Maxwellian distribution, using the development
which is obtained. He discusses the validity limits of the Rosenbluth, MacDonald and Judd
2014
plasma and completely explains
of interpreting the return of the
approximation.
Io Introduction.
Le problème du retour à
l’équilibre au sein d’un plasma totalement ionisé
d’un petit nombre de particules injectées avec une
distribution initiale donnée est examiné dans le
cadre de l’opérateur de Fokker-Planck.
Le plasma est constitué par des ions de masse mi,
de charge - Z,e et de concentration Ni en équilibre thermiqué avec des électrons de masse m’e
et de charge e. Les fonctions de distribution de
vitesse des particules me et mi, soit Fe( Ve) et Fi( Vi),
sont maxwelliennes à la température T.
--
K,
constante de
Boltzmann).
La condition habituelle de neutralité est satis-
faite soit :
particules injectées ou particules test ont une
Ze et une fonctions, de
m, une charge
distribution f (v, t) (t temps, v vitesse d’une particule), qui ne dépendra en fait dans ce problème
Les
masse
.-
que du module v de v. Leur concentration est
supposée assez faible pour qu’on puisse négliger les
interactions entre particules m vis-à-vis des interactions entre les particules m et celles du plasma.
On considère également que la distribution des
vitesses de ces derniers n’est pas perturbée par la
présence des particules m. Dans ces conditions on
recherche l’évolution de la fonction de distribution f ( v, t) à partir de la distribution initiale fin(v)
vers la distribution d’équilibre en : e-rnv2/2KT.
Équation
de Fokker-Planck.
générale d’évolution de la fonction
ces conditions :
20
L’équation
f s’écrit dans
-
.La notation 0
sion relatif aux
(fFi) désignant l’opérateur de colliparticules m,et mi et 0 (f Fe) celui
relatif aux particules m et me.
Choisissons un repère fixe E constitué de trois
axes rectangulaires défini par les trois vecteurs
unitaires El, Ez, E3.
Les composantes du vecteur vitesse v sont désignées pàr v1, v2 et V3’
L’équation d’évolution de f s’écrit en utilisant
l’opérateur de Fokker-Planck.
Avi >e désignant la valeur moyenne par unité
de temps de la variation Avi de v sous l’effet des
collisions avec les électrons,
Avi >i la même
Avj Avj, >e la
quantité relative aux ions,
valeur moyenne du produit des variations par
unité de temps de Vi et vj. pour les électrons et
Avi avj. >i cette même quantité pour les ions.
La possibilité de décomposer l’opérateur de collisinon en deux opérateurs se déduisant l’un del’autre
par la substitution des ions aux électrons permet
en fait de ramener le problème posé au problème
plus simple que constitue le retour à l’équilibre de
particules m au sein d’un gaz constitué par des
Ze et de concentration
particules M, de charge
fonction
de
distribution
la
N,
F( V) des particules étant bien entendu maxwellienne.
-
L’équation de Fokker-Planck s’écrit alors
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019600021010069900
:
700
Il est intéressànt d’utiliser
un
symbolisme mieux
adapté.
Av > le vecteur de
Soit
et V l’opérateur :
composantes
Avi >
-
Le premier terme du second membre de
s’écrit
Soit maintenant S le
i
le
V
Comme Vu est invariant dans une collision la
variation Av de v est reliée à la variation Au de u
par la relation
--
de
diadyc
(7)
composantes Sij
Par suite le vecteur
4lv > et le
~
~
AS > sont reliés
au
vecteur
diadyc
àu > et
au
~
~
Au >
diadyc
au
moyen dès relations
w
ua
symbole
..
S
désigne la quantité
Désignons par OS le diadyc de composantes
Avj dV1’ > l’équation de Fokker-Planck s’écrit :
!lUi> désignant la valeur moyenne de la variation par unité de temps de u; et
/lui dU;1 > la
valeur moyenne du produit par unité de temps des
variations Aui et Auj, de ui et uj,
Désignons par 0 et cp les angles de déviation
de u (le module restant conservé) dans une collision
par a(u, 0) la section efficace différentielle dans le
repère du centre de masse par d V l’élément de
volume dans l’espace des particules M on a :
Transformons les composantes d’un vecteur et
d’un diadyc dans un changement d’axes trirectangulaires de même origine.
Les repères E’ et E" étant définis par les vecteurs
unitaires E’, E2, E3 et Ei, E2, E;, les composantes
d’un vecteur v se transformant selon la formule :
et les
composantes
Si S" est
d’un
diagonal
diadyc
S selon là formule :
Le crochet du second nombre représente la valeur
moyenne pour toutes les collisions relatives à un
vecteur V donné. Il faut ensuite sommer sur l’ensemble des vitesses des particules M.
On écrira encore :
on a :
30 Calcul de 4lv et de 4lS. - Le calcul des
>
ilS > est très lourd.
w > et
Nous nous efforcerons de le présenter de manière
aussi simple que possible. Dans une collision entre
une particule m et une particule M la vitesse v
de la particule m est reliée à la vitesse V, du centre
de gravité des particules m et .M et à la même
vitesse relative v - Y(= u) par les formules
quantités
~
et l’on
désignera
diadyc
de
par Du et Au le vecteur et le
composantes àuy
et
àuj àuj,.
a) CHOIX
DE REPÈRES CONVENABLES. - Nous
fait choix d’un premier repère trirectangulaire E (El, E2, E3) lié au laboratoire par rapport
auquel nous calculerons finalement les composantes
avons
~
~
du vecteur
4v > et du dyadyc
OS >.
Pour effectuer facilement les intégrations nous
ferons choix de deux repères mobiles E’ et E".
701
Le premier sera défini par les vecteurs Ei,
unitaires et deux à deux orthogonaux.
E2
et
.E3 taies
et deux à deux
orthogonaux E1’ , E2
et
E3
tels que :
Les coordonnées sphériques du vecteur u dans
repère E’ sont u, oc’ et g’. Les coordonnées sphériques du vecteur u’ vitesse relative après collision
dans le repère E" sont u, 0 et ep.
le
b) CALCUL
collision
DES COMPOSANTES.
FIG. 1.
-
On
a
dans
une
FIG. 3.
repère E" les composantes du vecteur Du
diadyc Au sont :
Dans le
et du
FIG. 2.
Si l’on désigne par v, ce,
riques du vecteur v, on a :
p les coordonnées sphé-
composantes doit être multipliée
8 d 8 d Q puis il fait intégrer pour
de 0 à 2 7T et pour 6 de 0 à Tu.
Chacune des
par a( u, o) sin
cp
Il vient :
Le
repère
.E"
sera
défini par trois vecteurs uni-
702
Définissons alors par 61 et
en
62 les quantités :
On
a
dans le
repère
E’
Nous allons maintenant effectuer la sommation
d V et pour cela calculer les composantes
notant que :
f F(V)
~
~
de Au et Au dans le référentiel E’.
Dans
ce
repère on
Puisque
l’espace
On
a
est donné, l’intégration sur l’espace
V peut être remplacée par l’intégration
v
des vitesses
sur
a :
des vitesses
donc dans
u
l’espace
E’
y Les intégrations sur a’ et B’
tuées complètement et il vient :
peuvent être effec~
~
Le calcul des composantes de Au et Au est
achevé dans le repère .E’.
703
Le calcul de
4°
ces
composantes dans
le
repère absolu E est immédiat :
Équation générale
L’équation
du retour à l’équilibre.
de Fokker-Planck s’écrit :
d’où
Posons :
Il vient :
Approximation de
Il faut qu’au
MacDonald-Judd.
Rosenbluth,
bout d’un temps fini ou infini on ait la solution
particulière 10 correspondant à la mise en équilibre
des particules injectées dont la distribution devient
maxwellienne
50 Condition de cohérence.
-
Reportant (60)
dans
(59)
il
subsiste
un
704
résidu R(x)
des termes.
en
dépit
de l’annulation de la
plupart
Le calcul des coefficients ne nécessite plus que
le calcul de trois intégrales (31, 62, 64).
C’est cette approximation qui a été introduite
de manière systématique par « Rosenbluth,
MacDonald et Judd » dans un article consacré à
l’équation de Fokker-Planok dans le cas d’un
potentiel de Coulomb avec effet d’écran.
60 Cas d’un potentiel de Coulomb avec effet
d’écran. Traitement classique.
Rappelons
d’abord quelques propriétés du potentiel de
Coulomb ZZe2/r.
La section efficace différentielle est de la forme
-
On constate cependant que seuls subsistent des
termes contenant Pl en facteur. Or les intégrales
donnant les fonctions y(x), hl(X) et h2(x) contiennent des termes en p1 et des termes en p 2.
Si dans le calcul de ces intégrales on peut négliger
pl devant P2 l’équation (59) est
alors satisfaite par la distribution maxwellienne (60).
Nous énoncerons donc : Si la section efficace
différentielle a(O) (= 6o p(a, 0» est telle que l’on
systématiquement
puisse négliger la quantité
et la
par (31) est infinie.
est de 900 pour le
la
déviation
part,
d’impact po tel que :
quantité 62 définie
D’autre
paramètre
61
On substitue habituellement au potentiel de
un potentiel avec effet d’écran du type
Coulomb,
devant la
quantité
il existe
cohérente
une
62
et
équation
de retour à
l’équilibre
comme
de ce
sables
le traitement
classique mais rigoureux
conduit à des formules peu utiliadmet généralement les formules
potentiel
on
approchées
avec
avec
la déviation limite 0. correspondant à un paramètre d’impact égal à d. Il vient alors en posant :
705
les
égalités
avec :
La condition de cohérence
Les
expressions pi et p2 sont alors
:
n’es t donc satisfaite que si
soit si
0M
est
petit
qui correspond à de très grandes
quantité yu2 dizze 2.
ce
valeurs de la
7o Traitement quantique
du potentiel de
Il est bien entendu plus
Coulomb avec écran.
satisfaisant d’effectuer un traitement quantique.
Malheureusement un traitement rigoureux du problème conduit à de grandes difficultés de calcul.
Il convient là encore d’effectuer des approximations. L’une des plus connues est celle de Born.
Elle suppose que l’énergie cinétique de la particule
est très grande devant l’énergie potentielle d’interaction. Avec son potentiel de Coulomb ordinaire
cela n’est sûrement pas vrai pour un paramètre
d’impact po correspondant à la déviation de 900
l’approximation de
et
Rosenbluth s’écrit :
-
puisque l’énergie cinétique et l’énergie potentielle
égales. Par contre pour les petites déviations l’approximation est justifiée puisque le paramètre d’impact devenant très supérieur à po l’énergie cinétique l’emporte de beaucoup sur l’énergie
potentielle. Dans le cas d’un potentiel avec écran
nous admettons que l’approximation est valable
lorsque l’énergie potentielle correspondant à d est
très faible devant l’énergie cinétique
80
nous
encore :
La section efficace différentielle s’écrit alors :
soit
encore :
-
du potentiel avec écran et
les formules 74 et 76.
sont alors
soit
Si
Approximation dite du « logarithme ».
examinons à nouveau le traitement classique
cn
constate que
lorsque 0m
plus particulièrement
est
petit,
on a
sensi-
blement
Lorsque 2/em est beaucoup plus grand que l’unité
peut de plus appliquer l’approximation de
Rosenbluth et négliger pi devant p,. Bien entendu
ces approximations ne sont possibles que si a est
suffisamment grand. L’approximation dite « du
logarithme » consiste à remplacer dans le logarithme a2 par sa valeur moyenne a2 obtenue à
l’aide des expressions des fonctions de distribution
en partant de l’idée que les variations de ce logarithme sont faibles dès que a est assez grand.
Plus précisément :
on
706
désignant
en
cules
par T’ la
température
des
parti-
03A6>
désignant la
fonction
erreur
m.
Il vient
également
On écrira donc :
Bien entendu l’approximation n’a de sens que si
la valeur moyenne 0. de 0m ’est très petite devant
l’unité soit :
ce
d’où
qui s’écrit encore en tenant compte de (94)
Finalement on écrira :
et de là
l’équation
du r3tour à
l’équilibre
sous
la
forme
Comme la température T’ des particules m
dépend du temps il semble qu’on introduise ainsi
une grande difficulté mathématique dans la résolution de l’équation (59). En fait il n’en est rien
car cette équation devra être intégrée à l’aide d’un
calculateur électronique par des méthodes aux
différences.
On écrira :
Il
sera
également
intéressant de faire le chan-
gement de variables
on considérera T’ comme constant durant cet
intervalle.
De plus l’approximation du logarithme jointe
à celle de Rosenbluth permet de donner des formes
assez remarquables aux coefficients de l’équation (59). Posant :
et
No désignant un nombre de particules par cm’
choisi arbitrairement pour que B et Ti soient des
quantités sans dimensions. Il vient ainsi
il vient :
On
peut alors faire le changement de fonction
707
et il vient :
et
Équations finales.
l’équation d’évolution s’écrit :
d’un plasma
du potentiel coulombien avec effet d’écran. Le facteur d
correspondant est égal à la longueur de Debye
soit :
9o
on
--
Dans le
cas
peut adopter le traitement classique
,
12
kT
d 4 7r KT4nNe
JV, e 2 )112.
d
·
=
e2
(114)
Les données du problème sont alors :
10 Les masses me, mi et rn des électrons, des
ions et des particules test.
20 Les charges e,.- Z, e et
Z. e des électrons
des ions et des particules test.
30 La concentration Ni des ions et la température T du plasma.
40 La fonction de distribution des particules m
à l’instant 0 soit fin(v).
Dans ces conditions on pose :
avec
-
La température T’ des
par l’équation
particules test est donnée
La condition de Rosenhluth
s’exprime
par
Manuscrit reçu le 31 mars 1960.
BIBLIOGRAPHIE
CHANDRASCKHAR
MACDONALD (W.
(S.), Rev. Mod. Physics, 1943, 15, 1.
M.), ROSENBLUTH (M.) et JUDD (D. L.),
Phys. Rev., 1957, 10, 1.
DELCROIX (J. L.), Introduction
Dunod.
à la théorie des
gaz ionisés,
SPITZER (L.), Physics of full ionized gases.
BRIN (A.), DELCROIX (J. L.) et SALMON (J.), J.
Rad., 1959, 20,
529.
Physique