Étude générale du retour à l`équilibre d`une particule au sein d`un
´
Etude g´en´erale du retour `a l’´equilibre d’une particule au
sein d’un plasma (formalisme de Fokker-Planck)
J. Salmon
To cite this version:
J. Salmon. ´
Etude g´en´erale du retour `a l’´equilibre d’une particule au sein d’un plasma (for-
malisme de Fokker-Planck). J. Phys. Radium, 1960, 21 (10), pp.699-707. <10.1051/jphys-
rad:019600021010069900>.<jpa-00236359>
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699.
ÉTUDE
GÉNÉRALE
DU
RETOUR
A
L’ÉQUILIBRE
D’UNE
PARTICULE
AU
SEIN
D’UN
PLASMA
(FORMALISME
DE
FOKKER-PLANCK)
Par
J.
SALMON,
Faculté
des
Sciences,
Caen.
Résumé.
2014
Examinant
le
problème
du
retour
à
l’équilibre
d’une
particule
test
au
sein
d’un
plasma
en
équilibre,
l’auteur
cherche
à
expliciter
complètement
l’expression
de
l’opérateur
de
Fokker-Planck.
Il
étudie
ensuite
les
conditions
de
cohérence,
c’est-à-dire
la
possibilité
pour
le
développement
obtenu
de
traduire
le
retour
de
la
particule
test
à
l’état
maxvellien
et
discute
des
limites
de
validité
de
la
formule
de
«
Rosenbluth,
MacDonald
et
Judd
».
Abstract.
2014
The
author
examines
the
problem
of
the
return
to
equilibrium
of
a
particle
in
a
plasma
and
completely
explains
Fokker-Planck
equation.
After
that,
he
studies
the
possibility
of
interpreting
the
return
of
the
test
particle
to
Maxwellian
distribution,
using
the
development
which
is
obtained.
He
discusses
the
validity
limits
of
the
Rosenbluth,
MacDonald
and
Judd
approximation.
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE
RADIUM
TOME
21,
OCTOBRE
1960,
Io
Introduction.
--
Le
problème
du
retour
à
l’équilibre
au
sein
d’un
plasma
totalement
ionisé
d’un
petit
nombre
de
particules
injectées
avec
une
distribution
initiale
donnée
est
examiné
dans
le
cadre
de
l’opérateur
de
Fokker-Planck.
Le
plasma
est
constitué
par
des
ions
de
masse
mi,
de
charge
-
Z,e
et
de
concentration
Ni
en
équi-
libre
thermiqué
avec
des
électrons
de
masse
m’e
et
de
charge
e.
Les
fonctions
de
distribution
de
vitesse
des
particules
me
et
mi,
soit
Fe( Ve)
et
Fi( Vi),
sont
maxwelliennes
à
la
température
T.
K,
constante
de
Boltzmann).
La
condition
habituelle
de
neutralité
est
satis-
faite soit :
Les
particules
injectées
ou
particules
test
ont
une
masse
m,
une
charge
.-
Ze
et
une
fonctions,
de
distribution
f (v,
t) (t
temps, v
vitesse
d’une
parti-
cule),
qui
ne
dépendra
en
fait
dans
ce
problème
que
du
module v
de
v.
Leur
concentration
est
supposée
assez
faible
pour
qu’on
puisse
négliger
les
interactions
entre
particules m
vis-à-vis
des
inter-
actions
entre
les
particules m
et
celles
du
plasma.
On
considère
également
que
la
distribution
des
vitesses
de
ces
derniers
n’est
pas
perturbée
par
la
présence
des
particules
m.
Dans
ces
conditions
on
recherche
l’évolution
de
la
fonction
de
distri-
bution
f ( v,
t)
à
partir
de
la
distribution
initiale
fin(v)
vers
la
distribution
d’équilibre
en :
e-rnv2/2KT.
20
Équation
de
Fokker-Planck.
-
L’équation
générale
d’évolution
de
la
fonction
f s’écrit
dans
ces
conditions :
.La
notation
0
(fFi)
désignant
l’opérateur
de
colli-
sion
relatif
aux
particules
m,et
mi
et
0
(f Fe)
celui
relatif
aux
particules m
et
me.
Choisissons
un
repère
fixe E
constitué
de
trois
axes
rectangulaires
défini
par
les
trois
vecteurs
unitaires
El,
Ez,
E3.
Les
composantes
du
vecteur
vitesse v
sont
dési-
gnées
pàr
v1,
v2 et
V3’
L’équation
d’évolution
de
f s’écrit
en
utilisant
l’opérateur
de
Fokker-Planck.
Avi
>e
désignant
la
valeur
moyenne
par
unité
de
temps
de
la
variation
Avi
de v
sous
l’effet
des
collisions
avec
les
électrons,
Avi
>i
la
même
quantité
relative
aux
ions,
Avj Avj,
>e
la
valeur
moyenne
du
produit
des
variations
par
unité
de
temps
de Vi
et
vj.
pour
les
électrons
et
Avi
avj.
>i
cette
même
quantité
pour
les
ions.
La
possibilité
de
décomposer
l’opérateur
de
colli-
sinon
en
deux
opérateurs
se
déduisant
l’un
del’autre
par
la
substitution
des
ions
aux
électrons
permet
en
fait
de
ramener
le
problème
posé
au
problème
plus
simple
que
constitue
le
retour
à
l’équilibre
de
particules m
au
sein
d’un
gaz
constitué
par
des
particules
M,
de
charge
-
Ze
et
de
concentration
N,
la
fonction
de
distribution
F( V)
des
parti-
cules
étant
bien
entendu
maxwellienne.
L’équation
de
Fokker-Planck
s’écrit
alors :
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019600021010069900
700
Il
est
intéressànt
d’utiliser
un
symbolisme
mieux
adapté.
Soit
Av
>
le
vecteur
de
composantes
Avi
>
et V
l’opérateur :
-
Le
premier
terme
du
second
membre
de
(7)
s’écrit
Soit
maintenant
S
le
diadyc
de
composantes
Sij
i
--
ua
w
le
symbole
V
..
S
désigne
la
quantité
Désignons
par
OS
le
diadyc
de
composantes
Avj
dV1’
>
l’équation
de
Fokker-Planck
s’écrit :
Transformons
les
composantes
d’un
vecteur
et
d’un
diadyc
dans
un
changement
d’axes
trirectan-
gulaires
de
même
origine.
Les
repères
E’ et
E"
étant
définis
par
les
vecteurs
unitaires
E’,
E2,
E3
et
Ei,
E2,
E;,
les
composantes
d’un
vecteur v
se
transformant
selon
la
formule :
et
les
composantes
d’un
diadyc
S
selon
là
formule :
Si
S"
est
diagonal
on
a :
30
Calcul
de
4lv
et
de
4lS. -
Le
calcul
des
>
quantités
w
>
et
ilS
>
est
très
lourd.
Nous
nous
efforcerons
de
le
présenter
de
manière
aussi
simple
que
possible.
Dans
une
collision
entre
une
particule
m
et
une
particule
M
la
vitesse v
de
la
particule
m
est
reliée
à
la
vitesse
V,
du
centre
de
gravité
des
particules m
et
.M
et
à
la
même
vitesse
relative v -
Y(=
u)
par
les
formules
Comme
Vu
est
invariant
dans
une
collision
la
variation
Av
de v
est
reliée
à
la
variation
Au
de
u
par
la
relation
Par
suite
le
vecteur
4lv
>
et
le
diadyc
~
~
AS
>
sont
reliés
au
vecteur
àu
>
et
au
~
~
diadyc
Au
>
au
moyen
dès
relations
!lUi>
désignant
la
valeur
moyenne
de
la
varia-
tion
par
unité
de
temps
de u;
et
/lui
dU;1
>
la
valeur
moyenne
du
produit
par
unité
de
temps
des
variations
Aui
et
Auj,
de
ui
et
uj,
Désignons
par
0
et
cp
les
angles
de
déviation
de
u
(le
module
restant
conservé)
dans
une
collision
par
a(u,
0)
la
section
efficace
différentielle
dans
le
repère
du
centre
de
masse
par
d V
l’élément
de
volume
dans
l’espace
des
particules
M
on
a :
Le
crochet
du
second
nombre
représente
la
valeur
moyenne
pour
toutes
les
collisions
relatives
à
un
vecteur
V
donné.
Il
faut
ensuite
sommer
sur
l’en-
semble
des
vitesses
des
particules
M.
On
écrira
encore :
~
et
l’on
désignera
par
Du
et
Au
le
vecteur
et
le
diadyc
de
composantes
àuy
et
àuj
àuj,.
a)
CHOIX
DE
REPÈRES
CONVENABLES. -
Nous
avons
fait
choix
d’un
premier
repère
trirectan-
gulaire E
(El,
E2,
E3)
lié
au
laboratoire
par
rapport
auquel
nous
calculerons
finalement
les
composantes
~
~
du
vecteur
4v
>
et
du
dyadyc
OS
>.
Pour
effectuer
facilement
les
intégrations
nous
ferons
choix
de
deux
repères
mobiles
E’
et
E".
701
Le premier
sera
défini
par
les
vecteurs
Ei,
E2
et
.E3
unitaires
et
deux
à
deux
orthogonaux.
FIG.
1.
FIG. 2.
Si
l’on
désigne
par v,
ce, p
les
coordonnées
sphé-
riques
du
vecteur
v,
on
a :
Le
repère
.E"
sera
défini
par
trois
vecteurs
uni-
taies
et
deux
à
deux
orthogonaux
E1’ , E2
et
E3
tels
que :
Les
coordonnées
sphériques
du
vecteur
u
dans
le
repère
E’
sont
u,
oc’
et
g’.
Les
coordonnées
sphé-
riques
du
vecteur
u’
vitesse
relative
après
collision
dans
le
repère
E"
sont
u,
0
et
ep.
b)
CALCUL
DES
COMPOSANTES.
-
On
a
dans
une
collision
FIG. 3.
Dans
le
repère
E"
les
composantes
du
vecteur
Du
et
du
diadyc
Au sont :
Chacune
des
composantes
doit
être
multipliée
par
a( u,
o) sin
8 d 8 d Q
puis
il
fait
intégrer
pour
cp
de 0 à 2 7T et pour 6 de 0 à Tu.
Il
vient :
702
Définissons
alors
par
61
et
62 les
quantités :
en
notant
que :
On
a
dans
le
repère
E’
Nous
allons
maintenant
effectuer
la
sommation
f F(V)
d V
et
pour
cela
calculer
les
composantes
~
~
de
Au
et
Au
dans
le
référentiel
E’.
Dans
ce
repère
on
a :
Puisque
v
est
donné,
l’intégration
sur
l’espace
des
vitesses
V peut
être
remplacée
par
l’intégration
sur
l’espace
des
vitesses
u
On
a
donc
dans
l’espace
E’
y Les
intégrations
sur
a’
et B’
peuvent
être
effec-
tuées
complètement
et
il
vient :
~
~
Le
calcul
des
composantes
de
Au
et
Au
est
achevé
dans
le
repère
.E’.
6
7
8
9
10
1
/
10
100%
